黄金卷03-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专用）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知z1+i=1−1i，则z=（ ）.
A．2B．22C．2D．1
【答案】C
【分析】先根据复数的乘法运算求出复数z，再根据共轭复数的定义和复数的模的公司及即可得解.
【详解】由z1+i=1−1i=1+i，得z=1+i2=2i，
则z=−2i，所以z=2.
故选：C.
2．集合A=−2,−1,0,1,2,3，集合B=x|x=2k−1,k∈N，则集合A∩B中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用交集的意义求出A∩B即得.
【详解】集合A=−2,−1,0,1,2,3，B=x|x=2k−1,k∈N，则A∩B={−1,1,3}，
所以集合A∩B中元素的个数为3.
故选：B
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N∗，均有S5≤Sn成立，则a8a6的值的取值范围是（ ）
A．3,+∞B．3,+∞
C．−∞,−3∪3,+∞D．−∞,−3∪3,+∞
【答案】B
【分析】根据已知得出a1<0，公差d>0，然后返a5=0和a5≠0(即a5<0)分类计算.
【详解】由题意知S5是等差数列an的前n项和中的最小值，必有a1<0，公差d>0，
若a5=0，此时S4=S5，S4，S5是等差数列an的前n项和中的最小值，
此时a5=a1+4d=0，即a1=−4d，则a8a6=a1+7da1+5d=3dd=3；
若a5<0，a6>0，此时S5是等差数列an的前n项和中的最小值，
此时a5=a1+4d<0，a6=a1+5d>0，即−5则a8a6=a1+7da1+5d=a1d+7a1d+5=1+2a1d+5∈3,+∞，
综上可得：a8a6的取值范围是3,+∞，
故选:B．
4．为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（ ）种分配方式
A．540B．660C．980D．1200
【答案】B
【分析】按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，即1+1+2+2和1+1+1+3，分别求出其方法种数，即可得出答案.
【详解】由题知可按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，
①6=1+1+2+2，有C62⋅C42C21C11A22A33=540；
②6=1+1+1+3，有C63C31C21C11=120，
共有540+120=660（种）.
故选：B.
5．设函数fx=3csωx+sinωx，且函数gx=fx2−4在x∈0,5π恰好有5个零点，则正实数ω的取值范围是（ ）
A．1315,1615B．56,3130C．1115,1415D．2330,2930
【答案】B
【分析】先化简为fx=3csωx+sinωx=2sinωx+π3，当0≤x≤5π时，得到π3≤ωx+π3≤5ωπ+π3.若函数gx=fx2−4在x∈0,5π恰好有5个零点，只需函数f(x)=2sinωx+π3在区间0,5π上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可建立9π2≤5ωπ+π3<11π2，求解即可.
【详解】fx=3csωx+sinωx=2sinωx+π3，
令gx=fx2−4=0，得f(x)=±2，
因为函数gx=fx2−4在x∈0,5π恰好有5个零点，
所以函数f(x)=2sinωx+π3在0,5π上恰有5条对称轴．
当0≤x≤5π时，π3≤ωx+π3≤5ωπ+π3，
令ωx+π3=t π3≤t≤5ωπ+π3，
则y=sint在π3,5ωπ+π3上恰有5条对称轴，如图：
所以9π2≤5ωπ+π3<11π2，解得ω∈56,3130．
故选：B．
6．如图所示，F1,F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，C的右支上存在一点B满足BF1⊥BF2,BF1与双曲线C左支的交点A满足sin∠AF2F1sin∠AF2B=BF2F1F2，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3B．2C．23D．13
【答案】D
【分析】利用正弦定理及已知可得|AB|=|AF1|，令|AB|=|AF1|=x，由双曲线定义及BF1⊥BF2，应用勾股定理列方程求得x=3a，进而求离心率.
