黄金卷02-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）

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1、锻炼学生的心态。能够帮助同学们树立良好的心态，增加自己的自信心。
2、锻炼学生管理时间。通过模拟考试就会让同学们学会分配时间，学会取舍。
3、熟悉题型和考场。模拟考试是很接近高考的，让同学们提前感受到考场的气氛和布局。
高考的取胜除了平时必要的学习外，还要有一定的答题技巧和良好心态。此外，通过模拟考试还能增强学生们面对高考的信心，希望考生们能够重视模拟考试。
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．若曲线y=e2ax在点0,1处的切线与直线2x−y+1=0垂直，则a的值为（ ）
A．−14B．−12C．12D．1
【答案】A
【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a的值.
【详解】由题设，知(0,1)处的切线的斜率为k=−12，
又因为y'=2a⋅e2ax，
所以y'|x=0=2a=−12，解得a=−14.
故选：A.
2．甲､乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（ ）
A．36B．72C．144D．288
【答案】B
【分析】先求出第一排有2人来自甲校，1人来自乙校，根据分步乘法计数原理求出不同的站法种数. 同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数.然后根据分类加法计数原理，相加即可得出答案.
【详解】第一排有2人来自甲校，1人来自乙校：
第一步，从甲校选出2人，有C32=3种选择方式；
第二步，2人站在两边的站法种数有A22=2；
第三步，从乙校选出1人，有C31=3种选择方式；
第四步，第二排甲校剩余的1人站中间，乙校剩余的2人站在两边的站法种数有A22=2.
根据分步乘法计数原理可知，不同的站法种数有3×2×3×2=36.
同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数有36.
根据分类加法计数原理可知，不同的站法种数有36+36=72.
故选：B.
3．设1+x+(1+x)2+⋯+(1+x)7+(1+x)8=a0+a1x+⋯+a7x7+a8x8，则a2=（ ）
A．84B．56C．36D．28
【答案】A
【分析】根据给定的展开式特征，列出a2的表达式，再利用组合数性质计算作答.
【详解】依题意，a2=C22+C32+⋯+C82=C33+C32+⋯+C82=C43+C42+⋯+C82=⋯=C83+C82=C93=84.
故选：A
4．某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检验次数为ξ，当E(ξ)=10时，10名人员均为阴性的概率为（ ）
A．0.01B．0.02C．0.1D．0.2
【答案】C
【分析】依据题意写出随机变量ξ的的分布列，利用期望的公式即可求解.
【详解】设10人全部为阴性的概率为p，混有阳性的概率为1−p，
若全部为阴性，需要检测1次，若混有阳性，需要检测11次，
则随机变量ξ的分布列
Eξ=p+111−p=10 ，解得p=0.1，
故选：C.
5．某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉D10,2后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r变小B．决定系数R2变小
C．残差平方和变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
【答案】D
【分析】从图中分析得到去掉D10,2后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可．
【详解】从图中可以看出D10,2较其他点，偏离直线远，故去掉D10,2后，回归效果更好，
对于A，相关系数r越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉D10,2后，相关系数r变大，故A错误；
对于B，决定系数R2越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉D10,2后，决定系数R2变大，故B错误；
对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉D10,2后，残差平方和变小，故C错误；
对于D，若去掉D10,2后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确．
故选：D．
6．已知事件A,B满足PA=0.5，PB=0.2，则（ ）
A．若B⊆A，则PAB=0.5
B．若A与B互斥，则PA+B=0.7
C．若A与B相互独立，则PAB=0.9
D．若PB|A=0.2，则A与B不相互独立
【答案】B
【分析】根据事件的包含关系，互斥事件的概率加法，以及独立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，若B⊆A，则PAB=P(B)=0.2，所以A错误；
对于B，若A与B互斥，则PA+B=P(A)+P(B)=0.7，所以B正确；
对于C，若A与B相互独立，可得A与B相互独立，
所以PAB=P(A)⋅P(B)=(1−0.5)(1−0.2)=0.4，所以C错误；
对于D，由PB|A=0.2，可得PB|A=P(AB)P(A)=P(AB)0.5=0.2，
所以P(AB)=0.1，所以P(AB)=P(A)P(B)，所以A与B相互独立，所以D错误.
