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黄金卷05-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II卷专用）
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，
又，则.
故选：B.
2．（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】.
故选：A
3．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为18m.最短拉索的锚，满足，，以所在直线为轴，所在直线为轴，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意知，分别是公差为4和18的等差数列，
所以，，
所以，，即最长拉索所在直线的斜率为.
故选：B.
4．已知平面向量，，，若，则（ ）
A．B．5C．2D．
【答案】D
【详解】，
，
因为，所以，
所以，解得.
故选：D
5．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．1120B．7200C．8640D．14400
【答案】B
【详解】甲与乙相邻有种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有种不同的排法，
再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有种不同的排法，
所以共有种不同的排法．
故选：B.
6．已知角，且，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【详解】因为，
所以，
所以，
则，
又，则，
则，
所以.
故选：C.
7．已知正三棱锥的外接球的表面积为，若平面PBC，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设外接球半径为，则，所以.
设，因为平面PBC，所以，
所以，又因为△ABC为正三角形，，
即PA，PB，PC两两垂直.
将三棱锥补成以PA，PB，PC为邻边的正方体，则，得，
所以三棱锥的体积为.
故选：A.
8．函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（ ）
A．66B．70C．124D．144
【答案】B
【详解】为偶函数，即，
的图像关于对称，
为奇函数，即，
的图像关于点对称，
对于，均有，
，
的图像关于对称，，
的图像关于点对称，
又
解得，
.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．对于函数，有以下四种说法正确的是:（ ）
A．函数的最小值是
B．图象的对称轴是直线
C．图象的振幅为2，初相为
D．函数在区间上单调递增
【答案】AD
【详解】因为函数，则有：
对于选项A：当，即时，
函数取得最小值为，故A正确；
对于选项B：令，解得，
函数的图象的对称轴是直线，故B错误；
对于选项C：因为，
所以图象的振幅为2，
令，解得，
所以不为初相，故C错误；
对于选项D：令，解得，
即函数的递增区间为，
当时，的递增区间为，故D正确.
故选：AD.
10．（多选题）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【详解】设长方体的长宽高分别为，，
则，，，
故，，，，则B错误，ACD正确；
故选：ACD.
11．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为B．直线与抛物线相切
C．为定值D．
【答案】ABD
【分析】选项A，由点在抛物线上，代入方程待定系数，求出抛物线C方程，则得到准线方程；选项B，利用导数求出切线斜率，与直线斜率相同即可说明相切；选项C，设出直线AB方程，联立抛物线方程，将坐标化韦达定理代入可证；选项D，利用弦长公式用表示，再代入韦达定理，结合判别式得出的的范围，即可判断得出答案．
【详解】对于A：因为点在抛物线：上，
则，解得，
所以抛物线：，
其准线为，故A正确；
对于B：令，
则，可得，
即抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，
所以直线AB与抛物线C相切，故B正确；
对于C：由题意可知，直线PQ斜率存在，
设直线PQ的方程为 ，
联立方程，消去y得：，
可得，得，
且，
因为
，故C错误；
对于D：由题意可知，
因为，
则，
所以，故D正确.
故选：ABD．
12．若实数x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】对于AB，，则，从而可求出的范围进行判断，对于C，利用，化简变形结合已知条件可判断，对于D，利用，化简变形结合已知条件可判断.
【详解】对于AB，因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，所以A正确，B错误，
对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，所以C错误，
对于D，因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，所以D正确，
故选：AD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知随机变量服从正态分布，且，则 .
【答案】/
【详解】随机变量服从正态分布，且，
所以，
所以，
故答案为：
14．已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为 ．
【答案】
【详解】由题意得，，设切点为，
则切线方程为，
因为切线过原点，
所以，
解得，所以．
故答案为：
15．已知圆C：，直线，若在l上总存在点M，使得过M点作的圆C的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】根据题意，圆C：即，
其圆心为，半径，
如图，设切点分别为A，连接AC，BC，MC，
由，又由，
则四边形MACB为正方形且，
若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，
只需圆心到直线l的距离，
即，
解可得：，
即m的取值范围为；
故答案为：
16．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，、分别交轴于、两点，的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线交于点，则 .
【答案】
【详解】因为，所以，
因为的周长为4，所以的周长，
所以，所以椭圆方程为，，所以，
直线垂直轴，设，代入，求得，
所以，，
因为外角平分线的垂线与直线交于点，
所以，可得，
则，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)若集合，求集合中的元素个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【详解】（1）证明：设数列的公差为，则，
即，
解得，所以原命题得证.
（2）由（1）知，所以，
因为，所以，解得,
由，，故，即，
所以满足等式的解．
故集合中的元素个数为6.
18．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：设的内角，，的对边分别为，，，且，，______.
(1)求；
(2)求的周长.
注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，，
，
，
，
则，
化简得.
在中，，
.
又，
.