【详解】△ABF2中|BF2|sin∠BAF2=|AB|sin∠AF2B，△AF1F2中|F1F2|sin∠F1AF2=|AF1|sin∠AF2F1，
所以|AB|=|BF2|sin∠AF2Bsin∠BAF2，|AF1|=|F1F2|sin∠AF2F1sin∠F1AF2，
又∠BAF2+∠F1AF2=π，则sin∠BAF2=sin∠F1AF2，又sin∠AF2F1sin∠AF2B=BF2F1F2，
所以|AB|=|AF1|，令|AB|=|AF1|=x，则|BF1|=2x，|BF2|=2x−2a，|AF2|=x+2a
而|F1F2|=2c，由BF1⊥BF2，则|BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2，|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，
可得4x2+4(x−a)2=4c2x2+4(x−a)2=(x+2a)2⇒x=3a2x2−2ax+a2=c2，即13a2=c2⇒ e=ca=13.
故选：D
7．已知函数fx=lg2x，设a=f(lg23),b=f(7−0.1),c=f(lg1425)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再判断自变量的大小，即可根据函数的单调性，比较大小.
【详解】依题意，得f(x)的定义域为xx≠0，函数f(x)为偶函数，且f(x)在(0,+∞)上为增函数，
而a=f(lg23)，
因为2<3<4，所以lg22因为y=7x在R上为增函数，且−0.1<0，所以0<7−0.1<70=1，
c=flg1425=f−lg425=flg425，
因为25>16，所以lg425>lg416=2，所以lg425>lg23>7−0.1>0，
所以f(lg425)>f(lg23)>f(7−0.1)，所以c>a>b，
故选：A.
8．设函数f(x)=x−e−x，直线y=ax+b是曲线y=f(x)的切线，则2a+b的最小值为（ ）
A．2−1eB．1e2−1
C．2−1e2D．2+1e2
【答案】C
【分析】先设切点写出切线方程，再求2a+b的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.
【详解】令fx的切点为x0,x0−e−x0，因为f'x=1+e−x，
所以过切点的切线方程为y−x0−e−x0=1+e−x0x−x0，
即y=1+e−x0x−e−x0x0+1，所以a=1+e−x0b=−e−x0x0+1，
所以2a+b=−e−x0x0+e−x0+2，
令gx=−e−xx+e−x+2，则g'x=−e−x+xe−x−e−x=e−xx−2，
所以当x∈−∞,2时g'x<0恒成立，此时gx单调递减，
当x∈2,+∞时g'x>0恒成立，此时gx单调递增，
所以gxmin=g2=2−e−2，所以2a+bmin=2−e−2=2−1e2，
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在1−2x3x−a5的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）
A．a=3B．展开式中的常数项为−32
C．展开式中x4的系数为160D．展开式中无理项的系数之和为−242
【答案】BC
【分析】先根据各项系数和结赋值法得a=2判断A，然后结合二项式展开式的通项公式求解常数项、含x4的系数及无理项系数之和判断BCD.
【详解】根据题意令x=1，得1−2x3x−a5的展开式中各项系数和为−1−a5=1，则a=2，A错误；
则1−2x3x−a5=1−2x3⋅x−25，
又x−25的展开式的通项为Tk+1=−2kC5kx5−k2，k=0,1,⋯,5，
所以展开式中的常数项为1×−25C55=−32，B正确；
含x4的项为−2x3⋅−23C53x=160x4，其系数为160，C正确；
展开式中无理项的系数之和为1−2−20C50+−22C52+−24C54=−1+40+80=−121，D错误.
故选：BC.
10．如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为1，高为3，F为棱AA1的中点，D,E分别在棱BB1,CC1上，且满足A1D+DE+EA取得最小值．记四棱锥A1−B1C1ED、三棱锥F−A1DE,A−DEF的体积分别为V1,V2,V3，则（ ）

A．V1+V2+V3<334B．V2=V3C．2V1=3V2D．V1=V2+V3
【答案】ABD
【分析】根据三棱柱的体积公式即可判断A,根据平面展开图可得线段最短时DB1=1,EC1=2，即可根据锥体体积公式判断BCD.
