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（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练 第54讲 二项分布与正态分布（讲+练）原卷版+解析
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1.结合古典概型，考查条件概率、独立事件的概率的计算，凸显数学运算的核心素养．
2．结合n次独立重复试验的概念，考查随机变量的二项分布，凸显数学抽象的核心素养．
3．结合频率分布直方图，考查正态分布曲线的特点、3σ原则的应用，凸显直观想象的核心素养．
【课标解读】
1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.
2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.
3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2022年将会考查：①条件概率的计算；②事件独立性的应用；③独立重复试验与二项分布的应用．题型为解答题，试题难度不会太大，属中档题型。
【核心知识】
1．条件概率
(1)条件概率的定义
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
(2)条件概率的性质
①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1.
②如果B，C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件的概率
(1)相互独立事件的定义及性质
①定义：设A，B是两个事件，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
②性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立．
(2)独立重复试验概率公式
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(3)二项分布的定义
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
3．正态分布
(1)正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)e，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝eq \i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作N(μ，σ2)．
(3)正态曲线的特点
①曲线位于x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
③曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π)).
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(4)正态分布中的3σ原则
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826.
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544.
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
【高频考点】
高频考点一 事件的相互独立性及条件概率
例1．（2023·全国高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【变式探究】(1)现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
(2)2020年疫情的到来给人们生活学习等各方面带来种种困难．为了顺利迎接高考，某省制定了周密的毕业年级复学计划．为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查．学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测．已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，假设该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率为( )
A．0.99% B．99%
C．49.5% D．36.5%
【方法技巧】条件概率的3种求法
【变式探究】(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
【方法技巧】利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
【变式探究】一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．
高频考点二 独立重复试验与二项分布
【例2】“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：
该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．
(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
【方法技巧】与二项分布有关的期望、方差的求法
(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).
【变式探究】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列及数学期望．
高频考点三 正态分布
例3．（2023·全国高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【变式探究】为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计．乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响，在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量X满足正态分布N(μ，σ2)．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图．
(1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计μ，σ2的值；
(2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不可能发生的．在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，并说明理由．
参考数据：eq \r(19.2)≈4.38，eq \r(21.4)≈4.63，eq \r(26.6)≈5.16，0.841 357≈0.298 4,0.841 356≈ 0.354 7,0.158 653≈0.004 0，0.158 654≈0.000 6，
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ【方法技巧】正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面结论的活用：
①对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；
②P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；
③P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
【变式探究】为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10 000个零件，并测量其内径(单位：cm)．根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N(μ，σ2)．如果加工的零件内径小于μ－3σ或大于μ＋3σ均为不合格品，其余为合格品．
(1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数；
(2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L(单位：元)与零件的内径X有如下关系：
L＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－5，X<μ－3σ，,4，μ－3σ≤X<μ－σ，,6，μ－σ≤X≤μ＋3σ，,－5，X>μ＋3σ.))
求该企业一天从生产线上随机抽取10 000个零件的平均利润．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，有P(μ－σ定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)求P(B|A)
基本
事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)
缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简
研学游类型
科技体验游
民俗人文游
自然风光游
学校数
40
40
20
第54讲 二项分布与正态分布
【学科素养】
1.结合古典概型，考查条件概率、独立事件的概率的计算，凸显数学运算的核心素养．
2．结合n次独立重复试验的概念，考查随机变量的二项分布，凸显数学抽象的核心素养．
3．结合频率分布直方图，考查正态分布曲线的特点、3σ原则的应用，凸显直观想象的核心素养．
【课标解读】
1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.
2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.
3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2022年将会考查：①条件概率的计算；②事件独立性的应用；③独立重复试验与二项分布的应用．题型为解答题，试题难度不会太大，属中档题型。
【核心知识】
1．条件概率
(1)条件概率的定义
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
(2)条件概率的性质
①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1.
②如果B，C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件的概率
(1)相互独立事件的定义及性质
①定义：设A，B是两个事件，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
②性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立．
(2)独立重复试验概率公式
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(3)二项分布的定义
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
3．正态分布
(1)正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)e，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝eq \i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作N(μ，σ2)．
(3)正态曲线的特点
①曲线位于x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
③曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π)).
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(4)正态分布中的3σ原则
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826.
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544.
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
【高频考点】
高频考点一 事件的相互独立性及条件概率
例1．（2023·全国高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】 ，
故选B。
【变式探究】(1)现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
(2)2020年疫情的到来给人们生活学习等各方面带来种种困难．为了顺利迎接高考，某省制定了周密的毕业年级复学计划．为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查．学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测．已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，假设该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率为( )
A．0.99% B．99%
C．49.5% D．36.5%
【解析】(1)法一：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(3×2,A\\al(2,5)),\f(3,5))＝eq \f(1,2).故选C.
