河南省南阳市2024届高三上学期期终质量评估数学试题含答案解析

这是一份河南省南阳市2024届高三上学期期终质量评估数学试题含答案解析，共37页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，保持卷面清洁，不折叠、不破损等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．
2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
出4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，且，则实数n的值为（ ）
A. 0B. 1C. 0或D.
2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4. 在三棱锥中，，，，则当该三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 反比例函数（）的图像可以看作是由等轴双曲线经过旋转得到的，那么双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. 4D. 6
6. 已知数列前n项和为，若，，则（ ）
A B. C. D.
7. 抛物线E：的焦点为F，P为准线上任意一点，过点P作E的切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
8. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（ ）
A B.
C. D.
10. 为了研究某种作物在特定温度下（要求最高气温满足：）的生长状况，某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验．现有关于该地区近十年10月份日平均最高气温和日平均最低气温（单位：）的记录如下：
根据上述记录，下列说法正确的有（ ）
A. 农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日
B. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为，，则
C. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为，，则
D. 从10月份的31天中随机选择连续3天，则所选3天中日平均最高气温值都在的概率为
11. 用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ）
A. 截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形
B. 截面有可能是四边形，并且有可能是正方形
C. 截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形
D. 截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形
12. 设函数，若关于的函数恰好有个零点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则实数的取值范围为
B. 若，则实数的取值范围为
C. 若，则实数的取值范围为
D. 若，则实数取值范围为
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 展开式中的系数为_____________．（用数字作答）
14. 若点在圆的外部，则实数a的取值范围为_____________．
15. 某楼梯共有个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上个或者个台阶，则小明不同的上楼方法共有_____________种．（用数字作答）
16. 如图，点为内一点，，，，过点作直线分别交射线，于，两点，则的最大值为_____________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且．
（1）求内角A的大小；
（2）若，求面积的最大值．
18. 已知数列满足，且．数列满足，的前n项和为．
（1）判断数列是否为等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：．
19. 如图，在三棱柱中，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
20. 某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．
（1）求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频率；
（2）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w至少定为多少？（精确到0.01）
（3）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值．
21. P为平面直角坐标系内一点，过P作x轴的垂线，垂足为M，交直线（）于Q，过P作y轴的垂线，垂足为N，交直线于R，若△OMQ，ONR的面积之和为．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若，，，，过点G的直线l交C于D，E两点，是否存在常数n，对任意直线l，使为定值？若存在，求出n的值及该定值，若不存在，请说明理由．
22. 已知函数（），为的导数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：．
2023年秋期高中三年级期终质量评估
数学试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．
2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
出4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，且，则实数n的值为（ ）
A. 0B. 1C. 0或D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，结合互异性以及集合与元素的关系即可得解.
【详解】由题意，所以，而，即，
所以或，解得或满足题意.
故选：C.
2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布的性质可得，即可得到、关于对称，从而得到方程，解得即可.
【详解】解：因为，
，
所以，
所以，解得.
故选：D
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得函数不是偶函数，图象不关于轴对称，然后再根据特殊值进行判断可得结果．
【详解】解：，所以的图象不关于轴对称，排除选项B，C，
又因为，排除A.
故选：D.
【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的大体图象，考查分析判断能力和应用意识，结合函数奇偶性的判断，属于基础题.
4. 在三棱锥中，，，，则当该三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】要使该三棱锥的体积最大，只需,面，求出球的球心，进而求出球的半径和表面积．
【详解】设点到底面的距离为，
则，
要使该三棱锥的体积最大时,则需达到最大值,即,
即面，
所以的斜边的中点为外接圆圆心，
因为，，所以,
如图所示，易得四边形为矩形，
所以，令棱锥外接球半径为R，
设，则
即，解得，
所以,解得，
所以该三棱锥的外接球表面积为.
故选：C.
5. 反比例函数（）图像可以看作是由等轴双曲线经过旋转得到的，那么双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】求出双曲线与对称的交点即顶点坐标，求出顶点到中心的距离即得，从而求得，得出结论．
【详解】双曲线的对称轴是直线和，
它与对称轴的交点是，，即为双曲线的顶点，
顶点到中心（原点）的距离为，即，
因此，，焦距为．
故选：B．
6. 已知数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用得出是等比数列，由通项公式求出后求出.
【详解】由，得，所以，又，
所以是等比数列，首项为1，公比为3，所以，
所以
故选：D
7. 抛物线E：的焦点为F，P为准线上任意一点，过点P作E的切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用抛物线对称性设不妨设切点为A在第一象限，然后利用导函数求切线斜率，进而求出直线方程，得，得，最后利用基本不等式求最值.
