四川省乐山市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份四川省乐山市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共15页。
注意事项：
1．答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合用列举法表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接求出集合中的元素即可.
【详解】.
故选：C.
2. 函数定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由计算得解.
【详解】由得，所以函数定义域为.
故选 ：A.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取特殊值排除AC，，则，B错误，根据幂函数的单调性得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：取，满足，不成立，错误；
对选项B：，则，错误；
对选项C：取，满足，，错误；
对选项D：，则，正确.
故选：D
4. 命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得答案.
【详解】命题的否定为.
故选：B
5. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数与对数函数的单调性可得答案.
【详解】根据幂函数在上为增函数，可得，即，
又，所以.
故选：B
6. 已知，则（ ）
A. 9B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算得到，代入得到，得到答案.
【详解】，即，.
故选：A
7. “函数在区间上不单调”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性以及充分且必要条件的概念可得答案.
【详解】由函数在区间上不单调，可得，即；
由，得，得函数在区间上不单调，
所以“函数在区间上不单调”是“”的充分且必要条件.
故选：C
8. 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：）近似地满足函数关系（为自然对数的底数，a，b为常数）.若该液体在的蒸发速度是0.2升/小时，在的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在的蒸发速度为（ ）
A. 0.5升/小时B. 0.6升/小时C. 0.7升/小时D. 0.8升/小时
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，求出，再将代入即可得解.
【详解】由题意得，
两式相除得，所以，
当时，，
所以该液体在的蒸发速度为0.8升/小时.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据奇函数的定义判断函数奇偶性，利用单调性的定义和性质判断函数的增减性.
【详解】选项四个函数定义域都是R，
函数的斜率为-2，在R上单调递减，故A错误；
函数，，则是奇函数，
任取，则，所以在R上单调递增；故B正确；
，则在单调递减，在单调递增，故C错误；
，则，所以是奇函数，
因为单调递增，单调递减，所以在R上单调递增，故D正确.
故选：BD.
10. 下列命题中正确的有（ ）
A. 集合的真子集是
B. 是菱形是平行四边形
C. 设，若，则
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可知A不正确；根据菱形一定是平行四边形，可知B正确；根据集合相等的概念求出，可知C正确；根据可知D不正确.
【详解】对于A，集合的真子集是，，故A不正确；
对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以是菱形是平行四边形，故B正确；
对于C，因为，，所以，，故C正确；
对于D，因为是实数，所以无解，所以，故D不正确.
故选：BC
11. 设函数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据求出，继而判断A；
对于B.根据化简得解；
对于C.根据判别式小于等于0计算即可；
对于D. 等价于，借助基本不等式计算得解.
【详解】，，所以
对于A.，所以A正确；
对于B.，所以对于，所以B正确；
对于C. 等价于恒成立，
所以，所以C错误；.
对于D. 等价于
当且仅当即时，等号成立
故选：ABD.
12. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于y轴对称B. 与的图象有唯一公共点
C. 的解集为D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用偶函数的定义可判断A正确；解方程可判断B正确；解不等式可判断C不正确；先证明在上为增函数，再根据对数知识以及的单调性和奇偶性可判断D正确.
【详解】因为的定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；
由，得，得，得，得，所以与的图象有唯一公共点，故B正确；
由，得，得，得，
得，得，即的解集为，故C不正确；
设，则
，
因为，所以，，，
所以，即，
故在上为增函数，
因为，为偶函数，
所以，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则___________.
【答案】17
【解析】
【分析】直接计算得到答案.
【详解】，，.
故答案为：
14. 已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为___________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据幂函数的概念以及幂函数在上的单调性可得结果.
【详解】根据幂函数的定义可得，解得或，
当时，在上单调递减，不合题意；
当时，在上单调递增，符合题意.
故答案为：.
15. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，根据销售经验，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元）满足一次函数，若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为___________元.
【答案】40
【解析】
【分析】根据题意求出某商场每天获得销售利润关于售价x的函数关系式，再根据二次函数知识可求出结果.
【详解】设某商场每天获得销售利润为（元），
则，
因，所以当（元）时，取得最大值为（元）.
所以若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为元.