（2）由余弦定理，得，即.
若选①，
，即，且，
，，
此时的周长为.
若选②，
，
，即，
又，
，
此时的周长为．
19．据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准（单位：吨），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求和的值；
(2)若该市政府希望使的居民月用水量不超过标准吨，试估计的值；
(3)在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过吨时，按3元吨计算，超出吨的部分，按5元吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？
【答案】(1)，
(2)16.6吨
(3)20.64吨
【详解】（1），
用水量在的频率为，（户）
（2），
，
（吨）
（3）设该市居民月用水量最多为吨，因为，所以，
则，解得，
答：该市居民月用水量最多为20.64吨．
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，E，F分别是PC，AD中点．
(1)求证：平面；
(2)若，PB与平面ABCD所成角为45°，求平面PFB与平面EFD夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设为中点，连接，
又分别是中点，
所以，，
又底面是正方形，
所以，，故四边形为平行四边形，则，
由平面，平面，则平面.
（2）因为PB与平面ABCD所成角为45°，所以，以为原点，构建空间直角坐标系，
由于，则，
所以，
所以，
令为平面的一个法向量，则，
令，即，
令为平面的一个法向量，则，
令，即，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值．
21．已知双曲线：经过点，且浙近线方程为．
(1)求的方程；
(2)过点作轴的垂线，交直线：于点，交轴于点．不过点的直线交双曲线于A、B两点，直线，的斜率分别为，，若，求．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由，即，
将代入双曲线方程得；
（2）
当直线的斜率存在时，不妨设直线，，
联立双曲线方程，
其中，
，
易知
，
化简得
所以或，
当时，直线过P，不符题意舍去，
故，则此时直线，过定点.
如图所示，易知，
则；
当直线的斜率不存在时，可设，
与双曲线方程联立，则，
可令，
此时，
此时重合，不符题意舍去.
综上可知.
【点睛】关键点睛：本题关键点在于第二问中由条件转化中的关系，此外三角形面积比转化为线段比也是简化计算的关键.
22．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若，求的值；
(3)求证：.
【答案】(1)在处取得极小值，无极大值
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，无极大值；
（2）由题意得，
①当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，与矛盾；
②当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
因为恒成立，所以，
记，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以，
又，
所以，
所以；
（3）证明：先证，
设，则，
所以在区间上单调递减，
所以，即，
所以，
再证，
由（2）可知，当时等号成立，
令，则，
即，
所以，，，
累加可得，
所以.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，
又，则.
故选：B.
2．（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】.
故选：A
3．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为18m.最短拉索的锚，满足，，以所在直线为轴，所在直线为轴，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意知，分别是公差为4和18的等差数列，
所以，，
所以，，即最长拉索所在直线的斜率为.
故选：B.
4．已知平面向量，，，若，则（ ）
A．B．5C．2D．
【答案】D
【详解】，
，
因为，所以，
所以，解得.
故选：D
5．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．1120B．7200C．8640D．14400
【答案】B
【详解】甲与乙相邻有种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有种不同的排法，
再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有种不同的排法，
所以共有种不同的排法．
故选：B.
6．已知角，且，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【详解】因为，
所以，
所以，
则，
又，则，
则，
所以.
故选：C.
7．已知正三棱锥的外接球的表面积为，若平面PBC，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设外接球半径为，则，所以.
设，因为平面PBC，所以，
所以，又因为△ABC为正三角形，，
即PA，PB，PC两两垂直.
将三棱锥补成以PA，PB，PC为邻边的正方体，则，得，
所以三棱锥的体积为.
故选：A.
8．函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（ ）
A．66B．70C．124D．144
【答案】B
【详解】为偶函数，即，
的图像关于对称，
为奇函数，即，
的图像关于点对称，
对于，均有，
，
的图像关于对称，，
的图像关于点对称，
又
解得，
.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．对于函数，有以下四种说法正确的是:（ ）
A．函数的最小值是
B．图象的对称轴是直线
C．图象的振幅为2，初相为
D．函数在区间上单调递增
【答案】AD
【详解】因为函数，则有：
对于选项A：当，即时，
函数取得最小值为，故A正确；
对于选项B：令，解得，
函数的图象的对称轴是直线，故B错误；
对于选项C：因为，
所以图象的振幅为2，
令，解得，
所以不为初相，故C错误；
对于选项D：令，解得，
即函数的递增区间为，
当时，的递增区间为，故D正确.
故选：AD.
10．（多选题）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【详解】设长方体的长宽高分别为，，
则，，，
故，，，，则B错误，ACD正确；
故选：ACD.