法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为eq \f(1,2).故选C.
(2)设A为“某人检验呈阳性”，B为“此人患病”，则“某人检验呈阳性时他确实患病”为B|A，由题意知P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(99%×0.1%,0.2%)＝49.5%，故选C.
【答案】(1)C (2)C
【方法技巧】条件概率的3种求法
【变式探究】(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
【解析】(1)X＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为
[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
【方法技巧】利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
【变式探究】一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．
【解析】(1)设部件1,2,3需要调整分别为事件A，B，C，
由题知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，各部件的状态相互独立，
所以部件1,2都不需要调整的概率P(eq \x\t(A)·eq \x\t(B))＝P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))＝0.9×0.8＝0.72，
故部件1,2中至少有1个需要调整的概率为1－P(eq \x\t(A)·eq \x\t(B))＝0.28.
(2)X可取0,1,2,3，
P(X＝0)＝P(eq \x\t(A)·eq \x\t(B)·eq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))·P(eq \x\t(C))＝0.9×0.8×0.7＝0.504，
P(X＝1)＝P(A·eq \x\t(B)·eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)·B·eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)·eq \x\t(B)·C)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，
P(X＝3)＝P(A·B·C)＝0.1×0.2×0.3＝0.006，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝0.092，
所以X的分布列为
E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0.6.
高频考点二 独立重复试验与二项分布
【例2】“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：
该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．
(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
【解析】(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为eq \f(2,5)，选择“自然风光游”的概率为eq \f(1,5)，
∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为
P＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))＋Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))＝eq \f(18,125).
(2)X可能取值为0,1,2,3.
则P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))3＝eq \f(27,125)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(54,125)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))＝eq \f(36,125)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3＝eq \f(8,125)，
∴X的分布列为
∴E(X)＝0×eq \f(27,125)＋1×eq \f(54,125)＋2×eq \f(36,125)＋3×eq \f(8,125)＝eq \f(6,5).
【方法技巧】与二项分布有关的期望、方差的求法
(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).
【变式探究】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列及数学期望．
【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X～B(3,0.6)，X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)·(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)·0.63＝0.216.
故X的分布列为
E(X)＝3×0.6＝1.8.
高频考点三 正态分布
例3．（2023·全国高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【答案】D
【解析】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误，故选D。
【变式探究】为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计．乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响，在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量X满足正态分布N(μ，σ2)．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图．
(1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计μ，σ2的值；
(2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不可能发生的．在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，并说明理由．
参考数据：eq \r(19.2)≈4.38，eq \r(21.4)≈4.63，eq \r(26.6)≈5.16，0.841 357≈0.298 4,0.841 356≈ 0.354 7,0.158 653≈0.004 0，0.158 654≈0.000 6，
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ【解析】(1)μ＝0.1×2＋0.2×6＋0.4×10＋0.2×14＋0.1×18＝10，
σ2＝s2＝2×(82×0.1＋42×0.2)＋(10－10)2×0.4＝19.2.
(2)μ＋σ≈10＋4.38＝14.38，
设3名乘客候车时间超过15分钟的事件为A，
则P(X>14.38)＝eq \f(1－Pμ－σ所以P(A)＝Ceq \\al(3,10)(0.158 65)3(0.841 35)7≈0.143>0.003，
即准点率正常．
【方法技巧】正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面结论的活用：
①对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；
②P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；
③P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
【变式探究】为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10 000个零件，并测量其内径(单位：cm)．根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N(μ，σ2)．如果加工的零件内径小于μ－3σ或大于μ＋3σ均为不合格品，其余为合格品．
(1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数；
(2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L(单位：元)与零件的内径X有如下关系：
L＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－5，X<μ－3σ，,4，μ－3σ≤X<μ－σ，,6，μ－σ≤X≤μ＋3σ，,－5，X>μ＋3σ.))
求该企业一天从生产线上随机抽取10 000个零件的平均利润．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，有P(μ－σ【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 3，从而抽取一个零件为不合格品的概率为0.002 7，因此一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数约为 10 000×0.002 7＝27.
(2)结合正态分布曲线和题意可知：
P(X<μ－3σ)＝0.001 35，
P(μ－3σ≤X<μ－σ)＝eq \f(1,2)(0.997 3－0.682 7)＝0.157 3，
P(μ－σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3－0.157 3＝0.840 0，
P(X>μ＋3σ)＝0.001 35，
故随机抽取10 000个零件的平均利润为：
10 000L＝10 000(－5×0.001 35＋4×0.157 3＋6×0.840 0－5×0.001 35)＝56 557元．
定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)求P(B|A)
基本
事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)
缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简
X
0
1
2
3
P
0.504
0.398
0.092
0.006
研学游类型
科技体验游
民俗人文游
自然风光游
学校数
40
40
20
X
0
1
2
3
P
eq \f(27,125)
eq \f(54,125)
eq \f(36,125)
eq \f(8,125)
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
1.结合古典概型，考查条件概率、独立事件的概率的计算，凸显数学运算的核心素养．
2．结合n次独立重复试验的概念，考查随机变量的二项分布，凸显数学抽象的核心素养．
3．结合频率分布直方图，考查正态分布曲线的特点、3σ原则的应用，凸显直观想象的核心素养．
【课标解读】
1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.
