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黄金卷01-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，解得，所以，
因为，得，所以，
故.
故选:C．
2．已知（，为虚数单位），若是实数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为是实数，
所以，
故选：A
3．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，则，
，则，
则向量在向量上的投影向量为.
故选：B
4．已知是定义域为的单调递增的函数，，，且，则（ ）
A．54B．55C．56D．57
【答案】B
【解析】因为有，令，则，
显然，否则，与矛盾.
从而，由.即得，
，即，于是，且.
所以，所以，.
因为所以，于是，.
因为所以.
因为所以，.
因为，，
所以，，
所以，.
故选：B.
5．已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，因为此时的最小值为，
所以，即.
若，此时能取到最小值，即，
代入可得，满足要求；
若取不到最小值，则需满足，即，
在上单调递减，所以存在唯一符合题意；
所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间，
故选：C
6．已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意知是等差数列的前n项和中的最小值，必有，公差，
若，此时，，是等差数列的前n项和中的最小值，
此时，即，则；
若，，此时是等差数列的前n项和中的最小值，
此时，，即，
则，
综上可得：的取值范围是，
故选:B．
7．已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可作图如下：
由图可知：，
由平分，则，所以，
由，则解得，
由是关于直线的对称点，则共线，，，，
所以，在中，，
可得，解得，，
在中，由余弦定理，可得，
代入可得：，化简可得：，
所以其离心率.
故选：C.
8．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，，，
设，，则，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因为，，，且，
可得，，所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则
B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则
D．恒成立
【答案】ABC
【解析】对于A选项，取，满足，，但、不一定共线，A错；
对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项，恒成立，D对.
故选：ABC.
10．设O为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（ ）
A．B．
C．的面积为D．
【答案】BC
【解析】由圆的方程，
则，所以圆心，半径，
易知，故A错误；
将代入直线方程，则，解得，故B正确；
将代入直线方程，整理可得直线方程，
原点到直线的距离，且此为底上的高，
所以，故C正确；
由与，则直线的斜率，
由直线方程，则直线斜率，
由，则与不垂直，故D错误.
故选：BC.
11．下列说法正确的是（ ）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B．对于随机事件与，若，，则事件与独立
C．若随机变量，，若最大，则
D．设随机变量服从正态分布，若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，把数据从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，因为，
则这组数据的第百分位数为，故A错误；
对于B，，又，所以，即事件与相互独立，故B正确；
对于C，因为随机变量，所以，故，又，当最大时，；又，
此时，故C正确；
对于D，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称，又因为，所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
12．如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点Q，使得
B．存在点Q，使得
C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
D．对于任意点Q，都是钝角三角形
【答案】ABC
【解析】由平面，平面，，平面，∴直线与是异面直线，A正确；
平面，平面，则，又，与是平面内两相交直线，所以平面，又平面，所以，即当与重合时，，B正确，此时是直角三角形，D错；
设（），，，，
，
，
所以，
，
所以时，，或1时，，所以的最大值是，最小值是，
记到的距离为，，因此的最大值是，的最小值是，C正确．
故选：ABC．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等差数列的前n项和为，若，，则 ．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，由等差数列前n项和公式可知；
可得为定值，所以即为等差数列，又，
即是以为首项，公差为1的等差数列，
所以，从而．
故答案为：
14．若函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】因为，则有：
当时，可得，解得；
当时，可得，则，解得；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：.
15．已知函数的部分图像如图所示，且关于的不等式的解集为，，则正偶数a的最小值为 ．
【答案】4
【解析】由题意得，所以，
而，，所以，
而，故，所以，
又过点，所以，即，
所以，则，
又，即，又，则，所以，
则，又，所以，则，
所以，
由，得，
所以，解得，
当时，在区间内不存在正偶数，
当时，在区间内存在1个正偶数4，所以正偶数a的最小值为．
故答案为：.
16．如图，在三棱锥中，平面为外接圆的圆心，为三棱锥外接球的球心，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】根据题意可知，设外接圆的半径为，
在中由正弦定理可知，解得，即；
易知三棱锥外接球的球心在的正上方，且平面；
又平面，所以；
因为平面，可得，又，
所以可得四边形是矩形，即；
设，三棱锥外接球的半径为，
由勾股定理可得，解得；
所以可得三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知函数的最小正周期为．
(1)求的值，并写出的对称轴方程；
(2)在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（2）把已知的等式变形并利用正弦定理可得，故，故，根据正弦函数的定义域和值域求出的取值范围．
【解析】（1）
．
，．
故
令，解得，
故对称轴方程为：
（2）由得，
．
，，,．
，，
，
18．（12分）若数列的前项和满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，证明：对任意的正整数，都有.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）证明：由，当时，可得；
当时，，所以，
∴时，，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列；
∴，∴.