【详解】由，根据抛物线的对称性，不妨设切点为A在第一象限，所以A 在上，
设，， ，
由，得，切线斜率为，
故切线方程为，
又在直线，得，
得，所以，
所以，，
，
当且仅当，即时取等号，的最小值为.
故选：A
8. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】转化为有两个变号零点，令，求导，分和两种情况，得到其单调性，极值和最值情况，从而得到不等式，再构造函数，求导得到其单调性，极值最值情况，求出答案.
【详解】由题意得有两个变号零点，
令，定义域为R，
则，
当时，恒成立，在R上单调递增，不会有两个零点，舍去，
当时，令得，，令得，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
则，即，
令，，则，
令得，令得，
在上单调递增，在单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
又，故的解集为，
此时当趋向于负无穷时，趋向于正无穷，
当趋向于正无穷时，趋向于正无穷，
满足有2个变号零点.
故选：C
【点睛】结论点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 设复数共轭复数为，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算法则，即可求解.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，，，所以，故D错误.
故选：AC
10. 为了研究某种作物在特定温度下（要求最高气温满足：）的生长状况，某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验．现有关于该地区近十年10月份日平均最高气温和日平均最低气温（单位：）的记录如下：
根据上述记录，下列说法正确的有（ ）
A. 农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日
B. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为，，则
C. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为，，则
D. 从10月份的31天中随机选择连续3天，则所选3天中日平均最高气温值都在的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，从图中可以看出，从7日到17日时，最高温度满足，因此选择起始日期为7日或8日，从而判断出选项A的正误；通过图，分别求出前10天的最高温度和最低温度的方差，即可判断出选项B和C的正误；对于选项D，随机选择连续三天，共有29种可能，满足题意的选择有10种可能，由古典概型概率公式可得结论，从而得出结果．
【详解】因为某种作物要求最高气温满足：，
由图可知，10月6日的平均最高气温为，从10月18日起的平均最高气温均低于，
所以农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日，故选项A正确；
因为10月1日至10月10的最高气温分别为：，
其平均数为，
所以，
又10月1日至10月10的最低气温分别为：，
其平均数为，
所以，
故，所以选项B错误，选项C正确，
对于选项D，设“所选3天中日平均最高气温值都在”为事件，
易知，基本事件为，共个，
又由题图可以看出，事件中包含，，
，共10个，
所以，故选项D正确，
故选：ACD.
11. 用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ）
A. 截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形
B. 截面有可能是四边形，并且有可能是正方形
C. 截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形
D. 截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合正方体的几何结构，以及截面的概念与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，在正方体中，
对于A中，过点三点的截面为，截面的形状为正三角形，所以A正确；
对于B中，过棱的中点，作正方体的截面，此时截面与上下底面平行且全等，所以截面的性质为正方形，所以B正确；
对于C中，用一个平面截正方体，截面可以是五边形，但不能为正五边形，所以C错误；
对于D中，如图所示，用一个平面截正方体，当取各边的中点时，截面是正六边形，所以D正确.
故选：ABD.

12. 设函数，若关于的函数恰好有个零点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则实数的取值范围为
B. 若，则实数的取值范围为
C. 若，则实数的取值范围为
D. 若，则实数的取值范围为
【答案】CD
【解析】
【分析】令，则零点的个数，就是方程的根的个数，最后转化为的零点的个数问题，画出的图象，由图象逐项分析即可.
【详解】令，则，作的图象如图所示：
所对应的方程为，
，
当时，则，故方程为，解为，此时关于的函数有个零点，故A错误；
当时，方程有两个不相等的实根为：或，
若关于的函数恰好有个零点，
则只有一个零点，由图可知实数的取值范围为，故B错误；
若关于的函数恰好有个零点，
则有个零点，由图可知实数的取值范围为，故C正确；
若关于的函数恰好有个零点，
则有个零点，由图可知实数的取值范围为，故D正确；
故选：CD.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 展开式中的系数为_____________．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】由二项展开式的通项公式可得．
【详解】展开式的通项为，
令，得，
因此所求系数为．
故答案为：．
14. 若点在圆的外部，则实数a的取值范围为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程表示圆可得，由点在圆外可得，解不等式组即可.
【详解】由在圆的外部，
得，解得，或，
故答案为：
15. 某楼梯共有个台阶，小明在上楼梯时候每步可以上个或者个台阶，则小明不同的上楼方法共有_____________种．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】借助加法计数原理，得到，依次计算即可.
【详解】设小明上个台阶有种方法，考虑最后一步：
若最后一步小明上个台阶，则前个台阶有种方法且；
若最后一步小明上个台阶，则前个台阶有种方法且.
由加法原理得，易知，
可得，
所以小明不同的上楼方法共有种.