2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.
3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2022年将会考查：①条件概率的计算；②事件独立性的应用；③独立重复试验与二项分布的应用．题型为解答题，试题难度不会太大，属中档题型。
【核心知识】
1．条件概率
(1)条件概率的定义
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
(2)条件概率的性质
①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1.
②如果B，C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件的概率
(1)相互独立事件的定义及性质
①定义：设A，B是两个事件，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
②性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立．
(2)独立重复试验概率公式
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(3)二项分布的定义
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
3．正态分布
(1)正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)e，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝eq \i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作N(μ，σ2)．
(3)正态曲线的特点
①曲线位于x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
③曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π)).
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(4)正态分布中的3σ原则
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826.
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544.
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
【高频考点】
高频考点一 事件的相互独立性及条件概率
例1．（2023·全国高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【变式探究】(1)现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
(2)2020年疫情的到来给人们生活学习等各方面带来种种困难．为了顺利迎接高考，某省制定了周密的毕业年级复学计划．为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查．学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测．已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，假设该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率为( )
A．0.99% B．99%
C．49.5% D．36.5%
【方法技巧】条件概率的3种求法
【变式探究】(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
【方法技巧】利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
【变式探究】一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．
高频考点二 独立重复试验与二项分布
【例2】“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：
该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．
(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
【方法技巧】与二项分布有关的期望、方差的求法
(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).
【变式探究】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列及数学期望．
高频考点三 正态分布
例3．（2023·全国高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【变式探究】为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计．乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响，在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量X满足正态分布N(μ，σ2)．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图．
(1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计μ，σ2的值；
(2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不可能发生的．在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，并说明理由．
参考数据：eq \r(19.2)≈4.38，eq \r(21.4)≈4.63，eq \r(26.6)≈5.16，0.841 357≈0.298 4,0.841 356≈ 0.354 7,0.158 653≈0.004 0，0.158 654≈0.000 6，
P(μ－σ
(1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面结论的活用：
①对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；
②P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；
③P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
【变式探究】为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10 000个零件，并测量其内径(单位：cm)．根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N(μ，σ2)．如果加工的零件内径小于μ－3σ或大于μ＋3σ均为不合格品，其余为合格品．
(1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数；
(2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L(单位：元)与零件的内径X有如下关系：
L＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－5，X<μ－3σ，,4，μ－3σ≤X<μ－σ，,6，μ－σ≤X≤μ＋3σ，,－5，X>μ＋3σ.))
求该企业一天从生产线上随机抽取10 000个零件的平均利润．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，有P(μ－σ
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)求P(B|A)
基本
事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)
缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简
研学游类型
科技体验游
民俗人文游
自然风光游
学校数
40
40
20
第54讲 二项分布与正态分布
【学科素养】
1.结合古典概型，考查条件概率、独立事件的概率的计算，凸显数学运算的核心素养．
2．结合n次独立重复试验的概念，考查随机变量的二项分布，凸显数学抽象的核心素养．
3．结合频率分布直方图，考查正态分布曲线的特点、3σ原则的应用，凸显直观想象的核心素养．
【课标解读】
1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.
2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.
3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2022年将会考查：①条件概率的计算；②事件独立性的应用；③独立重复试验与二项分布的应用．题型为解答题，试题难度不会太大，属中档题型。
【核心知识】
1．条件概率
(1)条件概率的定义
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
(2)条件概率的性质
①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1.
②如果B，C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件的概率
(1)相互独立事件的定义及性质
①定义：设A，B是两个事件，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
②性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立．
(2)独立重复试验概率公式
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(3)二项分布的定义
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
3．正态分布
(1)正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)e，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝eq \i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作N(μ，σ2)．
(3)正态曲线的特点
①曲线位于x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
③曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π)).
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(4)正态分布中的3σ原则
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826.
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544.
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
【高频考点】
高频考点一 事件的相互独立性及条件概率
例1．（2023·全国高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】 ，
故选B。
【变式探究】(1)现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
(2)2020年疫情的到来给人们生活学习等各方面带来种种困难．为了顺利迎接高考，某省制定了周密的毕业年级复学计划．为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查．学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测．已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，假设该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率为( )
A．0.99% B．99%
C．49.5% D．36.5%
【解析】(1)法一：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(3×2,A\\al(2,5)),\f(3,5))＝eq \f(1,2).故选C.
