浙江省温州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(A卷)

这是一份浙江省温州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(A卷)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的概念进行计算.
【详解】，， ．
故选：C．
2. 已知幂函数，则“”是“此幂函数图象过点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数图象性质解决即可.
【详解】由题知，幂函数，
根据幂函数图象性质特点知，幂函数图象恒过点，
所以
当时，幂函数图象过点，说明有充分性；
幂函数图象过点时，，也可以，说明无必要性；
故选：A
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据换底公式和对数运算法则即可得出之间的关系式.
【详解】由可得，，即，
由得，，
根据对数运算法则可知，
即.
故选：D
4. 设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设扇形的半径为，弧长为，则根据周长及面积联立方程可求出，再根据即可求出.
【详解】设扇形的半径为，弧长为,
则，解得，
所以 , 故选B.
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，弧度角的定义，属于中档题.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的定义域，奇偶性，，即可解决.
【详解】由题知，，
所以，解得定义域为，关于原点对称，
因为，
所以为奇函数，故D错误；
又，故C错误；
又，故B错误；
故选：A
6. 已知函数，其中，若，使得关于x的不等式成立，则正实数a的取值范围为（ ）
A 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得出分段函数，若，使得关于x的不等式成立，则在上的最小值，即，即可分类求解得出答案.
【详解】由题意可知，
若，使得关于x的不等式成立，
则在上的最小值，
，
为正实数，
则当时，，解得；
当时，，解得，
综上，正实数a的取值范围为或，
故选：B.
7. 已知，若对任意的，，都有（），则实数b的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简不等式可得对任意的，都成立，分析的范围即可得解.
【详解】由可知，，
即对任意的，都成立，
而，
所以，
故选：C
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过三角函数恒等变换化简，考虑证明当时，，并利用三角函数线完成证明，由此确定的大小.
【详解】因为，，，
所以，
，
在平面直角坐标系中以原点为顶点，轴的正半轴为始边作角，，
设角和单位圆的交点为,过点作垂直与轴，垂足为，过点
作单位圆的切线与的终边交于点, 则，，设劣弧
的弧长为，则，因为，所以，
因为，所以，，
又，，
所以，，
所以，故，
故选：A.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】举反例可判断；利用作差法判断C；讨论的符号，结合不等式性质判断D.
【详解】对于A，若取，满足，但，故A错误；
对于B, 取，满足，但，B错误；
对于C，，
当时，，故，C正确；
对于D，若，则，即；
若，则，即，
若，则，综合可得时，，D正确，
故选：
10. 已知函数对任意实数t都有，记，则（ ）
A. B. 图象可由图象向左平移个单位长度得到
C. D. 在上单调递减
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数的性质判断函数一条对称轴，据此求出解析式，再由正余弦函数的性质判断ACD，由图象平移判断D求解即可.
【详解】由可知，为函数的一条对称轴，
所以，即，
又，故时，所以，
对A，，成立，故A正确；
对B，，
图象向左平移个单位长度得到图象，即图象，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，当时，，所以在上不单调，故D错误.
故选：ABC
11. 已知正实数x，y满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，运用基本不等式得，得，求解即可判断；对于B，由题得，根据乘“1”法，结合基本不等式即可判断；对于C，由题得，得，结合基本不等式即可判断；对于D，由选项A得，
又即可判断.
【详解】由题知，正实数满足，
所以，
对于A，因为，
所以，
所以，即，故A正确；
对于B，，
当且仅当且，即时取等号，故B错误；
对于C，因为，
所以，
所以
所以，
当且仅当，且，即时取等号，故C错误；
对于D，由选项A得，
所以
，
当且仅当，且，即时取等号，故D正确；
故选：AD
12. 已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（ ）
A. 为奇函数B. 是上增函数
C. D. 是周期函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】令，代入，即可得到再由，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D选项即可
【详解】对于A:由题意，令， ,解得：或
当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去，
当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去，
∴，令，则，所以，即，
所以为奇函数，故A正确；
对于C：令，，因为
若,则,又为非常值函数故舍去，
所以，所以所以,故C正确:
对于B: 设任意的且
令所以，又因为为奇函数，
所以，
又因为当时，，所以，，,
即，所以是上的增函数,故B正确;
对于D:因为是上的增函数,又因为为奇函数且,
所以是上的增函数,故不是周期函数,故D错误.
故选:ABC.
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知角顶点在原点，以x轴非负半轴为始边，若角的终边经过点，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数定义即可计算出角的余弦值，再利用诱导公式可得结果.
【详解】由三角函数定义可知，，
所以.
故答案为：
14. 黑嘴鸥被世界自然保护联盟列为易危物种，全球数量只有2万只左右.据温州网2022年11月26日的报道，今年越冬候鸟黑嘴鸥已到达温州湾，人们可以在密集的芦苇丛中进行观赏.研究发现黑嘴鸥的飞行速度（单位：m/s）可以表示为函数，其中x表示黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数.已知黑嘴鸥在飞往温州湾的过程中，最低飞行速度为10m/s，最高飞行速度为30m/s，则黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数值去求自变量的值即可解决.
【详解】由题知，黑嘴鸥的飞行速度（单位：m/s）可以表示为函数，
其中x表示黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数，
当时，得，得，
当时，得，得，
所以黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数的取值范围是，
故答案为：
15. 若，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式将等式整理成，再根据同角三角函数的基本关系可写出，根据三角恒等变换化简即可求得结果.
