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吉林省松原市实验高级中学2020-2021学年高二下学期期末备考文科数学试题
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这是一份吉林省松原市实验高级中学2020-2021学年高二下学期期末备考文科数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知，则的值为等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年度高二下学期期末备考试卷
文科数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题，，则为（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．执行下面的程序框图，则输出的的值为（ ）
A．41B．48C．60D．71
5．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点，若
，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知等差数列的前n项和为，公差为，，，
当取最小值时，n的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
8．1904年，瑞典数学家柯克构造了一种曲线，取一个正三角形，在每个边以中间的部分为一边，向外凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的部分擦掉，就成了一个很像雪花的六角星，如图所示．现在向圆中均匀的散落1000粒豆子，则落在六角星中的豆子数约为（ ）（，）
A．577B．537C．481D．331
9．已知函数是定义域为的递减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
10．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算术和几何的纽带．如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（ ）
A．153B．190C．231D．276
11．已知圆及直线，设直线与圆相交所得的最长弦长为，最短弦为，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．在三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______．
14．在中，若，，则外接圆的面积为__________．
15．已知直线是曲线的一条切线，则实数________．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为_________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的外接圆半径为，且．
（1）求a；
（2）若，求的面积．
18．（12分）年开始，小李在县城租房开了一间服装店，每年只卖甲品牌和乙品牌的服装．
小李所租服装店每年的租金如下表：
根据以往的统计可知，每年卖甲品牌服装的收入为万元，卖乙品牌服装的收入为万元．
（1）求关于的线性回归方程；
（2）由（1）求得的回归方程预测此服装店年的利润为多少．（年利润年收入年租金）
参考公式：在线性回归方程中，，．
19．（12分）如图，在长方体中，，，．点为对角线的中点．
（1）证明：直线平行于平面；
（2）求点到平面的距离．
20．（12分）已知函数，其中为实数，
（1）若，求函数的极值；
（2）若方程在上有实数解，求的取值范围．
21．（12分）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，且．
（1）求的方程；
（2）直线上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-5：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知直线的极坐标方程为，分别与曲线和交于点（异于点）和点，求线段的长．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
等式的解集为，且，．
（1）求的值；
（2）设函数．若对于任意的，都有恒成立，
求的取值范围．
49 54 43 54 82 17 37 93 23 28 87 35 20 56 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
年份
年份代号
租金（千元）
文 科 数 学 答 案
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】由，得，
因为，所以，故选B．
2．【答案】C
【解析】由复数的运算法则，可得，
所以复数的虚部为，故选C．
3．【答案】B
【解析】根据全称命题的否定可知，为，故选B．
4．【答案】B
【解析】执行程序框图，，，满足，，满足，；
，满足，，满足，；
，满足，，满足，；
，满足，，满足，；
，不满足，，满足，；
，不满足，，满足，；
，不满足，，满足，；
，不满足，，满足，；
，不满足，，满足，；
，不满足，，满足，；
，不满足，，不满足，输出的值为48，
故选B．
5．【答案】B
【解析】
，
故选B．
6．【答案】D
【解析】由题意知，
因为，所以，，，
故选D．
7．【答案】B
【解析】
，
整理得，解得或（舍去），
即，则．
当时，数列单调递减，当时，数列单调递增，
当时，；当时，，
故当时，取最小值，故选B．
8．【答案】A
【解析】设原正三角形边长为，
则由正弦定理得，即，
所以正三角形外接圆半径为，则，
又由题意得凸出来的小正三角形边长为，
则，
则，
所以落在六角星中的豆子数约为，故选A．
9．【答案】D
【解析】因为，所以，，
因为，即，
即，
因为函数是定义域为的递减函数，所以，解得或．
故选D．
10．【答案】C
【解析】记第个六边形数为，
由题意知：，，
，，，
，
累加得，
即，
所以，故选C．
11．【答案】A
【解析】将圆方程整理为，则圆心，半径；
将直线方程整理为，则直线恒过定点，且在圆内；
最长弦为过的圆的直径，则；
最短弦为过，且与最长弦垂直的弦，
，，直线方程为，即，
圆心到直线的距离为，，
四边形的面积，故选A．
12．【答案】C
【解析】如图，取中点，中点，连接，是等边三角形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
过作平面，则，