法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为eq \f(1,2).故选C.
(2)设A为“某人检验呈阳性”，B为“此人患病”，则“某人检验呈阳性时他确实患病”为B|A，由题意知P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(99%×0.1%,0.2%)＝49.5%，故选C.
【答案】(1)C (2)C
【方法技巧】条件概率的3种求法
【变式探究】(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
【解析】(1)X＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为
[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
【方法技巧】利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
【变式探究】一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．
【解析】(1)设部件1,2,3需要调整分别为事件A，B，C，
由题知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，各部件的状态相互独立，
所以部件1,2都不需要调整的概率P(eq \x\t(A)·eq \x\t(B))＝P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))＝0.9×0.8＝0.72，
故部件1,2中至少有1个需要调整的概率为1－P(eq \x\t(A)·eq \x\t(B))＝0.28.
(2)X可取0,1,2,3，
P(X＝0)＝P(eq \x\t(A)·eq \x\t(B)·eq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))·P(eq \x\t(C))＝0.9×0.8×0.7＝0.504，
P(X＝1)＝P(A·eq \x\t(B)·eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)·B·eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)·eq \x\t(B)·C)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，
P(X＝3)＝P(A·B·C)＝0.1×0.2×0.3＝0.006，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝0.092，
所以X的分布列为
E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0.6.
高频考点二 独立重复试验与二项分布
【例2】“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：
该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．
(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
【解析】(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为eq \f(2,5)，选择“自然风光游”的概率为eq \f(1,5)，
∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为
P＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))＋Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))＝eq \f(18,125).
(2)X可能取值为0,1,2,3.
则P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))3＝eq \f(27,125)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(54,125)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))＝eq \f(36,125)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3＝eq \f(8,125)，
∴X的分布列为
∴E(X)＝0×eq \f(27,125)＋1×eq \f(54,125)＋2×eq \f(36,125)＋3×eq \f(8,125)＝eq \f(6,5).
【方法技巧】与二项分布有关的期望、方差的求法
(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).
【变式探究】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列及数学期望．
【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X～B(3,0.6)，X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)·(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)·0.63＝0.216.
故X的分布列为
E(X)＝3×0.6＝1.8.
高频考点三 正态分布
例3．（2023·全国高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【答案】D
【解析】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误，故选D。
【变式探究】为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计．乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响，在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量X满足正态分布N(μ，σ2)．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图．
(1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计μ，σ2的值；
(2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不可能发生的．在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，并说明理由．
参考数据：eq \r(19.2)≈4.38，eq \r(21.4)≈4.63，eq \r(26.6)≈5.16，0.841 357≈0.298 4,0.841 356≈ 0.354 7,0.158 653≈0.004 0，0.158 654≈0.000 6，
P(μ－σ
σ2＝s2＝2×(82×0.1＋42×0.2)＋(10－10)2×0.4＝19.2.
(2)μ＋σ≈10＋4.38＝14.38，
设3名乘客候车时间超过15分钟的事件为A，
则P(X>14.38)＝eq \f(1－Pμ－σ
即准点率正常．
【方法技巧】正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面结论的活用：
①对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；
②P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；
③P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
【变式探究】为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10 000个零件，并测量其内径(单位：cm)．根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N(μ，σ2)．如果加工的零件内径小于μ－3σ或大于μ＋3σ均为不合格品，其余为合格品．
(1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数；
(2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L(单位：元)与零件的内径X有如下关系：
L＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－5，X<μ－3σ，,4，μ－3σ≤X<μ－σ，,6，μ－σ≤X≤μ＋3σ，,－5，X>μ＋3σ.))
求该企业一天从生产线上随机抽取10 000个零件的平均利润．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，有P(μ－σ
(2)结合正态分布曲线和题意可知：
P(X<μ－3σ)＝0.001 35，
P(μ－3σ≤X<μ－σ)＝eq \f(1,2)(0.997 3－0.682 7)＝0.157 3，
P(μ－σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3－0.157 3＝0.840 0，
P(X>μ＋3σ)＝0.001 35，
故随机抽取10 000个零件的平均利润为：
10 000L＝10 000(－5×0.001 35＋4×0.157 3＋6×0.840 0－5×0.001 35)＝56 557元．
定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)求P(B|A)
基本
事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)
缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简
X
0
1
2
3
P
0.504
0.398
0.092
0.006
研学游类型
科技体验游
民俗人文游
自然风光游
学校数
40
40
20
X
0
1
2
3
P
eq \f(27,125)
eq \f(54,125)
eq \f(36,125)
eq \f(8,125)
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
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