故答案为：40
16. 已知函数若恰有2个零点，则实数a取值范围是___________.
【答案】或
【解析】
【分析】先求出和的根，再根据恰有2个零点，以及的解析式可得的范围.
【详解】又，得，得；
由，得，得或，
因为恰有2个零点，
所以若和是函数的零点，则不是函数的零点，则；
若和是函数的零点，则不是函数的零点，则，
若和是函数的零点，不是函数的零点，则不存在这样的.
综上所述：实数a的取值范围是或.
故答案为：或.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
（1）求集合A；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式的解法解不等式，即可得出集合；
（2）由，得，再根据集合的包含关系列出不等式即可得解.
【小问1详解】
由有，即，
所以，解得，
所以集合；
【小问2详解】
因为，所以，
由（1）知，而，显然，
则有，解得，
即实数a的取值范围是.
18. 已知函数与互为反函数，记函数.
（1）若，求x的取值范围；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）
（2）最大值为6
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，根据一元二次不等式结合指数函数单调性解不等式；
（2）换元令，结合二次函数求最值.
【小问1详解】
因为与互为反函数，则，
故.
不等式，即为，
即，解得，故，
所以x的取值范围是.
【小问2详解】
令，则，
函数等价转化为，
则，
所以当时，取得最大值，
故当时，函数的最大值为6.
19. 已知.
（1）求a，b的值；
（2）若，用b，c表示的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数和对数的运算性质可求出，可得结果；
（2）根据指数式与对数式的互化以及对数的运算性质可得结果.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，所以，所以，
因为，所以，即，
解得，（舍去），
故.
【小问2详解】
由（1）知，，，
所以，所以，
所以
.
20. 设函数，已知不等式的解集是.
（1）求不等式的解集；
（2）对任意，比较与的大小.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）化为是方程的解，求出，再解不等式可得结果；
（2）作差比较可得结论.
【小问1详解】
因为不等式的解集是.
所以是方程的解，
由韦达定理得：，
故不等式为，
解得其解集为或.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以
，
所以.
21. 在“①函数是偶函数；②函数是奇函数.”这两个条件中选择一个补充在下列的横线上，并作答问题.
已知函数，且___________.
（1）求的解析式；
（2）判断在上的单调性，并根据单调性定义证明你的结论.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）选①，，选②，.
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）选①，解法一：由，求出，检验后即可；解法二：由求出；
选②，解法一：由求出，检验后即可；解法二：由求出；
（2）由定义法求解函数的单调性步骤，取值，作差，判号，下结论.
【小问1详解】
若选择①函数是偶函数.
解法一：根据题意，易得函数的定义域为.
由为偶函数，因此，
所以，
解得，经检验符合题设，
所以.
解法二：由题，在上恒成立，
则恒成立，
则有，即恒成立，
所以，.
所以.
若选择②函数是奇函数.
解法一：根据题意，易得函数的定义域为.
由为奇函数，因此，
所以，
解得，经检验符合题设，
所以
解法二：上恒成立，
恒成立，
即恒成立，
所以，.
所以.
【小问2详解】
若选择①，函数在上单调递减.
证明：，且，有
，
由，得，
所以，
于是，
所以，
所以，
即，
所以，函数在上单调递减.
若选择②，函数在上单调递增.
证明：，且，
则
由，得，
所以，即，
于是，
所以，
即，所以函数在上单调递增.
22. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）若（1）中的函数与的图象有4个公共点，求的值；
（3）类比题目中的结论，写出：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件（写出结论即可，不需要证明）.
【答案】（1）
（2）
（3）函数为偶函数
【解析】
【分析】（1）设对称中心坐标为，根据题意得到为奇函数，得到，解得答案.
（2）确定函数与图象4个公共点也关于对称，得到答案.
（3）根据奇函数的对称类比得到答案.
【小问1详解】
设对称中心坐标为，由题意可知，为奇函数，
对任意恒成立，
即，
所以恒成立，
则，解得.
函数图象的对称中心为.
【小问2详解】
对于函数，有为奇函数.
所以函数图象关于点对称，
则函数与图象4个公共点也关于对称，所以.
【小问3详解】
函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.