2023-2024学年江苏省淮安市淮阴区淮海初级中学八年级（上）调研数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省淮安市淮阴区淮海初级中学八年级（上）调研数学试卷（10月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为( )
A. 9B. 12C. 9或12D. 5
3.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，6
4.图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为( )
A. B. C. D.
5.有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在( )
A. △ABC三条角平分线的交点B. △ABC三边的垂直平分线的交点
C. △ABC三条中线的交点D. △ABC三条高所在直线的交点
6.如图，已知直线l1//l2，将等边三角形如图放置，若∠α=38°，则∠β等于( )
A. 22°
B. 17°
C. 27°
D. 32°
7.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是BC边上的高，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是( )
A. 6
B. 8
C. 9.6
D. 12
8.如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2−MB2等于( )
A. 9
B. 25
C. 36
D. 45
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.等腰三角形的一个内角是80°，则顶角的度数是______．
10.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为______．
11.如图，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D和点E，连接CD，AC=DC，∠B=25°，则∠ACD的度数是______．
12.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=6，CD=3，则△ABD的面积是______．
13.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN/​/BC，分别交AB、AC于点M、N.若BM=3cm，CN=2cm，则MN=______cm．
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AB=8，则CD= ______．
15.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD=2，BC=5，则AB2+CD2= ______．
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AB和CB边上的点，把△BDE沿着直线DE折叠，若点B落在边AC上，则CE的取值范围是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=42°.求∠DAC的度数．
18.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5.以AB为一边在△ABC的同侧作正方形ABDE，求图中阴影部分的面积．
19.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，求CD的长．
20.(本小题6分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的外角，AE/​/BC．
求证：AE平分∠DAC．
21.(本小题8分)
已知：如图，AC，DB相交于点O，AB=DC，∠ABO=∠DCO．
求证：(1)△ABO≌△DCO；
(2)∠OBC=∠OCB．
22.(本小题8分)
已知：如图，∠ABC及射线BC上的一点D．
(1)求作：等腰△BDE，使线段BD为等腰△BDE的底边，点E在∠ABC内部，且点E到∠ABC两边的距离相等(请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，若DE⊥AB，则∠ABC=______°.
23.(本小题10分)
如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′出，折痕为EF．
(1)求证：BE=BF．
(2)若AB=4，AD=8，求△BEF的面积．
24.(本小题10分)
如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A−C−B−A运动，设运动时间为t秒(t>0)．

(1)若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．
25.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，D为AB中点，点E，F分别在直线BC，AC上，DF⊥DE，连接EF．

