人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形第二课时综合训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形第二课时综合训练题，共6页。

[A组 必备知识练]
1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台 B．②是圆台
C．③是圆锥 D．④是棱柱
解析：①中的几何体不是由棱锥被一个平面所截得到的，且上、下底面不相似，故A错误．②中的几何体上、下两个平面不平行，故B错误．③中的几何体顶点与底面圆周上任一点连线不相等，故C错误．④中的几何体是一个五棱柱，故D正确．
答案：D
2．下列说法正确的是( )
A．以直角三角形的一边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
解析：A选项，以直角三边形的一直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥，故A错误．B选项，以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台，故B错误．D选项，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，故D错误．
答案：C
3．(多选)下列说法正确的是( )
A．圆柱的底面是圆面
B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
解析：A正确，圆柱的底面是圆面；B正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；C不正确，圆台的母线延长相交于一点；D不正确，夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
答案：AB
4．用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面的面积为( )
A．8 B． eq \f(8,π)
C． eq \f(4,π) D． eq \f(2,π)
解析：若圆柱底面周长为4，则r＝ eq \f(4,2π)，l＝2，∴S轴截面＝2rl＝2× eq \f(4,2π)×2＝ eq \f(8,π).
若圆柱底面周长为2，则r＝ eq \f(2,2π)，l＝4，∴S轴截面＝2rl＝2× eq \f(2,2π)×4＝ eq \f(8,π).
答案：B
5．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．
解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝ eq \r(42－r2).
由题意可知 eq \f(1,2)·2r·h＝r eq \r(42－r2)＝8，所以r2＝8，所以h＝2 eq \r(2).
答案：2 eq \r(2)
6．一个圆锥底面半径为2，母线长为6，将此圆锥沿一条母线展开，得到的扇形的面积为________．
解析：如图，扇形半径为圆锥母线l＝6，扇形弧长＝2πr＝4π，
∴扇形面积为S扇＝ eq \f(1,2)×2πr×l＝12π.
答案：12π
7．一个圆锥的高为2 cm，母线与旋转轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．
解：作圆锥的轴截面，如图所示，则 eq \f(h,l)＝cs 30°＝ eq \f(\r(3),2)，
∴l＝ eq \f(4\r(3),3) cm，r＝ eq \f(2\r(3),3) cm，
∴S轴截面＝ eq \f(1,2)×2r×h＝ eq \f(2\r(3),3)×2＝ eq \f(4\r(3),3)(cm2).
即圆锥的母线长为 eq \f(4\r(3),3) cm，轴截面面积为 eq \f(4\r(3),3) cm2.
8.如图，已知圆柱底面半径为 eq \f(2,π)，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，求小虫爬行路线的最短长度．
解：如图，将圆柱的侧面展开，其中AB为底面圆周的一半，
即AB＝πr＝π× eq \f(2,π)＝2，BC ＝2，
则小虫爬行的最短路线为线段AC，
所以在矩形ABCD中，AC＝ eq \r(AB2＋BC2)＝ eq \r(22＋22)＝2 eq \r(2)，
故小虫爬行路线的最短长度为2 eq \r(2).
[B组 关键能力练]
9．若球的半径为2，则与球心距离为 eq \r(3)的平面截球所得的圆的面积为( )
A．4π B． eq \r(3)π
C．2π D．π
解析：已知球的半径R＝2，球心与截面距离d＝ eq \r(3)，
∴截面圆的半径r＝ eq \r(R2－d2)＝1，
∴截面圆的面积为πr2＝π.
答案：D
10．(多选)某圆锥的底面半径为3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是( )
A．圆锥的侧面展开图的圆心角为 eq \f(3π,2)
B．圆锥的高为 eq \r(7)
C．过圆锥的两条母线作截面，截面面积的最大值为8
D．圆锥轴截面的面积为 eq \f(3,2) eq \r(7)
解析：A选项，在侧面展开图中，扇形半径长为4，弧长为2πr＝6π，所以圆心角α＝ eq \f(6π,4)＝ eq \f(3π,2)，正确．B选项，圆锥的高h＝ eq \r(l2－r2)＝ eq \r(16－9)＝ eq \r(7)，正确．C选项，在轴截面中，顶角θ的余弦值cs θ＝ eq \f(42＋42－62,2×4×4)＝－ eq \f(1,8)＜0，所以θ为钝角，故当两条母线垂直时，截面面积最大，为 eq \f(1,2)×4×4×sin 90°＝8，正确．D选项，S轴截面＝ eq \f(1,2)×2r×h＝3× eq \r(7)＝3 eq \r(7)，错误．
答案：ABC
11．若一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.
解析：如图是圆锥的轴截面，
则SA＝20 cm，∠ASO＝30°，
∴AO＝10 cm，SO＝10 eq \r(3) cm.
答案：10 eq \r(3)
12．若一个圆锥底面半径为2 cm，高为 eq \r(2) cm，其中有一个内接正方体，则这个内接正方体的棱长为________ cm.
解析：过圆锥顶点和正方体上对角线作圆锥轴截面如图所示，则
OA＝2，SO＝ eq \r(2).设正方体棱长为a，
则EM＝ eq \f(\r(2),2)a.
由△SEM∽△SAO，可得 eq \f(EM,OA)＝ eq \f(SM,SO)＝ eq \f(SO－OM,SO)，
∴ eq \f(\f(\r(2),2)a,2)＝ eq \f(\r(2)－a,\r(2))，
∴a＝ eq \f(2\r(2),3)，即正方体棱长为 eq \f(2\r(2),3) cm.
答案： eq \f(2\r(2),3)
13．一个圆台的母线长为12 cm，两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2.
(1)求圆台的高；
(2)求截得此圆台的圆锥的母线长．
解：(1)过圆台的轴作截面，如图，截面为等腰梯形ABCD，设O1，O分别为AD，BC的中点，连接O1O，作AM⊥BC于点M.
由已知可得上底面半径O1A＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，腰长AB＝12 cm，所以AM＝ eq \r(122－32)＝3 eq \r(15)(cm)，即圆台的高为3 eq \r(15) cm.
(2)延长BA，OO1交于点S.设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，则由△SAO1∽△SBO，可得 eq \f(SA,SB)＝ eq \f(AO1,BO)，即 eq \f(l－12,l)＝ eq \f(2,5)，所以l＝20，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
[C组 素养培优练]
14．如图所示，某圆锥的高为 eq \r(3)，底面半径为1，O为底面圆心，OA，OB为底面半径，且∠AOB＝ eq \f(2π,3)，M是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最短路径的长度为________．
解析：由题意，PO＝ eq \r(3)，r＝1，
∴PA＝PB＝2，
底面周长C＝2πr＝2π，
故圆锥侧面展开图为半圆，如图．
由∠AOB＝ eq \f(2π,3)，
∴ eq \(AB,\s\up8(︵))＝ eq \f(2π,3)，
∴∠APB＝ eq \f(π,3)，
∴△PAB是正三角形，边长为2，且M是PA的中点，
∴BM＝ eq \f(\r(3),2)×2＝ eq \r(3)，
即从M到B的路径中，最短路径长是 eq \r(3).
答案： eq \r(3)