故答案为：.
16. 如图，点为内一点，，，，过点作直线分别交射线，于，两点，则的最大值为_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】用正弦定理表示、，再结合辅助角求函数的最大值.
【详解】如图：
设，，则.
在中，由正弦定理得：；
同理，在中，.
所以
（当且仅当时取等号）
故答案为：
【点睛】方法点睛：一般选择填空求最值得问题，通常有以下方法：
第一：转化为二次函数在给定区间上的值域问题求解；
第二：运用基本（均值）不等式求最值；
第三：转化为三角函数求值域；
第四：较少题目会用导数分析函数单调性求值域.
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且．
（1）求内角A的大小；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）把向量的数量积用坐标表示后利用正弦定理化边为角，利用三角函数性质可得；
（2）用余弦定理后利用基本不等式得出的最大值，从而可得面积最大值．
【小问1详解】
∵，，且，
∴，
∴由正弦定理得．
∵，∴，
∴，．
∵，∴．
【小问2详解】
∵，
∴由余弦定理得，即．
∵，∴，∴，
当且仅当时，等号成立，
∴，
∴面积有最大值，最大值为．
18. 已知数列满足，且．数列满足，的前n项和为．
（1）判断数列是否为等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）是，；
（2）证明见解析﹒
【解析】
【分析】(1)通过恒等变形得，从而得，即可判断为等差数列，可求的通项公式，再由得的通项公式；
(2)先由(1)得，再利用放缩法和裂项相消法证明．
【小问1详解】
因为，
所以，
则．
所以，
又，所以，
故数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
得．
【小问2详解】
由(1)可得，所以．
当时，．
当时，．
所以
．
19. 如图，在三棱柱中，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先由解三角形知识得，同理，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证.
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角的余弦公式结合平方关系即可得解.
【小问1详解】
如图，连接，在中，，，，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以，
同理，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
【小问2详解】
由平面几何知识可知，，
以C为坐标原点，以，为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得．
又平面的法向量为，
∴，
所以二面角的正弦值为．
20. 某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．
（1）求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频率；
（2）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w至少定为多少？（精确到0.01）
（3）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值．
【答案】（1），，，0.25
（2）2.83 （3）分布列见解析，2.1
【解析】
【分析】（1）前四组频数成等差数列，所以对应的频率除以组距也成等差数列，设，，，然后根据频率之和等于1可求得；
（2）根据百分位的定义可得；
（3）首先求出X的可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率，列出分布列求出均值.
【小问1详解】
∵前四组频数成等差数列，所以对应的频率除以组距也成等差数列
∴设，，，
∴，
解得，
∴，，．
居民月用水量在2～2.5内的频率为．
【小问2详解】
由题图及（1）可知，居民月用水量小于等于2.5的频率为，
∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，
应规定
【小问3详解】
将频率视为概率，设A（单位：立方米）代表居民月用水量，
可知，
由题意，知，
，
，
，
．
∴X的分布列为
∵，
∴．
21. P为平面直角坐标系内一点，过P作x轴的垂线，垂足为M，交直线（）于Q，过P作y轴的垂线，垂足为N，交直线于R，若△OMQ，ONR的面积之和为．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若，，，，过点G的直线l交C于D，E两点，是否存在常数n，对任意直线l，使为定值？若存在，求出n的值及该定值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在常数，对任意直线l，使（为定值）
【解析】
【分析】（1）分析题意求出轨迹即可.
（2）分斜率是否存在的两种情况讨论即可.
【小问1详解】
设，则，，
由题意可得，，即，
故点P的轨迹C的方程为；
【小问2详解】
由（1）可知C：
假设存常数n，使（常数），
设直线l：，代入C，整理得，
设，
则，
所以
整理化简得：对恒成立．
故，
∴，
∴或（舍去）
当直线l为x轴时
综上，存在常数，对任意直线l，使（为定值）
22. 已知函数（），为的导数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出，然后分和结合导函数求单调区间；
（2）当时，根据函数的正负证明，当时，转化为证，构造函数求导分析单调性与最值即可.
【小问1详解】
由，得
依题意知：，所以 ，
所以
①时，恒成立，在上单调递减；
②时，由，得，得，
在上单调递减，上单调递增．
【小问2详解】
依题意，要证：，
①当时，，故原不等式成立，
②当时，要证：，
即要证：，
令，（）
则，令，
则，
先证：，即要证：，
令，则，
∵，所以，所以在单调递增，
所以，即，
当时，，，
，
所以在单调递减，
所以
所以在单调递减，
所以
即，得证
【点睛】关键点点睛：本题证明不等式的关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，令，利用导数可求得单调性，由此可得函数最值，从而得到结论.
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343