（2）证明：由（1）知，，∴，
∴，
∴,
因为，所以，所以即成立．
所以对任意的正整数，都有得证.
19．（12分）如图，在三棱柱中，平面为正三角形，侧面是边长为2的正方形，为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)取的中点，连接，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：为正三角形，为的中点，，
平面平面，
平面，
又平面平面平面.
（2）为正三角形，，
平面平面，
，
故，
又为的中点，，
为二面角的平面角，
侧面是边长为2的正方形，，
为边长为2的正三角形，，
在直角三角形中，，
，
二面角的余弦值为.
20．（12分）经销商小王对其所经营的某型号二手汽车的使用年数与每辆车的销售价格（单位：万元）进行整理，得到如表的对应数据：
(1)试求y关于x的回归直线方程；
(2)已知每辆该型号汽车的收购价格w（单位：万元）与使用年数的函数关系为，据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【答案】(1)；
(2)预测时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大.
【解析】（1）由表格可知：，
由最小二乘法得，
，
所以y关于x的回归直线方程为：；
（2）据（1）中所求的回归方程可知：
，
由二次函数的性质可知，，
故时，，
由一次函数的性质可知，在时，，
综上，显然时，.
21．（12分）已知双曲线C：的离心率为，F为C的左焦点，P是C右支上的点，点P到C的两条渐近线的距离之积为．
(1)求C的方程；
(2)若线段PF与C的左支交于点Q，与两条渐近线交于点A，B，且，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意得，故，
又，C的两条渐近线方程分别为，
设，则，即
所以，所以，，故C的方程为．
（2）由（1）知，设直线PF的方程为，，，，
联立得，
则，，
因为P是C右支上的点，所以，
，
联立，得，
则，，
，
又，所以，解得，
所以．
22．（12分）已知函数.
(1)求函数在上的单调区间；
(2)若时，，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【解析】（1）由题意知：，
恒成立，当时，；当时，；
当时，；当时，；
在上的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，则在上恒成立；
①当时，，则，不满足在上恒成立，不合题意；
②当时，，
，，
又在上连续，，使得当时，，
在上单调递增，此时，不合题意；
③当时，，则，；
令，则，
在上单调递增，，即，
又，，
令，则，
令，则，
在上单调递减，，即，
在上单调递减，，即，
，满足题意；
综上所述：实数的取值范围为.使用年数
2
4
6
8
10
售价
16
13
9.5
7
4.5
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，解得，所以，
因为，得，所以，
故.
故选:C．
2．已知（，为虚数单位），若是实数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为是实数，
所以，
故选：A
3．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，则，
，则，
则向量在向量上的投影向量为.
故选：B
4．已知是定义域为的单调递增的函数，，，且，则（ ）
A．54B．55C．56D．57
【答案】B
【解析】因为有，令，则，
显然，否则，与矛盾.
从而，由.即得，
，即，于是，且.
所以，所以，.
因为所以，于是，.
因为所以.
因为所以，.
因为，，
所以，，
所以，.
故选：B.
5．已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，因为此时的最小值为，
所以，即.
若，此时能取到最小值，即，
代入可得，满足要求；
若取不到最小值，则需满足，即，
在上单调递减，所以存在唯一符合题意；
所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间，
故选：C
6．已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意知是等差数列的前n项和中的最小值，必有，公差，
若，此时，，是等差数列的前n项和中的最小值，
此时，即，则；
若，，此时是等差数列的前n项和中的最小值，
此时，，即，
则，
综上可得：的取值范围是，
故选:B．
7．已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可作图如下：
由图可知：，
由平分，则，所以，
由，则解得，
由是关于直线的对称点，则共线，，，，
所以，在中，，
可得，解得，，
在中，由余弦定理，可得，
代入可得：，化简可得：，
所以其离心率.
故选：C.
8．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，，，
设，，则，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因为，，，且，
可得，，所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则
B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则
D．恒成立
【答案】ABC
【解析】对于A选项，取，满足，，但、不一定共线，A错；
对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项，恒成立，D对.
故选：ABC.
10．设O为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（ ）
A．B．
C．的面积为D．
【答案】BC
【解析】由圆的方程，
则，所以圆心，半径，
易知，故A错误；
将代入直线方程，则，解得，故B正确；
将代入直线方程，整理可得直线方程，
原点到直线的距离，且此为底上的高，
所以，故C正确；
由与，则直线的斜率，
由直线方程，则直线斜率，
由，则与不垂直，故D错误.
故选：BC.