【详解】由可得，
，将等式两边同时除以可得，
，所以；
所以.
故答案为：
16. 已知函数，若关于x的方程在（）内恰有7个实数根，则_________.
【答案】4
【解析】
【分析】先画出函数图像，再结合韦达定理，根据图像分析出的值即可算出答案.
【详解】因为当时，，
所以，
所以当时，是周期为4的周期函数，
当时，
所以的图像如图所示，
若关于x的方程在（）内恰有7个实数根，
令，则在（）有2个根满足，
结合图像可得，符合题意，
所以，.
故答案为：4
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由分式不等式及一元二次不等式的解法化简集合，再由交集运算求解；
（2）由并集运算结果可知，据此分类讨论求解.
【小问1详解】
由，即，解得，即；
当时，由得，故，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
若，得；
若，有，得，
综上，故.
18. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由两角和正切公式求出，可对角分类讨论由同角三角函数关系求出，再由余弦二倍角公式得解，或先由余弦二倍角公式化简为关于正切的形式求解；
（2）根据（1）中解法一求出，直接计算即可，或由二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系直接化切求解.
【小问1详解】
解法一：由已知得，则，若为第一象限角，则，
若为第三象限角，则，
故.
解法二：由已知得，则，则.
【小问2详解】
解法一：由（1）知，则，，故.
解法二：由已知得，则.
19. 已知函数（）.
（1）若函数的周期是，求的值；
（2）若函数在上的值域为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换化简函数解析式，再由周期公式求解；
（2）求出的范围，由函数值域及余弦函数的性质可知，即可得解.
【小问1详解】
，则由得.
【小问2详解】
由（1）知，
由函数在上值域为可得在上的值域为，
当时，，则，
故，可得.
20. 车流密度是指在单位长度（通常为1km）路段上，一个车道或一个方向上某一瞬时的车辆数，用以表示在一条道路上车辆的密集程度在理想的道路和交通条件下，某城市普通道路的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数.研究表明：该城市普通道路车流密度达到160辆/千米时，会造成堵车，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过60辆/千米时，车流的速度为60千米/小时；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
（1）当时，求车流速度函数的表达式；
（2）求该城市普通道路的最大通行能力（通行能力=车流速度×车流密度），并结合生活实际给出该道路合理限速建议.
【答案】（1）
（2）3840辆/小时，合理限速50千米/小时
【解析】
【分析】(1)由条件结合待定系数法分段求出函数的解析式；
(2)由(1)求通行能力的函数解析式，再求其最大值，根据所得数据提出限速建议.
【小问1详解】
当时，设，
由已知当车流密度为60辆/千米时，车流的速度为60千米/小时；
车流密度达到160辆/千米时，车流速度为0千米/小时；
所以，解得，
又当车流密度小于60辆/千米时，车流的速度为60千米/小时；
所以当时，，
所以.
【小问2详解】
设速度为(千米/小时)时的通行能力为（辆/小时），则
当时，通行能力辆/小时；
当时，通行能力，
当时，道路通行能力最大值为3840辆/小时；
此时车速千米/小时，因此，应给该道路合理限速50千米/小时.
21. 已知函数为偶函数.
（1）求出a的值，并写出单调区间；
（2）若存在使得不等式成立，求实数b的取值范围.
【答案】（1）；在上单调递减，在上单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义列出方程，根据方程恒成立求，由对勾函数性质写出单调区间；
（2）化简不等式换元后转化为，，分别考虑二次不等式有解转化为或分离参数后转化为，利用，也可转化为，求函数的最大值即可.
【小问1详解】
因为，所以，
由偶函数知，解得；
即，由对勾函数知，
当时，即时函数单调递减，当时，即时函数递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
由题意可得，即，
令，；
解一：，则在上有解，即.
若，即，此时，解得，∴；
若，即，此时，解得，此时无解；
综上，；
解二：由得，令，则.
，所以.
解三：由得，令，则，
，所以.
22. 已知函数（）.
（1）若，求函数的最小值；
（2）若函数存在两个不同的零点与，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知，对自变量进行分类讨论，将函数写成分段函数形式利用函数单调性即可求得函数的最小值；（2）对参数的取值进行分类讨论，利用韦达定理写出关于的表达式，再利用换元法构造函数根据函数单调性即可求得其取值范围.
【小问1详解】
解法一：若时，求函数，
当时，，.
当时，，.
故.
解法二：若时，求函数；
画出和的图像如下图所示：
易得.
小问2详解】
解法一：若，，因为存在两个不同的零点与，所以，得，此时，；
若，，
当时，即时，得，，
有，
令，则，
令，则在上单调递增，，则；
当，即时，有，
在上单调递减，上单调递增，
所以，无零点；
当时，只有一个零点；
故.
解法二：令，等价于存在两个不同的零点与，
当时，，因为存在两个不同的零点与，
所以，得，此时；
当时，
当，即时，得，，
有，
所以；
当，即时，有，在上单调递减，上单调递增，，无零点；
当时，只有一个零点；
故.
【点睛】方法点睛：求解二次函数零点问题时，一般将零点问题转化成二次方程根的问题，利用韦达定理写出两根之间的关系式进而求得某表达式的取值范围.