【详解】正三棱柱ABC−A1B1C1的体积为VABC−A1B1C1=S△A1B1C1⋅AA1=12×1×1×32×3=334，由图可知V1+V2+V3沿着侧棱AA1将棱柱展开得到一个矩形A1P1PA，连接A1P，

因为A1D+DE+EA取得最小值，即线段A1P，
由于四边形A1P1PA为边长为3的正方形，所以DB1=A1B1=1,EC1=CC1−CE=CC1−CP=3−1=2，因为F为AA1的中点，所以
V1=13SB1C1ED⋅32=13×12×1+2×1×32=34，V2=VE−A1FD=13S△A1FD×32=13×12A1FA1B1×32=13×12×32×1×32=38，
V3=VE−AFD=VE−A1FD=V2，所以B正确，C不正确，D正确．
故选:ABD．
11．已知抛物线C:y2=2pxp>0的准线为l:x=−1，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于Px1,y1，Qx2,y2两点，PP1⊥l于P1，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2=5，则PQ=7
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设M0,1，则PM+PP1≥2
D．过点M0,1与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
【答案】ABC
【分析】根据过焦点的直线与抛物线的相交的交点坐标关系、圆的几何性质逐项判断即可.
【详解】由题意，抛物线C:y2=2pxp>0的准线为l:x=−1，所以p=2，抛物线C的方程为C:y2=4x，焦点为F1,0，
过Q作QQ1⊥l于Q1，

则由抛物线的定义可得PQ=PF+QF=PP1+QQ1=x1+x2+p=5+2=7，故A正确；
PQ=x1+x2+2，则以PQ为直径的圆的半径r=x1+x22+1，
线段PQ的中点坐标为x1+x22,y1+y22，
则线段PQ的中点到准线的距离为x1+x22+p2=x1+x22+1=r，
所以以PQ为直径的圆与准线l相切，故B正确；
抛物线C:y2=4x的焦点为F1,0，PM+PP1=PM+PF≥MF=2，
当且仅当M，P，F三点共线时取等号，所以PM+PP1≥2，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为x=0，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，
联立y=kx+1,y2=4x,消去x，并整理得ky2−4y+4=0，
当k=0时，方程的解为y=1，此时直线与抛物线只有一个交点，
当k≠0时，则Δ=16−16k=0，解得k=1，
综上所述，过点M0,1与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误．
故选：ABC．
12．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式
ex=1+x+x22!+x33!+x44!+⋯+xnn!+⋯
sinx=x−x33!+x55!−x77!+⋯+−1n+1x2n−12n−1!+⋯
由此可以判断下列各式正确的是（ ）．
A．eix=csx+isinx（i是虚数单位）B．eix=−i（i是虚数单位）
C．2x≥1+xln2+xln222x≥0D．csx≤1−x22+x424x∈0,1
【答案】ACD
【分析】对于A、B，将关于sinx的泰勒展开式两边求导得csx的泰勒展开式，再验证结论是否正确；
对于C，由2x=exln2 x≥0，再代入关于ex的泰勒展开式验证是否成立；
对于D，由csx=1−x22!+x44!−x66!+x88!−x1010!+⋯−x2n2n!+x2n+22n+2!+⋯，证明
−x66!+x88!−x1010!+⋯−x2n2n!+x2n+22n+2!+⋯<0即可.
【详解】对于A、B，由sinx=x−x33!+x55!−x77!+⋯+−1n+1x2n−12n−1!+⋯，
两边求导得csx=1−x22!+x44!−x66!+⋯+−1n+1x2n−22n−2!+⋯，
isinx=xi-x3i3!+x5i5!−x7i7!+⋯+−1n+1x2n−1i2n−1!+⋯，
csx+isinx=1+xi−x22!−x3i3!+x44!+x5i5!−x66!−x7i7!+⋯+−1n+1x2n−1i2n−1!+−1n+1x2n−22n−2!+⋯，
又eix=1+xi+xi22!+xi33!+xi44!+⋯+xinn!+⋯，
=1+xi−x22!−x3i3!+x44!+x5i5!−x66!−x7i7!+⋯+−1n+1x2n−1i2n−1!+−1n+1x2n−22n−2!+⋯，
=csx+isinx，故A正确，B错误；
对于C，已知ex=1+x+x22!+x33!+x44!+⋯+xnn!+⋯，则ex≥1+x+x22!.