11．下列说法正确的是（ ）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B．对于随机事件与，若，，则事件与独立
C．若随机变量，，若最大，则
D．设随机变量服从正态分布，若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，把数据从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，因为，
则这组数据的第百分位数为，故A错误；
对于B，，又，所以，即事件与相互独立，故B正确；
对于C，因为随机变量，所以，故，又，当最大时，；又，
此时，故C正确；
对于D，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称，又因为，所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
12．如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点Q，使得
B．存在点Q，使得
C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
D．对于任意点Q，都是钝角三角形
【答案】ABC
【解析】由平面，平面，，平面，∴直线与是异面直线，A正确；
平面，平面，则，又，与是平面内两相交直线，所以平面，又平面，所以，即当与重合时，，B正确，此时是直角三角形，D错；
设（），，，，
，
，
所以，
，
所以时，，或1时，，所以的最大值是，最小值是，
记到的距离为，，因此的最大值是，的最小值是，C正确．
故选：ABC．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等差数列的前n项和为，若，，则 ．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，由等差数列前n项和公式可知；
可得为定值，所以即为等差数列，又，
即是以为首项，公差为1的等差数列，
所以，从而．
故答案为：
14．若函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】因为，则有：
当时，可得，解得；
当时，可得，则，解得；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：.
15．已知函数的部分图像如图所示，且关于的不等式的解集为，，则正偶数a的最小值为 ．
【答案】4
【解析】由题意得，所以，
而，，所以，
而，故，所以，
又过点，所以，即，
所以，则，
又，即，又，则，所以，
则，又，所以，则，
所以，
由，得，
所以，解得，
当时，在区间内不存在正偶数，
当时，在区间内存在1个正偶数4，所以正偶数a的最小值为．
故答案为：.
16．如图，在三棱锥中，平面为外接圆的圆心，为三棱锥外接球的球心，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】根据题意可知，设外接圆的半径为，
在中由正弦定理可知，解得，即；
易知三棱锥外接球的球心在的正上方，且平面；
又平面，所以；
因为平面，可得，又，
所以可得四边形是矩形，即；
设，三棱锥外接球的半径为，
由勾股定理可得，解得；
所以可得三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知函数的最小正周期为．
(1)求的值，并写出的对称轴方程；
(2)在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（2）把已知的等式变形并利用正弦定理可得，故，故，根据正弦函数的定义域和值域求出的取值范围．
【解析】（1）
．
，．
故
令，解得，
故对称轴方程为：
（2）由得，
．
，，,．
，，
，
18．（12分）若数列的前项和满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，证明：对任意的正整数，都有.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）证明：由，当时，可得；
当时，，所以，
∴时，，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列；
∴，∴.
（2）证明：由（1）知，，∴，
∴，
∴,
因为，所以，所以即成立．
所以对任意的正整数，都有得证.
19．（12分）如图，在三棱柱中，平面为正三角形，侧面是边长为2的正方形，为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)取的中点，连接，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：为正三角形，为的中点，，
平面平面，
平面，
又平面平面平面.
（2）为正三角形，，
平面平面，
，
故，
又为的中点，，
为二面角的平面角，
侧面是边长为2的正方形，，
为边长为2的正三角形，，
在直角三角形中，，
，
二面角的余弦值为.
20．（12分）经销商小王对其所经营的某型号二手汽车的使用年数与每辆车的销售价格（单位：万元）进行整理，得到如表的对应数据：
(1)试求y关于x的回归直线方程；
(2)已知每辆该型号汽车的收购价格w（单位：万元）与使用年数的函数关系为，据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【答案】(1)；
(2)预测时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大.
【解析】（1）由表格可知：，
由最小二乘法得，
，
所以y关于x的回归直线方程为：；
（2）据（1）中所求的回归方程可知：
，
由二次函数的性质可知，，
故时，，
由一次函数的性质可知，在时，，
综上，显然时，.
21．（12分）已知双曲线C：的离心率为，F为C的左焦点，P是C右支上的点，点P到C的两条渐近线的距离之积为．
(1)求C的方程；
(2)若线段PF与C的左支交于点Q，与两条渐近线交于点A，B，且，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意得，故，
又，C的两条渐近线方程分别为，
设，则，即
所以，所以，，故C的方程为．
（2）由（1）知，设直线PF的方程为，，，，
联立得，
则，，
因为P是C右支上的点，所以，
，
联立，得，
则，，
，
又，所以，解得，
所以．
22．（12分）已知函数.
(1)求函数在上的单调区间；
(2)若时，，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【解析】（1）由题意知：，
恒成立，当时，；当时，；
当时，；当时，；
在上的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，则在上恒成立；
①当时，，则，不满足在上恒成立，不合题意；
②当时，，
，，
又在上连续，，使得当时，，
在上单调递增，此时，不合题意；
③当时，，则，；
令，则，
在上单调递增，，即，
又，，
令，则，
令，则，
在上单调递减，，即，
在上单调递减，，即，
，满足题意；
综上所述：实数的取值范围为.使用年数
2
4
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售价
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4.5
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