黄金卷05-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．6 14．11 15． 16．1
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【详解】（1）当时，，
当时，，因为也符合上式．
所以．
（2）由（1）可知，
所以
．
18．（12分）
【详解】（1），故，
即，故，
整理得到，即，，故.
（2），，故为等边三角形，即，

中：，
即，
即，当且仅当时等号成立.
.
19．（12分）
(2)存在点，使得二面角的大小为，．
【详解】（1）因为四边形和都是直角梯形，
所以，，且平面，
所以，平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）过点、分别作直线、的垂线、垂足为、．
由已知和平面几何知识易知，，，
则四边形和四边形是矩形，所以在和中，，
假设在上存在点，使得二面角的大小为．
由（1）知平面，则是二面角的平面角，
所以，所以是正三角形．
取的中点，则，又平面，
所以平面，过点作平行线，
则以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
则，则，，
设平面的法向量为，
由，得，取，
又平面的法向量，所以，
整理化简的，解得或（舍去）．
所以存在点，使得二面角的大小为，且．
20．（12分）
【详解】（1）由函数，可得，所以不是函数的零点，
因为函数有且仅有一个零点，即方程仅有一个实数根，
即方程仅有一个实数根，即方程仅有一个实数根，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递减，
所以函数的极小值为，
又由当且时，；当且时，，
所以函数的图象如图所示，
要使得函数有且仅有一个零点，则满足或，
即实数的取值范围是.
（2）解：设，即，
当，令
满足，且，
若在区间单调递增，此时，不满足题意；
若在区间单调递减，此时，不满足题意；
所以函数在区间上不是单调函数，所以函数在区间上必有极值点，
即存在，使得，即，
即，使得.
21．（12分）
【详解】（1）设，由动点P到定点的距离和它到直线距离之比为2，
可得，化简得，即，
故点P的轨迹C的方程为；
（2）设l的方程为，则，故，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.
与双曲线方程联立得：，
由对应渐近线方程为：，易判断，
得，设，，
则，①，
由，得：
，
，
即，，
消去得：，
即②
由①②得：，化简得，由已知，
故存在定直线l：满足条件.

22．（12分）
【详解】（1）填写列联表如下：
零假设为：“植株的存活”与“制剂吸收足量”无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到：，
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”无关．
（2）由题意得．
又，故．
把换成，则．
两式相减，得，
即．
又，
故对任意都成立，
从而是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，因此．
由定义可知，
而，下面先求．
，
，
作差得
．
所以，当足够大时，，，故，可认为．1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
A
C
B
C
C
D
9
10
11
12
BC
BCD
ABD
ACD
吸收足量
吸收不足量
合计
植株存活
12
1
13
植株死亡
3
4
7
合计
15
5
20