因为2x=exln2 x≥0，则exln2>1+xln2+xln222!，即2x≥1+xln2+xln222x≥0成立，故C正确；
故C正确；
对于D，csx=1−x22!+x44!−x66!+x88!−x1010!+⋯+−1n+1x2n−22n−2!+⋯,，
csx=1−x22!+x44!−x66!+x88!−x1010!+⋯−x2n2n!+x2n+22n+2!+⋯，
当x∈0,1，−x66!+x88!<0；x88!−x1010!<0；⋅⋅⋅；
−x2n2n!+x2n+22n+2!=x2nx2−2n+12n+22n+2!<0，x∈0,1,
所以−x66!+x88!−x1010!+⋯−x2n2n!+x2n+22n+2!+⋯<0，所以csx<1−x22!+x44!=1−x22+x424x∈0,1成立，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】利用泰勒公式证明不等式方法点睛：
应用泰勒公式时要选好x，有时可能需要结合题目给出信息进行相关变形，再代入验证，利用展开项的特征进行适当的放缩，证明不等式成立.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设向量AB=x,2x在向量AC=3,−4上的投影向量为−15AC，则x= ．
【答案】1
【分析】利用向量在向量上的投影向量计算公式建立方程，解出即可.
【详解】向量AB=x,2x在向量AC=3,−4上的投影向量为
AB⋅ACAC⋅ACAC=3x−8x25AC，则−15=3x−8x25，解得x=1．
故答案为：1.
14．四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=4，AB=BC=2，鳌臑P−ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是 ．

【答案】24π
【分析】根据题意，把鳌臑P−ABC补成一个长方体，则长方体的外接球即是鳌臑P−ABC的外接球，从而求出鳌臑P−ABC的外接球半径为R，再利用球的体积公式即可求出结果．
【详解】把鳌臑P−ABC补成一个长方体，如图所示：

则长方体的外接球即是鳌臑P−ABC的外接球，
又∵PA=4，AB=BC=2，
∴长方体的外接球半径R=12×42+22+22=6，
∴鳌臑P−ABC的外接球半径为R=6，
则该球的表面积是4πR2=24π，
故答案为：24π．
15．已知圆O:x2+y2=4，过点M−3,−3的直线l交圆O于A,B两点，且MA=AB，请写出一条满足上述条件的直线l的方程 .
【答案】x=−3（答案不唯一，y=33x−2也满足）
【分析】分别讨论直线l斜率存在、不存在的情况，设C到直线的距离为d，由MA=AB得2r2−d2=MC2−d2−r2−d2，结合点线距离公式即可求解判断.
【详解】由题意得O0,0，半径r=2，MO=3+32=23>2，
故M−3,−3在圆外，设O到直线的距离为d，
由MA=AB得2r2−d2=MO2−d2−r2−d2，即24−d2=12−d2−4−d2，
解得d=3，
当直线l斜率不存在时，即x=−3，此时d=3，符合题意；
当直线l斜率存在时，设为y=kx+3−3，即kx−y+3k−3=0，
则d=3k−3k2+1， 即3k−32k2+1=3，解得k=33，故直线为y=33x−2.
故答案为：x=−3（答案不唯一，y=33x−2也满足）
16．已知函数fx及其导函数f'x的定义域均为R，记gx=f'x，若f1−2x+4x为偶函数，gx+2=gx−4，且g−12=0，则g52+g4= ．
【答案】6
【分析】根据f1−2x+4x为偶函数，可得f1−2x+4x=f1+2x−4x，两边求导后可得g1+x+g1−x=4，令x=0，得g1=2，令x=−32，得g52=4；由gx+2=gx−4，可得gx的周期为6，进而得g4=2，从而可得答案.
