湖北省十堰市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份湖北省十堰市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题用0，考生必须保持答题卡的整洁， 函数的零点所在区间为， 设，，，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22题，均为必考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷､草稿纸上无效.
3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷､草稿纸上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式得出集合，根据并集的概念求解即可.
详解】由解得，则，
所以．
故选：B．
2. 关于命题“”，下列判断正确是（ ）
A. 该命题是全称量词命题，且为假命题
B. 该命题是存在量词命题，且为真命题
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式判断命题的真假，结合存在量词命题的概念及存在量词命题的否定为全称量词命题得出答案.
【详解】命题为存在量词命题，由，得，所以为假命题.
命题的否定.
故选：C.
3. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．若角终边上一点的坐标为，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算得到点的坐标，根据三角函数定义计算得到答案．
【详解】，即，则．
故选：D．
4. 已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出该幂函数的解析式，根据函数的定义域，奇偶性及单调性判断即可.
【详解】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，
所以，即，解得，
即该幂函数的解析式为，其定义域为，
为偶函数，且在上为减函数.
故选：C．
5. 若定义在上的函数满足则“为无理数”是“2023”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合已知条件分析判断即可.
【详解】当为无理数时，为有理数，则.
当为有理数时，为有理数，则.
所以当时，，
故“为无理数”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6. 已知第一象限内的点在一次函数的图象上，则的最小值为（ ）
A. 25B. 5C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，用基本不等式中“1”的代换求的最小值.
【详解】由题意知，且，故，
从而，当且仅当时，等号成立.
故选：B
7. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小､密度大､吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数､奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“数字黑洞”的定义，任取一个数字串,确定“数字黑洞”，根据三角函数的诱导公式计算，可得答案.
【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过第一步之后为314，
经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即，
则,
故选:A.
8. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的单调性和零点存在定理，即可求得函数的零点所在的区间.
【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递减，
所以在上单调递减.
，
当时，，
，
，
因为，所以，
，
所以，所以的零点所在区间为.
故选：C．
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，所以，即.
因，所以.
故选：ABD.
10. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）
A. 的对称中心为
B. 的对称轴为直线
C.
D. 不等式的解集为
【答案】BD
【解析】
【分析】由题意可得图象的对称轴为直线，即可判断A，B；结合对称性可得在上单调递减，从而，即可判断C；由不等式结合的对称性及单调性，可得，解不等式即可判断D．
【详解】因为为偶函数，其图象关于轴对称，所以图象的对称轴为直线，故A错误，B正确；
又在上单调递增，所以在上单调递减，所以，故C错误；
由不等式结合的对称性及单调性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集为，故D正确，
故选：BD．
11. 某城市有一个面积为1的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道宽度使矩形草坪为黄金矩形？下列选项不正确的是（ ）
A. 步行道的宽度为mB. 步行道的宽度为m
C. 步行道的宽度为5mD. 草坪不可能为黄金矩形
【答案】ABC
【解析】
【分析】设广场的宽为m，则长为m，步行道的宽度为m，根据黄金矩形的比例关系列出方程，求出，从而得到D正确，ABC错误.
【详解】设该广场的宽为m，则长为m，
所以，
设步行道的宽度为m，使得草坪为黄金矩形，
由于，
则，
解得：，
故草坪不可能为黄金矩形，D正确，ABC错误.
故选：ABC
12. 高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．如，，，记函数，则（ ）
A. B. 的值域为
C. 在上有5个零点D. ，方程有两个实根
【答案】BD
【解析】
【分析】根据高斯函数的定义，结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，选项A错误；
当时，，
当时，，；
当时，，
……以此类推，可得的图象如下图所示，
由图可知，的值域为，选项B正确；
由图可知，在上有6个零点，选项C错误；
，函数与的图象有两个交点，如下图所示，
即方程有两个根，选项D正确．
故选：BD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13. 写出一个与终边相同的角：__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据终边相同的角的集合写出即可.
【详解】与终边相同的角的集合为，
取，则，（取值时，即可）.
故答案为：（答案不唯一）.
14. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意知是方程两根，且，根据韦达定理可得出a，b，c的关系，代入解不等式即可．
【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以是方程的两根，且，
则，解得，
所以关于的不等式，即，化简得，解得，
则关于的不等式的解集为．
故答案为：．
15. 《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来.轻袖佛华妆，窈窕登高台.诗里的叠扇，就是折扇.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径10，则此时的扇形面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式结合题意列方程求出，从而可求出.
