海南省海口市第一中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题

这是一份海南省海口市第一中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合交集的定义求解判断.
【详解】因为，，
根据交集定义，可得.
故选：C.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据诱导公式一可求出结果.
【详解】.
故选：B
3. 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由即可求出，则可求出的值.
【详解】当时，，无解，
当时，，
所以，
故选：B
4. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出函数的定义域，再根据对数型复合函数的单调性即可求解.
【详解】令，由，解得，或，
当时，函数单调递减，则单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故选：A.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件判断函数为奇函数，且在为负数，从而得出结论.
【详解】,
因此函数为奇函数，图像关于原点对称排除；
当时，，，因此.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是函数图像的应用，奇偶性的应用，根据奇偶函数的对称性进行判断是解决本题的关键，是中档题.
6. 李明开发的小程序经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（取）
A. 31B. 32C. 33D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】依题意知，从而求得，再令，结合对数运算可求得结果.
【详解】∵经过t天后，用户人数，
又∵小程序发布经过10天后有2000名用户，∴，
即，可得，∴①
当用户超过50000名时有，
即，可得，∴②
联立①和②可得，即，故，
∴用户超过50000名至少经过的天数为34天.
故选：D.
7. 若在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合正弦型函数的单调区间列出不等式，然后结合条件代入计算，即可得到结果.
【详解】令，
所以，
所以函数的单调增区间为，
又因为在上单调递增，
则是，的一个子区间，
当时，即，
若是的子集，
则
故选:D．
8. 函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若对任意，均有，则实数t的最大值是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性与单调性可得，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可得解.
【详解】因为，所以，则，
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
则由得，
又因为在上是增函数，所以，
两边平方化简得在恒成立，
令，则，
又因为开口向上，对称轴为，
所以在单调递增，
则，解得，
又因为，所以，
所以的最大值为.
故选：B.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. 设则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用不等式的性质即可求解.
【详解】对于A，当时，则，故A不正确；
对于B，由，则，故B正确；
对于C，当时，则，故C正确；
对于D，因为，所以，由可得，故D正确；
故选：BCD
10. 下列不等式中成立的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由三角函数的诱导公式化简，然后根据正弦、余弦函数的单调性比较各选项中角的大小关系，从而得出函数值的大小关系.
【详解】对A，因为，在单调递增，所以，故A正确；
对于B，，，故B错误；
对C，因为，在单调递减，所以，故C错误；
对于D，，故D正确
故选：AD.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图像关于中心对称B. 的最小正周期为
C. 在区间上单调递增D. 的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数解析式，结合三角函数的性质，分别判断各选项.
【详解】，函数定义域为，
，所以函数图像上的点关于的对称点也在函数图像上，即的图像关于中心对称，A选项正确；
，不是的周期，B选项错误；
当时，，所以在区间上单调递增，C选项正确；
当时，，，有，
当时，，，有，
所以的值域为，D选项错误.
故选：AC
12. 给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ）
A. 若，，，则
B. 函数在上只有一个零点，且该零点在区间上
C. 实数是命题“，”为假命题的充分不必要条件
D. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性判断A，根据零点存在性定理及函数单调性判断B，根据二次不等式的求解及充分必要条件判断C，构造函数，根据函数单调性解不等式判断D.
【详解】对于A：若，，，则，，又，
所以，故A正确；
对于B，函数在上单调递增，且，，故该零点在区间上错误，故B错误；
对于C，命题“，”为假命题，
则“，”为真命题，
当时，，为真命题，
当时，，为假命题，
当时，若时，，此时“，”为真命题，
当时，，此时“，”为假命题，
综上实数是命题“，”为假命题的充分不必要条件，故C正确；
对于D，定义在上的函数满足，
不妨设，则，即，令，，
则，故单调递减，因为，所以，
由变形为，即，
根据单调递减，所以，故D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）.
13. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，点是角终边上一点，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据三角函数的定义得到，再利用弦切互化将的分子和分母同时除以得到，即可求解.
【详解】因为点是角终边上一点，所以，
所以，
故答案为：1.
14. 某城市一圆形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该空地建设运动公园（图中阴影部分）.若是以B为直角的等腰直角三角形，，则该公园的面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用扇形面积公式即可得到结果.
【详解】由题可知圆心为的中点，，连接，
该公园的面积
故答案为：
15. 若函数相邻两条对称轴之间的距离为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据相邻两条对称轴之间的距离为计算得函数周期，从而可计算出值，即可得函数，代值计算即可.