因为，所以三棱锥的外接球的球心在上，
设球心为，连接，设外接球半径为，
由已知，，，，
在直角梯形中，，，，
所以球表面积为，故选C．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】05
【解析】根据随机数表，排除超过33及重复的编号，第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号05，故选出来的第3个红色球的编号为05．
14．【答案】
【解析】中，因，
则，化简得，
而，则，，
外接圆半径为R，由正弦定理得，即，
所以外接圆的面积为，故答案为．
15．【答案】
【解析】由题可得，令，解得，
将代入，可得，
所以点在直线上，所以，解得，
故答案为．
16．【答案】
【解析】易知直线的方程为，
因为，则直线的方程为，
联立，解得，即点，
易知点在直线，可得，，
因此，该双曲线的离心率为，
故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由及正弦定理，得，
又在中，，则，可得，
即得，
又，则．
又的外接圆的半径，
由正弦定理．
（2）由（1）知，
又，
则由余弦定理得，解得，
则，故的面积为．
18．【答案】（1）；（2）万元．
【解析】（1）根据表中数据，计算可得，，
，，
，，
关于的线性回归方程为．
（2）将代入回归方程得（千元），
预测第年卖甲品牌服装的收入为万元，卖乙品牌服装的收入为万元，
预测年的利润为（万元）．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）如图所示，在正方体中，连接，，
因为，且平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
因为，且平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面．
（2）由（1）知平面，
故点到平面的距离即点到平面的距离，
由已知条件可得，，，所以，
又由，
设到平面的距离为，
由，可得，解得，
即点到平面的距离为．
20．【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）．
【解析】（1）当时，，该函数的定义域为，．
由，可得，此时函数单调递减；
由，可得，此时函数单调递增，
所以，函数在处取得极小值，即．
（2）由，可得出，
令，，则，
作出函数与在上的图象如下图所示：
当直线与曲线在处相切时，则，
当直线过点时，则有，解得．
由图可知，当时，方程在上有实数解，
因此，实数的取值范围是．
21．【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）由题可知，直线方程为，
设，，联立，得，
所以，
直线过焦点，所以，所以，
故抛物线的方程为．
（2）联立，得，
所以，，
设点，则，，
由，得
，
即，解得，
所以存在点符合题意．
22．【答案】（1）曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）．
【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，即，
因为，
所以曲线的极坐标方程为，
由，得，
又因为，
所以曲线的直角坐标方程为．
（2）设，，
将代入，得，
将代入，得，
所以．
23．【答案】（1）3；（2）．
【解析】（1）因为不等式的解集为，且，，
所以，即，
所以，
因为，所以．
（2）由（1）知，
所以，
画出的图象如图所示：
当时，．
若对于恒成立，
则，解得，
所以的取值范围为．
2020-2021学年度高二下学期期末备考试卷
文科数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题，，则为（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．执行下面的程序框图，则输出的的值为（ ）
A．41B．48C．60D．71
5．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点，若
，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知等差数列的前n项和为，公差为，，，
当取最小值时，n的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
8．1904年，瑞典数学家柯克构造了一种曲线，取一个正三角形，在每个边以中间的部分为一边，向外凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的部分擦掉，就成了一个很像雪花的六角星，如图所示．现在向圆中均匀的散落1000粒豆子，则落在六角星中的豆子数约为（ ）（，）
A．577B．537C．481D．331
9．已知函数是定义域为的递减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
10．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算术和几何的纽带．如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（ ）
A．153B．190C．231D．276
11．已知圆及直线，设直线与圆相交所得的最长弦长为，最短弦为，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．在三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______．
14．在中，若，，则外接圆的面积为__________．
15．已知直线是曲线的一条切线，则实数________．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为_________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的外接圆半径为，且．
（1）求a；
（2）若，求的面积．
18．（12分）年开始，小李在县城租房开了一间服装店，每年只卖甲品牌和乙品牌的服装．
小李所租服装店每年的租金如下表：
根据以往的统计可知，每年卖甲品牌服装的收入为万元，卖乙品牌服装的收入为万元．
（1）求关于的线性回归方程；
（2）由（1）求得的回归方程预测此服装店年的利润为多少．（年利润年收入年租金）
参考公式：在线性回归方程中，，．
19．（12分）如图，在长方体中，，，．点为对角线的中点．
（1）证明：直线平行于平面；
（2）求点到平面的距离．
20．（12分）已知函数，其中为实数，