(1)如图1，当点E与点B重合时，求EF的长；
(2)如图2，当点F不与点A重合时，求证：AF2+BE2=EF2；
(3)若EC=2，求线段CF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：当2为腰时，三边为2，2，5，而2+2<5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2=12，
故选：B．
根据2和5可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据2，5，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
3.【答案】C
【解析】解：因为32+42=2552=25，所以32+42=52，所以能构成直角三角形的是C．
故选C．
根据勾股定理的逆定理得到答案．
本题考查了直角三角形的判定的运用．
4.【答案】A
【解析】解：由勾股定理得：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，
A、A代表的正方形的面积为400−225=175；
B、B代表的正方形的面积为400+225=625；
C、C代表的正方形的面积为256−112=144；
D、D代表的正方形的面积为400−120=280．
故选：A．
两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案．
本题考查了勾股定理，仔细观察选项所给图形的特点，利用勾股定理进行解答是关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质解答即可．
【解答】
解：∵三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．
故选A．
6.【答案】A
【解析】解：如图，过A点作直线l/​/l1，
∵∠α=38°，
∴∠1=∠α=38°，
∵直线l1//l2，
∴直线l/​/l2，
∴∠2=∠β，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠α+∠β=∠1+∠2=∠BAC=60°，
∵∠α=38°，
∴∠β=22°，
故选：A．
过A点作直线l/​/l1，由平行线的性质可求得∠1=38°，利用平行公理可得直线l/​/l2，即可得∠2=∠β，根据等边三角形的性质可知∠BAC=60°，进而可求解．
本题主要考查平行线的性质，等边三角形的性质，过A点作直线l/​/l1是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图所示，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值．
∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP，
此时PC+PQ最小值为BQ的长．
∵S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BQ，
∴BQ=BC⋅ADAC=12×810=9.6，
∴PC+PQ的最小值是9.6．
故选：C．
由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
本题考查了轴对称−最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线的垂线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ的长是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2=AB2−AD2，CD2=AC2−AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2=BD2+MD2=AB2−AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2−AD2+MD2，
∴MC2−MB2=(AC2−AD2+MD2)−(AB2−AD2+MD2)
=AC2−AB2
=45．
故选：D．
在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．
9.【答案】80°或20°
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
先分情况讨论：80°是等腰三角形的顶角或80°是等腰三角形的底角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【解答】
解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°−80°×2=20°．
故答案为：80°或20°．
10.【答案】55°
【解析】解：AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=12(180°−70°)=55°．
故答案为：55°．
由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11.【答案】80°
【解析】解：∵BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D和点E，
∴CD=BD，
∵∠B=25°，
∴∠DCB=∠B=25°．
∵∠ADC是△BCD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=25°+25°=50°．
∵AC=DC，
∴∠CAD=∠ADC=50°，
∴∠ACD=180°−∠CAD−∠ADC=180°−50°−50°=80°．
故答案为：80°．
先根据线段垂直平分线的性质得出CD=BD，由三角形外角的性质得出∠ADC的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
12.【答案】9
【解析】解：过点D作DE⊥AB，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，AB=6，CD=3，
∴DE=CD=3，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×6×3=6．
故答案为：9．
过点D作DE⊥AB，由角平分线的性质可知DE=CD=3，再根据S△ABD=12AB⋅DE即可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：∵MN/​/BC，
∴∠OBC=∠MOB，∠OCB=∠NOC，
∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，
∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，
∴OM=BM，ON=CN，
∵BM=3cm，CN=2cm，
∴OM=3cm，ON=2cm，
∴MN=MO+ON=3+2=5cm；
故答案为：5．
根据平行线性质和角平分线的性质先证出∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，从而得出OM=BM，ON=CN，再根据MN=MO+ON，即可求出MN的值．
此题考查了等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题证出∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO是解题的关键．
14.【答案】4
【解析】解：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=12AB=12×8=4．
故答案为：4．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
15.【答案】29
【解析】解：由题意知BD⊥AC，
∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，
根据勾股定理得，OA2+OD2=AD2=22=4，OB2+OC2=BC2=52=25，
∴OA2+OD2+OB2+OC2=4+25=29，
根据勾股定理得，OA2+OB2=AB2，OC2+OD2=CD2，
∴AB2+CD2=29，
故答案为：29．
先利用勾股定理求出OA2+OD2=AD2=4，OB2+OC2=BC2=25，可得OA2+OD2+OB2+OC2=29，然后由OA2+OB2=AB2，OC2+OD2=CD2得出答案．
本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
16.【答案】78≤CE≤2
【解析】解：当点B折叠后落在点C上时，此时CE最长为CB2=2，
当点B折叠后落在点A上时，此时CE最短，连接AE，如图，
此时DE垂直平分AB，AE=BE，设CE=x，则BE=AE=4−x，
在Rt△ACE中，AC2+CE2=AE2，
∴32+x2=(4−x)2，
解得x=78，
故答案为：78≤CE≤2．
需要分情况讨论点B落在点A或者点C处时CE的长．
本题主要考查了翻折变换的性质和勾股定理，解题关键是能够推断出CE的最大值和最小值的位置．
17.【答案】解：∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∴∠BAC=180°−30°−30°=120°，
∵∠DAB=42°，
∴∠DAC=∠BAC−∠DAB=120°−42°=78°．
【解析】根据等边对等角可得∠C=∠B=30°，然后根据三角形的内角和定理，即可求出∠BAC，从而求出∠DAC的度数．
此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，掌握等边对等角和三角形的内角和等于180°是解决此题的关键．
18.【答案】解：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=2，
由勾股定理知，AB2=22+52=29，
S正方形ABDE=29，
故S阴影=S正方形ABDE−S△ABC=29−12×2×5=24．
【解析】首先利用勾股定理求得AB边的长度，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答．
此题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．
19.【答案】解：连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+(5−x)2，
解得x=175，
∴CD=BC−DB=5−175=85，
故答案为85．
【解析】连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；
本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20.【答案】证明：∵AE//BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠EAC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DAE=∠EAC，
∴AE平分∠DAC．
【解析】由平行线的性质推出∠B=∠DAE，∠C=∠EAC，由等腰三角形的性质推出∠B=∠C，得到∠DAE=∠EAC，即可证明AE平分∠DAC．
本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，关键是由以上知识点推出∠DAE=∠EAC．
21.【答案】证明：(1)在△ABO和△DCO中，
∠AOB=∠DOC∠ABO=∠DCOAB=DC,
∴△ABO≌△DCO(AAS)；
(2)由(1)知，△ABO≌△DCO，
∴OB=OC
∴∠OBC=∠OCB．
【解析】(1)由已知条件，结合对顶角相等可以利用AAS判定△ABO≌△DCO；
(2)由等边对等角得结论．
此题考查了全等三角形的判定，在做题时要牢固掌握并灵活运用．证明三角形全等是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)点E是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图点E即为所求；
(2)60。
【解析】解：(1)点E是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图点E即为所求；
(2)∵DE⊥AB，
∴∠ABC+∠BDE=90°，
∵点E是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，
∴∠ABE=∠DBE=∠BDE，
∴∠ABE=∠DBE=∠BDE=30°，
∴∠ABC=60°．
故答案为：60．
(1)作∠ABC的平分线BK，线段BD的垂直平分线MN，射线BK与直线MN的交点E即为所求；
(2)根据垂直的定义，角平分线的定义与线段垂直平分线的性质即可解决问题．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
23.【答案】(1)证明：由题意得：∠BEF=∠DEF，
∵四边形ABCD为矩长方形，
∴DE/​/BF，
∴∠BFE=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF；
(2)解：由题意知：BE=DE，
设AE=x，则BE=DE=8−x，
由勾股定理得：(8−x)2=42+x2，
解得：x=3，
∴BF=BE=8−3=5，
∴S△BEF=12×4×5=20．
【解析】(1)根据翻折变换的性质，结合矩形的性质证明∠BEF=∠BFE即可解决问题．
(2)根据勾股定理列出关于线段AE的方程即可解决问题．
本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、勾股定理等几何知识点来解题．
24.【答案】解：(1)如图1，连接BP，
∵在Rt△ABC中，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC= AB2−BC2=8cm，
∴PC=8−PA，
在Rt△BCP中，由勾股定理得，PB2=PC2+BC2，
当PA=PB时，PA2=(8−PA)2+62，
解得PA=254cm，
则t=254÷4=2516；