【详解】因为与所在扇形的圆心角分别为，
所以.
由，得，
所以.
故答案为：
16. 若存在实数，使得函数在区间上单调，且在区间上的取值范围为，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先画出函数的图象，根据图象求出函数的单调区间，然后分和两种情况结合函数的单调性列出关于的方程组，再将问题转化为在内有两个不等实根和在内有两个不等实根从而可求得结果.
【详解】如图，可知在上单调递增，在上单调递减.
当时，在上单调递增，则
所以关于的方程，即在内有两个不等实根.
令，则，
令，则对称轴为，
，，
结合图象可知.
当时，在上递减，则
化简得，
所以，即.
由得
即关于的方程在内有两个不等实根，
即在内有两个不等实根，
所以，即.
综上，的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数的单调性，解题的关键是画出函数图象，结合图象，利用数形结合的思想求解，属于较难题.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 计算：
（1）；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算性质直接求解即可；
（2）对已知的式子两边平方化简可求得结果.
【小问1详解】
原式
.
【小问2详解】
将等式两边同时平方得，
则.
18. 设全集为，集合或.
（1）求图中阴影部分表示的集合；
（2）已知集合，若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）图中阴影部分表示，根据交集、补集的定义计算可得；
（2）依题意分与两种情况讨论，列出不等式求解即可.
【小问1详解】
因为，
或，则，
所以图中阴影部分表示.
【小问2详解】
，，且，
当时，则，解得，符合题意；
当时，则或解得.
综上，的取值范围为.
19. 已知角满足.
（1）若，求的值；
（2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.
【答案】（1），
（2）.
【解析】
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解；
（2）求出，由弦化切将变形为求解.
【小问1详解】
因为，所以.
由，得，
又因为，所以，
，.
【小问2详解】
因为角的终边与角的终边关于轴对称，
所以，
由，得，
则，
所以.
20. 已知函数的定义域为.
（1）求的最大值；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）由题意求得，变形，然后利用基本不等式求解即可；
（2）利用二次函数的性质或基本不等式求解即可.
【小问1详解】
因为的定义域为，即关于的不等式在上恒成立，
所以，
当时，取得最小值1，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为4.
【小问2详解】
方法一：
，
因为，所以当时，有最大值为.
方法二：
由（1）知：且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
21. 某地在曲线C的右上角区域规划一个科技新城，该地外围有两条相互垂直的直线形国道，为交通便利，计划修建一条连接两条国道和曲线C的直线形公路．记两条相互垂直的国道分别为，，计划修建的公路为．如图所示，为C的两个端点，测得点A到，的距离分别为5千米和20千米，点B到，的距离分别为25千米和4千米．以，所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．假设曲线C符合函数（其中m，n为常数）模型．
（1）求m，n的值．
（2）设公路与曲线C只有一个公共点P，点P的横坐标为．
①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域．
②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．
【答案】（1）；
（2）①，；
当时，公路的长度最短，最短长度为千米.②
【解析】
【分析】(1)由题意得函数过点，点，列方程组就可解出m，n的值；
(2)①求公路长度的函数解析式，就是求出直线与轴交点，再利用两点间距离公式计算即可，关键是利用导数几何意义求出直线方程，再根据为的两个端点的限制条件得定义域为；
②对函数解析式解析式根式内部分利用基本不等式求最小值，即可得的最小值及此时t的值.
【小问1详解】
解：由题意知，点，点，
将其分别代入，
得，解得.
【小问2详解】
解：①由（1）知，，
则点坐标为，
设在点处的切线交轴分别于点，
因为，
∴的方程为，
由此得.
故，；
②因为，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，当时，等号成立，
所以当时，公路的长度最短，最短长度为千米.
22. 已知是定义在上的奇函数，其中，且.
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求非负实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）在上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质，结合，求得到的值，检验即可；
（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；
（3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时求非负实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分，，和四种情况讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案．
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，所以，解得，
又因为，所以，解得，
所以，，则为奇函数，
所以，.
【小问2详解】
在上单调递减.
证明如下：
设，则，
因为，则，所以，
所以在上单调递减.
【小问3详解】
由（2）可知在上单调递减，所以，
记在区间内的值域为.
当时，在上单调递减，
则，得在区间内的值域为.
因为，所以对任意的，总存在，使得成立.
当时，在上单调递减，
则，得在区间内的值域为，
因为，所以对任意的，总存在，使得成立.
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，得在区间内的值域为，所以无解，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，得在区间内的值域为，不符合题意.
综上，非负实数的取值范围为.