故选：B.
7．某人在n次射击中击中目标的次数为X，X∼Bn,p，其中n∈N∗,0A．若n=10,p=0.8，则PX=k取最大值时k=9
B．当p=12时，DX取得最小值
C．当0D．当12【答案】C
【分析】对于A，根据X∼B10,0.8直接写出PX=k，然后根据PX=k取最大值列式计算即可判断；对于B，根据X∼Bn,p，直接写出DX即可判断；对于CD，由题意把P(A)表示出来，然后利用单调性分析即可.
【详解】对于选项A，在10次射击中击中目标的次数X∼B10,0.8，
当X=k时对应的概率PX=k=C10k×0.8k×0.210−kk=0,1,2,⋯,10，
因为PX=k取最大值，所以PX=k≥PX=k+1PX=k≥PX=k−1，
即C10k×0.8k×0.210−k≥C10k+1×0.8k+1×0.29−kC10k×0.8k×0.210−k≥C10k−1×0.8k−1×0.211−k，
即k+1≥410−k411−k≥k，解得395≤k≤445，
因为k∈N且0≤k≤10，所以k=8，即k=8时概率P(X=8)最大．故A不正确；
对于选项B，DX=np1−p=n−p−122+14，当p=12时，DX取得最大值，故B不正确；
对于选项C、D，∵PX=k=Cnk×pk×1−pn−kk=0,1,2,⋯,n
∴PA=Cn1×p1×1−pn−1+Cn3×p3×1−pn−3+Cn5×p5×1−pn−5+⋯，
1−P(A)=Cn0×p0×1−pn+Cn2×p2×1−pn−2+Cn4×p4×1−pn−4+⋯，
∴PA=1−p+pn−1−p−pn2=1−1−2pn2，
当0当12故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查二项分布及其应用，其中求P(A)是难点，关键是能找到其与二项展开式之间的联系.
8．已知函数fx=xlnx，gx=xex，若存在t>0，使得fx1=gx2=t成立，则x1−2x2的最小值为（ ）
A．2−ln4B．2+ln4C．e−ln2D．e+ln2
【答案】A
【分析】由题设知f(x1)=f(ex2)=t，研究f(x)的单调性及最值，画出函数图象，数形结合确定y=t>0、f(x)的交点个数得x1=ex2，进而将目标式化为x1−2x2=x1−2lnx1且x1>1，构造函数研究最小值即可.
【详解】由题设x1lnx1=x2ex2=ex2lnex2=t，即f(x1)=f(ex2)=t，
由f'(x)=1+lnx，则(0,1e)上f'(x)<0，f(x)递减；(1e,+∞)上f'(x)>0，f(x)递增；
f(x)≥f(1e)=−1e，且f(1)=0，f(x)图象如下：

由图知：t∈(0,+∞)时，x1=ex2，即x2=lnx1且x1>1，所以x1−2x2=x1−2lnx1，
令ℎ(x)=x−2lnx且x∈(1,+∞)，则ℎ'(x)=1−2x=x−2x，
12时，ℎ'(x)>0，ℎ(x)递增；
所以ℎ(x)min=ℎ(2)=2−2ln2=2−ln4，即x1−2x2的最小值为2−ln4.
故选：A
【点睛】关键点睛：利用同构得到f(x1)=f(ex2)=t，导数研究f(x)的性质，结合t∈(0,+∞)得到x1=ex2为关键.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（ ）
参考公式及数据：①χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d.②当α=0.05时，xα=3.841.
A．从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为25
B．用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为964
C．根据小概率值α=0.05的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联
D．对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85
【答案】BC
【分析】根据古典概型的概率公式判断A，首先求出样本中喜欢天宫课堂的频率，再根据独立重复试验的概率公式判断B，计算出卡方，即可判断C，根据平均公式判断D.