【详解】由题意知，函数的周期为，
所以，则，得，
所以，
故答案为：.
16. 设，对于任意实数x，记，若方程至少有3个根，则实数a的最小值为______.
【答案】10
【解析】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点，
则，解得或.
①当时，，作出函数、的图象如图所示：
，，
此时函数只有两个零点，不满足题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、（），
要使得函数至少有3个零点，则，
所以，解得；
③当时，，作出函数、的图象如图所示：
由图可知，函数的零点个数为3，满足题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、（），
要使得函数至少有3个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数a的取值范围是.
故答案为：10.
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)图象法：作出函数的图象，观察与轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式可化简的表达式；
（2）由已知可得出，等式两边平方可得的值，进而可计算得出的值.
【小问1详解】
解：.
【小问2详解】
解：因为，所以，
两边平方得，所以，
所以，所以，
所以.
18. 已知函数.
（1）若，求函数在上的最小值；
（2）求关于x的不等式的解集.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】(1) 根据已知条件及基本不等式即可求解；
(2) 利用一元二次不等式的解法及对参数分类讨论即可求解.
【小问1详解】
由，得，解得，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以当时，函数在上的最小值为.
【小问2详解】
由，得，即，
当时，不等式，解得，不等式的解集为；
当即时，不等式的解集为或；
当即时，不等式的解集为或；
综上所述：时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或.
19. 已知为锐角，且.
（1）求的值；
（2）求函数的定义域和单调区间.
【答案】（1）
（2）定义域为；单调递增区间为，，无单调递减区间
【解析】
【分析】（1）根据条件解关于的一元二次方程，从而得到的值，结合为锐角，即可求解；
（2）由（1）得到，结合正切函数的定义域和单调性，即可求解.
【小问1详解】
由，得，
得或，
∵为锐角，∴，
∴.
【小问2详解】
由（1）得，则，
令，得，.
即函数的定义域为.
再令，，
解得，
即函数的单调递增区间为，，无单调递减区间.
20. 函数的最小正周期为．
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）当时，求的最大值和最小值及对应x的值．
【答案】（1），
（2）的最大值为2，，的最小值为－1，
【解析】
【分析】（1）根据函数的最小正周期可求得的值，从而可得到的解析式，再利用整体代入法求函数的单调递增区间，进而可求得函数在上的单调增区间；
（2）根据的取值范围可得到的取值范围，从而可求出的最大值和最小值及对应x的值．
【小问1详解】
因为的最小正周期，所以，故，
令，则，
即的单调递增区间为，
又，所以函数在上的单调增区间是，．
【小问2详解】
当时，，
所以当，即时，函数有最大值2，
当，即时，函数有最小值－1，
所以的最大值为2，这时，的最小值为－1，这时．
21. 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为：
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
①，②，③.
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个.
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据函数的增长速度可求解；
（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由即可求解.
【小问1详解】
随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，
而在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
故选择函数.
【小问2详解】
由题意可得，解得，
所以.
令，解得.
故至少再经过小时，细菌数列达到6百万个.
22. 已知函数为定义在上的偶函数，且当时，.
（1）①作出函数在上的图象；
②若方程恰有6个不相等的实根，求实数的取值范围；
（2）设，若，，使得成立，求实数的最小值.
【答案】（1）①图象见解析；②；
（2）.
【解析】
【分析】（1）①先作出上的图象，再利用偶函数的性质作出上的图象即可，②恰有6个不相等的实根，等价于与有6个交点，然后结合图象可求得答案；
（2）由题意可得，利用函数的单调性结合换元法求出，再由（1）求出，代入上式可求出实数的范围，从而可求出其最小值.
【小问1详解】
①当时，.
列表：
描点连线，图象如图，
因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，
所以在上的图象如图所示；
②恰有6个不相等的实根，等价于与有6个交点，
由图象可知当时，有6个交点，
所以实数的取值范围为；
【小问2详解】
因为在上为增函数，在上为增函数，
所以在上为增函数，
因为在上为增函数，
所以在上为增函数，
所以，
由（1）可知在上的最小值为0，
因为，，使得成立，
所以，
所以，解得，
所以实数的最小值为.2
3
4
5
6
8
4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
4
3
2
1
0
1
2
3
4