（1）若，求函数的极值；
（2）若方程在上有实数解，求的取值范围．
21．（12分）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，且．
（1）求的方程；
（2）直线上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-5：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知直线的极坐标方程为，分别与曲线和交于点（异于点）和点，求线段的长．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
等式的解集为，且，．
（1）求的值；
（2）设函数．若对于任意的，都有恒成立，
求的取值范围．
49 54 43 54 82 17 37 93 23 28 87 35 20 56 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
年份
年份代号
租金（千元）
文 科 数 学 答 案
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】由，得，
因为，所以，故选B．
2．【答案】C
【解析】由复数的运算法则，可得，
所以复数的虚部为，故选C．
3．【答案】B
【解析】根据全称命题的否定可知，为，故选B．
4．【答案】B
【解析】执行程序框图，，，满足，，满足，；
，满足，，满足，；
，满足，，满足，；
，满足，，满足，；
，不满足，，满足，；
，不满足，，满足，；
，不满足，，满足，；
，不满足，，满足，；
，不满足，，满足，；
，不满足，，满足，；
，不满足，，不满足，输出的值为48，
故选B．
5．【答案】B
【解析】
，
故选B．
6．【答案】D
【解析】由题意知，
因为，所以，，，
故选D．
7．【答案】B
【解析】
，
整理得，解得或（舍去），
即，则．
当时，数列单调递减，当时，数列单调递增，
当时，；当时，，
故当时，取最小值，故选B．
8．【答案】A
【解析】设原正三角形边长为，
则由正弦定理得，即，
所以正三角形外接圆半径为，则，
又由题意得凸出来的小正三角形边长为，
则，
则，
所以落在六角星中的豆子数约为，故选A．
9．【答案】D
【解析】因为，所以，，
因为，即，
即，
因为函数是定义域为的递减函数，所以，解得或．
故选D．
10．【答案】C
【解析】记第个六边形数为，
由题意知：，，
，，，
，
累加得，
即，
所以，故选C．
11．【答案】A
【解析】将圆方程整理为，则圆心，半径；
将直线方程整理为，则直线恒过定点，且在圆内；
最长弦为过的圆的直径，则；
最短弦为过，且与最长弦垂直的弦，
，，直线方程为，即，
圆心到直线的距离为，，
四边形的面积，故选A．
12．【答案】C
【解析】如图，取中点，中点，连接，是等边三角形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
过作平面，则，
因为，所以三棱锥的外接球的球心在上，
设球心为，连接，设外接球半径为，
由已知，，，，
在直角梯形中，，，，
所以球表面积为，故选C．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】05
【解析】根据随机数表，排除超过33及重复的编号，第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号05，故选出来的第3个红色球的编号为05．
14．【答案】
【解析】中，因，
则，化简得，
而，则，，
外接圆半径为R，由正弦定理得，即，
所以外接圆的面积为，故答案为．
15．【答案】
【解析】由题可得，令，解得，
将代入，可得，
所以点在直线上，所以，解得，
故答案为．
16．【答案】
【解析】易知直线的方程为，
因为，则直线的方程为，
联立，解得，即点，
易知点在直线，可得，，
因此，该双曲线的离心率为，
故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由及正弦定理，得，
又在中，，则，可得，
即得，
又，则．
又的外接圆的半径，
由正弦定理．
（2）由（1）知，
又，
则由余弦定理得，解得，
则，故的面积为．
18．【答案】（1）；（2）万元．
【解析】（1）根据表中数据，计算可得，，
，，
，，
关于的线性回归方程为．
（2）将代入回归方程得（千元），
预测第年卖甲品牌服装的收入为万元，卖乙品牌服装的收入为万元，
预测年的利润为（万元）．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）如图所示，在正方体中，连接，，
因为，且平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
因为，且平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面．
（2）由（1）知平面，
故点到平面的距离即点到平面的距离，
由已知条件可得，，，所以，
又由，
设到平面的距离为，
由，可得，解得，
即点到平面的距离为．
20．【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）．
【解析】（1）当时，，该函数的定义域为，．
由，可得，此时函数单调递减；
由，可得，此时函数单调递增，
所以，函数在处取得极小值，即．
（2）由，可得出，
令，，则，
作出函数与在上的图象如下图所示：
当直线与曲线在处相切时，则，
当直线过点时，则有，解得．
由图可知，当时，方程在上有实数解，
因此，实数的取值范围是．
21．【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）由题可知，直线方程为，
设，，联立，得，
所以，
直线过焦点，所以，所以，
故抛物线的方程为．
（2）联立，得，
所以，，
设点，则，，
由，得
，
即，解得，
所以存在点符合题意．
22．【答案】（1）曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）．
【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，即，
因为，
所以曲线的极坐标方程为，
由，得，
又因为，
所以曲线的直角坐标方程为．
（2）设，，
将代入，得，
将代入，得，
所以．
23．【答案】（1）3；（2）．
【解析】（1）因为不等式的解集为，且，，
所以，即，
所以，
因为，所以．
（2）由（1）知，
所以，
画出的图象如图所示：
当时，．
若对于恒成立，
则，解得，
所以的取值范围为．
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