【详解】对于A：从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率P=8080+20=45，故A错误；
对于B：样本中喜欢天宫课堂的频率80+70200=34，从全校学生中任选3人，
恰有2人不喜欢天宫课堂的概率P1=C321−342×34=964，故B正确；
对于C：因为χ2=20080×30−70×202100×100×150×50=83≈2.667<3.841，
所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联，故C正确；
对于D：抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为80、70，
又男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，所以参加测试的学生成绩的均值为80×80+70×9080+70=2543，故D错误；
故选：BC
10．随机变量ξ的分布列如表：其中xy≠0，下列说法正确的是（ ）
A．x+y=1B．Eξ=5y3
C．Dξ有最大值D．Dξ随y的增大而减小
【答案】ABC
【分析】利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合二次函数的性质判断选项的正误即可．
【详解】由题意可知x+y3+2y3=1，即x+y=1，故A正确；
Eξ=0×x+1×y3+2×2y3=5y3，故B正确；
Dξ=x0−5y32+y31−5y32+2y32−5y32 =1−y0−5y32+y31−5y32+2y32−5y32=−259y2+3y，
因为xy≠0，x+y=1，易得0而fy=−259y2+3y开口向下，对称轴为y=2750，
所以fy在0,2750上单调递增，在2750,1上单调递减，
故fy在y=2750处取得最大值，
所以Dξ随着y的增大先增大后减小，当y=2750时取得最大值，故C正确，D错误.
故选：ABC.
11．设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A＝“从甲袋中任取1球是红球”，记事件B＝“从乙袋中任取2球全是白球”，则（ ）
A．事件A与事件B相互独立B．PB=914
C．PAB=15D．PAB=1314
【答案】CD
【分析】由古典概型概率计算公式，以及条件概率公式分项求解判断即可.
【详解】现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球可知：
从甲袋中任取1球对乙袋中任取2球有影响，事件A与事件B不是相互独立关系，故A错误；
从甲袋中任取1球是红球的概率为：PA=37，从甲袋中任取1球是白球的概率为：47，
所以乙袋中任取2球全是白球的概率为：
PB=C31C22C71C42+C41C32C71C42=114+27=514，故B错误；
PAB=C31C22C71C42=114，所以PAB=PABPB=114×145=15，故C正确；
PAB=1−PAB=1−114=1314，故D正确.
故选：CD
12．已知a,b∈R,fx=ex−ax,gx=bx2+1，则（ ）
A．对于任意的实数a，存在b，使得fx与gx有互相平行的切线
B．对于给定的实数x0，存在a､b，使得gx0≥fx0成立
C．y=fx−gx在0,+∞上的最小值为0，则a+5b的最大值为2e
D．存在a､b，使得fx−gx≤e2+2对于任意x∈R恒成立
【答案】ABC
【分析】对于A，对两函数求导，再求出导函数的值域，由两值域的关系分析判断，对于B，由gx0≥fx0可得b≥ex0−ax0x02+1，从而可判断，对于C，令ℎx=fx−gx，再由ℎ12≥0可得a+5b≤2e，由题意设x0为ℎx的极小值点，然后列方程表示出a,b，从而可用x0表示a+5b，再构造函数，利用导数可证得结论，对于D，根据函数值的变化情况分析判断.