(2)如图2，作PG⊥AB于G，
∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，∠C=90°，PG⊥AB，
∴CP=GP，
又∵AP=AP，
∴△ACP≌△AGP(HL)，
∴AG=AC=8cm，
∴BG=10−8=2cm，
设CP=x cm，则BP=(6−x)cm，PG=x cm，
∴Rt△BGP中，由勾股定理得：BG2+PG2=BP2，即22+x2=(6−x)2，
解得x=83，
∴AC+CP=323cm，
∴t=323÷4=83，
当点P沿折线A−C−B−A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，
此时，t=(10+8+6)÷4=6，
综上所述，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为83或6．

【解析】(1)连接BP，根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理列方程计算，得到答案；
(2)作PG⊥AB于G，根据角平分线的性质得到CP=GP，根据全等三角形的性质求出BG，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
25.【答案】(1)解：∵D为AB中点，DF⊥DE，
∴DE垂直平分AB，
∴AF=EF，
设AF=EF=x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，CF2+EC2=EF2，
∴(8−x)2+62=x2，
解得x=254，
∴EF=254；
(2)证明：作AG⊥AC，交ED的延长线于G，连接FG，

∵点D为AB的中点，
∴AD=BD，
∵AG⊥AC，
∴∠GAC=∠ACB=90°，
∴AG//BC，
∴∠AGD=∠BED，
在△AGD和△BED中，
∠AGD=∠BED∠ADG=∠BDEAD=DB，
∴△AGD≌△BED(AAS)，
∴BE=AG，DG=DE，
∵DF⊥DE，
∴DF是GE的垂直平分线，
∴GF=EF，
∵∠GAF=90°，
∴AG2+AF2=FG2，
∴BE2+AF2=EF2；
(3)解：当点E在线段BC上时，作BH/​/AC，交FD的延长线于H，连接EH，

由(2)同理可得，△ADF≌△BDH(AAS)，
∴BH=AF，DH=DF，
∴DE是HF的垂直平分线，
∴EF=HE，
∴CF2+CE2=AF2+BE2，
设CF=m，则AF=8−m，
∴m2+22=(8−m)2+42，
解得m=194，
∴CF=194；
当点E在BC延长线上时，如图，作BG/​/AC，交FD的延长线于G，连接EF，EG，

同理可得CF2+CE2=AF2+BE2，
设CF=m，则AF=8−m，
∴m2+22=(8−m)2+82，
解得m=314，
∴CF=314，
综上：CF=194或314．
【解析】(1)根据DE垂直平分AB，得AF=EF，在Rt△CEF中，利用勾股定理即可得出答案；
(2)作AG⊥AC，交ED的延长线于G，连接FG，利用AAS证明△AGD≌△BED，得BE=AG，DG=DE，得出DF是GE的垂直平分线，则GF=EF，再利用勾股定理即可证明结论；
(3)点E在线段BC上或点E在BC延长线上，分别画出图形，利用(2)中的方法解决问题即可．
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，利用中点作平行线构造全等三角形是解题的关键．