【详解】因为f1−2x+4x为偶函数，所以f1−2x+4x=f1+2x−4x，
两边同时求导得−2f'1−2x+4=2f'1+2x−4，即f'1+2x+f'1−2x=4，
所以f'1+x+f'1−x=4，即g1+x+g1−x=4，
令x=0，得g1=2，
令x=−32，得g−12+g52=4，又因为g−12=0，所以g52=4，
由gx+2=gx−4，所以gx+6=gx，
所以gx的周期为6，则g4=g−2，
而g4+g−2=4，所以g4=2，
所以g52+g4=4+2=6.
故答案为：6.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．在（1）3csinA+C2=bsinC；（2）3BA⋅CB=2S△ABC；（3）tanC=ccsA33b+csinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足
(1)求角B；
(2)若b2+c2=a2+3bc,△ABC的外接圆周长为23π，求BC边上的中线长.
【答案】(1)所选条件见解析，B=2π3；
(2)212.
【分析】（1）根据所选条件，应用正弦边角关系、三角形面积公式、向量数量积定义、三角恒等变换化简条件求角B；
（2）由已知易得△ABC为顶角为2π3的等腰三角形，D是BC中点，则AB+AC=2AD，利用向量数量积的运算律求中线长度.
【详解】（1）选（1），则3csinA+C2=bsinC⇒3csinπ-B2=bsinC⇒3ccsB2=bsinC，
所以3sinCcsB2=sinBsinC，而sinC≠0,B2∈(0,π2)，则3csB2=2sinB2csB2，
所以sinB2=32⇒B2=π3⇒ B=2π3；
选（2），则3BA⋅CB=2S△ABC⇒3accs(π−B)=2×12acsinB，
所以−3csB=sinB⇒tanB=−3，而B∈(0,π)，则B=2π3；
选（3），则tanC=ccsA33b+csinA⇒sinCcsC=sinCcsA33sinB+sinCsinA，sinC≠0，
所以csAcsC=33sinB+sinCsinA⇒csAcsC−sinCsinA=33sinB，
所以cs(A+C)=cs(π−B)=−csB=33sinB，则tanB=−3，
而B∈(0,π)，则B=2π3.
（2）由b2+c2=a2+3bc，则b2+c2−a2bc=3，故csA=32，A∈(0,π)，即A=π6，
结合（1）易知：△ABC为顶角为2π3的等腰三角形，如下图，D是BC中点，
△ABC的外接圆周长为23π，若外接圆半径为r，则2πr=23π⇒r=3，
所以b=2rsinB=3,c=2rsinC=3，而AB+AC=2AD，
所以|AD|2=(AB+AC)24=AB2+2AB⋅AC+AC24=c2+2bccsA+b24，
则|AD|2=3+9+94=214⇒ |AD|=212，即求BC边上的中线长为212.
18．若数列an的前n项和Sn满足Sn=2an+n．
(1)证明：数列an−1是等比数列；
(2)设bn=lg21−an+1，记数列1bnbn+1的前n项和为Tn，证明：对任意的正整数n，都有Tn<12.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据递推式关系再写一项做差，之后利用等比数列定义证明；
（2）先求出bn的表达式，之后进行裂项求和即可.
【详解】（1）证明：由Sn=2an+n，当n=1时，可得a1=−1；
当n≥2时，Sn−1=2an−1+n−1，所以an=2an−1−1n≥2，
∴n≥2时，an−1=2an−1−1，
∴数列an−1是以a1−1=−2为首项，q=2为公比的等比数列；
∴an−1=−2n，∴an=1−2n.
（2）证明：由（1）知，an+1=1−2n+1，∴bn=lg21−an+1=n+1，
∴1bnbn+1=1n+1n+2=1n+1−1n+2，
∴Tn=1b1b2+1b2b3+⋯+1bnbn+1=12−13+13−14⋅⋅⋅+1n+1−1n+2=12−1n+2,
因为n∈N∗，所以1n+2>0，所以Tn=12−1n+2<12即Tn<12成立．
所以对任意的正整数n，都有Tn<12得证.