11．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为B．直线与抛物线相切
C．为定值D．
【答案】ABD
【分析】选项A，由点在抛物线上，代入方程待定系数，求出抛物线C方程，则得到准线方程；选项B，利用导数求出切线斜率，与直线斜率相同即可说明相切；选项C，设出直线AB方程，联立抛物线方程，将坐标化韦达定理代入可证；选项D，利用弦长公式用表示，再代入韦达定理，结合判别式得出的的范围，即可判断得出答案．
【详解】对于A：因为点在抛物线：上，
则，解得，
所以抛物线：，
其准线为，故A正确；
对于B：令，
则，可得，
即抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，
所以直线AB与抛物线C相切，故B正确；
对于C：由题意可知，直线PQ斜率存在，
设直线PQ的方程为 ，
联立方程，消去y得：，
可得，得，
且，
因为
，故C错误；
对于D：由题意可知，
因为，
则，
所以，故D正确.
故选：ABD．
12．若实数x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】对于AB，，则，从而可求出的范围进行判断，对于C，利用，化简变形结合已知条件可判断，对于D，利用，化简变形结合已知条件可判断.
【详解】对于AB，因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，所以A正确，B错误，
对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，所以C错误，
对于D，因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，所以D正确，
故选：AD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知随机变量服从正态分布，且，则 .
【答案】/
【详解】随机变量服从正态分布，且，
所以，
所以，
故答案为：
14．已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为 ．
【答案】
【详解】由题意得，，设切点为，
则切线方程为，
因为切线过原点，
所以，
解得，所以．
故答案为：
15．已知圆C：，直线，若在l上总存在点M，使得过M点作的圆C的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】根据题意，圆C：即，
其圆心为，半径，
如图，设切点分别为A，连接AC，BC，MC，
由，又由，
则四边形MACB为正方形且，
若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，
只需圆心到直线l的距离，
即，
解可得：，
即m的取值范围为；
故答案为：
16．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，、分别交轴于、两点，的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线交于点，则 .
【答案】
【详解】因为，所以，
因为的周长为4，所以的周长，
所以，所以椭圆方程为，，所以，
直线垂直轴，设，代入，求得，
所以，，
因为外角平分线的垂线与直线交于点，
所以，可得，
则，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)若集合，求集合中的元素个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【详解】（1）证明：设数列的公差为，则，
即，
解得，所以原命题得证.
（2）由（1）知，所以，
因为，所以，解得,
由，，故，即，
所以满足等式的解．
故集合中的元素个数为6.
18．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：设的内角，，的对边分别为，，，且，，______.
(1)求；
(2)求的周长.
注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，，
，
，
，
则，
化简得.
在中，，
.
又，
.
（2）由余弦定理，得，即.
若选①，
，即，且，
，，
此时的周长为.
若选②，
，
，即，
又，
，
此时的周长为．
19．据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准（单位：吨），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求和的值；
(2)若该市政府希望使的居民月用水量不超过标准吨，试估计的值；
(3)在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过吨时，按3元吨计算，超出吨的部分，按5元吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？
【答案】(1)，
(2)16.6吨
(3)20.64吨
【详解】（1），
用水量在的频率为，（户）
（2），
，
（吨）
（3）设该市居民月用水量最多为吨，因为，所以，
则，解得，
答：该市居民月用水量最多为20.64吨．
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，E，F分别是PC，AD中点．
(1)求证：平面；
(2)若，PB与平面ABCD所成角为45°，求平面PFB与平面EFD夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设为中点，连接，
又分别是中点，
所以，，
又底面是正方形，
所以，，故四边形为平行四边形，则，
由平面，平面，则平面.
（2）因为PB与平面ABCD所成角为45°，所以，以为原点，构建空间直角坐标系，
由于，则，
所以，
所以，
令为平面的一个法向量，则，
令，即，
令为平面的一个法向量，则，
令，即，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值．
21．已知双曲线：经过点，且浙近线方程为．
(1)求的方程；
(2)过点作轴的垂线，交直线：于点，交轴于点．不过点的直线交双曲线于A、B两点，直线，的斜率分别为，，若，求．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由，即，
将代入双曲线方程得；
（2）
当直线的斜率存在时，不妨设直线，，
联立双曲线方程，
其中，
，
易知
，
化简得
所以或，
当时，直线过P，不符题意舍去，
故，则此时直线，过定点.
如图所示，易知，
则；
当直线的斜率不存在时，可设，
与双曲线方程联立，则，
可令，
此时，
此时重合，不符题意舍去.
综上可知.
【点睛】关键点睛：本题关键点在于第二问中由条件转化中的关系，此外三角形面积比转化为线段比也是简化计算的关键.
22．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若，求的值；
(3)求证：.
【答案】(1)在处取得极小值，无极大值
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，无极大值；
（2）由题意得，
①当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，与矛盾；
②当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
因为恒成立，所以，
记，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以，
又，
所以，
所以；
（3）证明：先证，
设，则，
所以在区间上单调递减，
所以，即，
所以，
再证，
由（2）可知，当时等号成立，
令，则，
即，
所以，，，
累加可得，
所以.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
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