19．2023年9月8日，第19届亚运会火炬传递启动仪式在杭州西湖景区涌金公园广场成功举行．火炬传递首日传递从杭州西湖涌金公园广场出发，沿南山路—湖滨路—环城西路—北山街—西泠桥—孤山路传递，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亚运会火炬首日传递共有106棒火炬手参与．
(1)组委会从全省火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格：
根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，试判断全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁是否有关联；
(2)在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观看足球比赛．某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？
【答案】(1)全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联）
(2)3643
【分析】（1）根据2×2列联表中的数据，求得χ2的值，结合附表，即可得到结论；
（2）设A表示火炬手为男性，B表示火炬手喜欢足球，结合条件概率和全概率公式，即可求解.
【详解】（1）解：零假设为：H0：全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联），
根据2×2列联表中的数据，计算得χ2=100×(15×35−5×45)220×80×40×60≈2.34<2.706=x0.1，
所以根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此可以认定为H0成立，
全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联）．
（2）解：设A表示火炬手为男性，B表示火炬手喜欢足球，
则P(A|B)=P(AB)P(B)=P(B|A)P(A)P(B∣A)P(A)+P(B|A)P(A)=+0.07=，
所以这位火炬手是男性的概率约为3643．
20．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=3，AB⊥AC，D为A1C1的中点．
(1)证明：AB1⊥BD；
(2)若点C到平面ABD的距离为3，求平面ABC与平面BCD的夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)144．
【分析】（1）由平面AA1B1B⊥平面A1B1C1，得A1C1⊥平面AA1B1B，得A1C1⊥AB1，
又因AB1⊥A1B得AB1⊥平面A1BD，进而可证；
（2）由向量法先根据C到平面ABD的距离为3，求出C的坐标，再由向量法求平面与平面的夹角.
【详解】（1）
连接A1B,
因为四边形AA1B1B为正方形，所以AB1⊥A1B．
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面A1B1C1，
由AB⊥AC得A1C1⊥A1B1，又平面AA1B1B∩平面A1B1C1=A1B1，
所以A1C1⊥平面AA1B1B，又AB1⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AB1，
又A1B∩A1C1=A1，A1B⊂平面A1BD，A1C1⊂平面A1BD，
所以AB1⊥平面A1BD，又BD⊂平面A1BD，
所以AB1⊥BD.
（2）以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC=2a，则A0,0,0，B3,0,0，C0,2a,0，D0,a,3，
AB=3,0,0，AC=0,2a,0，AD=0,a,3．
设n=x,y,z为平面ABD的一个法向量，
则n⋅AD=0n⋅AB=0，即ay+3z=03x=0，得x=0，令z=a，则y=−3，
故n=0,−3,a，
由题意，AC⋅nn=23a3+a2=3，解得a=1，
所以BC=−3,2,0，CD=0,−1,3．
设i=p,q,r为平面BCD的一个法向量，
则i⋅BC=0i⋅CD=0，即−3p+2q=0−q+3r=0，
令q=3，则p=2，r=1，即i=2,3,1，
平面ABC的一个法向量为j=0,0,1，
设平面ABC和平面BCD的夹角为θ，
则csθ=i⋅ji⋅j=122+32+12×1=24，
所以sinθ=1−cs2θ=144，
所以平面ABC和平面BCD的夹角的正弦值为144．
21．已知双曲线C:x22−y22=1，直线l过双曲线C的右焦点F且交右支于A,B两点，点S为线段AB的中点，点T在x轴上，ST⊥AB．
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)若TS⋅TB=809，求直线l的方程．
【答案】(1)y=±x
(2)y=2x−4或y=−2x+4或x=2
【分析】（1）根据等轴双曲线方程即可求解渐近线方程，
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据向量数量积的几何意义将其转化为TS⋅TB=TS2=809，由坐标运算即可求解.
【详解】（1）由题知，a=b=2，所以双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±x．
（2）双曲线C:x22−y22=1的右焦点坐标为2,0，
由题知，直线AB的斜率不为0，设直线AB方程为x=ty+2，代入双曲线C:x22−y22=1中，
化简可得：t2−1y2+4ty+2=0t2≠1，
设Ax1,y1,Bx2,y2,则y1+y2=−4tt2−1,y1y2=2t2−1．
则x1+x2=ty1+y2+4=−4t2t2−1+4=−4t2−1,
∴线段AB中点S的坐标为−2t2−1,−2tt2−1，
直线ST方程为y+2tt2−1=−tx+2t2−1．
（i）当t=0时，S点恰好为焦点F，此时存在点T2+453,0或T2−453,0，使得TS⋅TB=TS2=809．
此时直线AB方程为x=2．
（ii）当t≠0时，令y=0可得x=−4t2−1，可得点T的坐标为−4t2−1,0，TS=2t2−1,−2tt2−1
由于ST⊥AB所以TS⋅TB=TS2，
由TS⋅TB=809，即|TS|2=809，也即：|TS|2=2t2−12+−2tt2−12=809．
化简可得20t4−49t2+11=0，解出t=±12,t=±555，
由于直线AB要交双曲线右支于两点，所以−4t2−1>0，即t2<1，故舍去t=±555．
可得直线AB的方程为x=±12y+2．
综上：直线AB方程为y=2x−4或y=−2x+4或x=2．

22．已知函数fx=csxx,gx=1x−ax.
(1)若函数fx在点Aπ2,0处的切线与函数gx的图象有公共点，求实数a的取值范围；
(2)若函数fx和函数gx的图象没有公共点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)a≥2π−14
(2)(−∞,0)∪[12,+∞)
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程，联立方程转化为一元二次方程，利用判别式即可求解,
（2）将问题转化为h(x)=csx+ax2−1=0没有实数根，求导，利用导数确定函数的单调性,分类讨论，进而结合零点存在性定理即可求解.
【详解】（1）因为f(x)=csxx，所以f'(x)=−xsinx−csxx2，
则f(x)在点Aπ2,0处的切线斜率为f'(π2)=−2π，
所以切线方程为y=−2π(x−π2)，即y=−2πx+1.
由y=−2πx+1y=1x−ax得−2πx+1=1x−ax，即(a−2π)x2+x−1=0.
因为函数定义域为{x|x≠0}，所以方程(a−2π)x2+x−1=0有非零实数根，
当a=2π时，x=1，符合题意，当a≠2π时，则Δ=1+4(a−2π)≥0，即a≥2π−14，且a≠2π，
所以实数a的取值范围是a≥2π−14.
（2）因为函数f(x)和函数g(x)的图象没有公共点，所以f(x)=g(x)，即csxx=1x−ax无实根，
所以当x≠0时，h(x)=csx+ax2−1=0无实根，
因为h(−x)=h(x)，即h(x)是偶函数，所以h(x)=csx+ax2−1=0在(0,+∞)上无实根.
h'(x)=2ax−sinx，
记m(x)=h'(x)=2ax−sinx则m'x=2a−csx，x∈(0,+∞).
①当a<0时，ax2<0，又−1≤csx≤1，则csx−1≤0，所以h(x)=csx+ax2−1<0，满足h(x)=0在(0,+∞)上无实根.
②当a=0时，h(x)=csx−1=0在(0,+∞)上有实根，不合题意，舍去.
③当a≥12时，m'x=2a−csx≥0，所以h'(x)=2ax−sinx在(0,+∞)单调递增，
则h'(x)>h'(0)=0，所以h(x)=csx+ax2−1=0在(0,+∞)上单调递增，
所以h(x)>h(0)=0，满足h(x)=0在(0,+∞)上无实根.
④当00，
则存在唯一的x0∈(0,π2)，使m'(x0)=2a−csx0=0，列表得
所以当x∈(0,x0)时，h'(x)又因为h(2π)=4aπ2>0，且h(x)在(0,+∞)上连续，
所以h(x)=csx+ax2−1=0在(0,2π)上有实根，不合题意.
综上可知，实数a的取值范围是(−∞,0)∪[12,+∞).
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
性别
年龄
总计
满50周岁
未满50周岁
男
15
45
60
女
5
35
40
总计
20
80
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x
(0,x0)
x0
(x0,π2)
m'(x)
-
0
+
mx=h'(x)
↘
极小值
↗