【详解】对于A，f'x=ex−a>−a，g'x=bxx2+1
当x≥0时，g'x=bxx2+1=bx2x2+1=b11+1x2∈−b,b，
当x<0时，g'x=bxx2+1=−bx2x2+1=−b11+1x2∈−b,b，
综上，g'x∈−b,b，
所以对于任意的实数a，存在b，使−a,+∞与−b,b有交集，
所以对于任意的实数a，存在b，使得fx与gx有互相平行的切线，所以A正确，
对于B，由于给定的实数x0，当a给定时，则fx0为定值，由gx0≥fx0，得
bx02+1≥ex0−ax0，b≥ex0−ax0x02+1，所以存在b使上式成立，所以B正确，
对于C，令ℎx=fx−gx=ex−ax−bx2+1，而ℎ12=e12−12a−52b=e−12a+5b，
由题意可知，当x∈0,+∞时，ℎx≥0恒成立，所以ℎ12≥0，
所以e−12a+5b≥0，即a+5b≤2e，
若ℎx在0,+∞上递增，
因为ℎx=fx−gx在0,+∞上的最小值为0，
所以ℎ0=1−b=0，得b=1，
所以ℎx=ex−ax−x2+1，则ℎ'x=ex−a−xx2+1≥0在0,+∞上恒成立，
即ex−xx2+1≥a在0,+∞上恒成立，
令tx=ex−xx2+1(x≥0)，则t'x=ex−1+x2x2+1x2+1≥0(x≥0)，
所以tx在0,+∞上单调递增，
所以tx≥t0=1，所以a≤1，
所以a+5b=a+5≤1+5<2e，
若ℎx在0,+∞上不单调，
因为ℎx=fx−gx在0,+∞上的最小值为0，
所以设x0为ℎx的极小值点，则
ℎx0=ex0−ax0−bx02+1=0ℎ'x0=ex0−a−bx0x02+1=0，解得a=ex0x02−x0+1b=ex01−x0x02+1，
所以a+5b=ex0x02−x0+1+5ex01−x0x02+1
=ex0x02−x0+1+51−x0x02+1
令φx0=ex0x02−x0+1+51−x0x02+1，则
φ'x0=ex0x02−x0+1+51−x0x02+1+ex02x0−1−5x02+1+51−x0x0x02+1
=x0ex0x0+1−5x02+1+51−x01x02+1
由φ'x0=0，得x0ex0x0+1−5x02+1+51−x01x02+1=0，
x0=0或x0+1−5x02+1+51−x01x02+1=0，
解得x0=0，或x0=−1（舍去），或x0=−12（舍去），或x0=12，
当00，当x0>12时，φ'x0<0，
所以φx0在0,12上递增，在12,+∞上递减，
所以φx0≤φ12=e1214−12+1+52×14+1=2e，
综上a+5b≤2e，所以C正确，
对于D，fx−gx=ex−ax−bx2+1，当x→+∞时，fx−gx→+∞，所以D错误，
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：此题考导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，对于选项C解题的关键是由题意设x0为ℎx的极小值点，则ℎx0=0ℎ'x0=0，求出a,b，则可表示出a+5b再构造函数，利用导数可得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某学校门口现有2辆共享电动单车，8辆共享自行车.现从中一次性随机租用3辆，则恰好有2辆共享自行车被租用的概率为 .
【答案】715
【分析】根据古典概型列式结合组合数计算求解概率即可.
【详解】恰好有2辆共享自行车被租用的概率为P=C82C21C103=28×2120=715
故答案为:715.
14．若3x−45=a0+a1x−1+⋅⋅⋅+a5x−15，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5= .
【答案】240
【分析】观察已知条件，通过求导赋值构造出式子a1+2a2+3a3+4a4+5a5计算即可.
【详解】已知3x−45=a0+a1x−1+⋅⋅⋅+a5x−15，对式子两边同时求导，
得153x−44=a1+2a2x−1+3a3x−12+⋅⋅⋅+5a5x−14，
令x=2，得15×3×2−44=a1+2a2+⋅⋅⋅+5a5=240.
故答案为：240
15．某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布N100,102，从中抽取一个同学的数学成绩X，记该同学的成绩80附参考数据：P(μ−σ【答案】2795
【分析】利用正态分布性质和条件概率公式求解即可.
【详解】由题知，
事件AB为“记该同学的成绩80因为μ−2σ=100−20=80，μ−σ=100−10=90，
所以PAB=Pμ−2σ又PA=Pμ−2σ所以PBA=PABPA≈27200×4019=2795.
故答案为：2795
16．若fx=xlnx+x2−mx+e2−x≥0，则实数m最大值为 .
【答案】3
【分析】二次求导，结合隐零点得到方程与不等式，变形后得到x0+1e2−x0−x0≥0，从而e2−x0≥x0，lnx0≤2−x0，代入m=lnx0+2x0+1−e2−x0，得到m的最大值.
【详解】fx=xlnx+x2−mx+e2−x≥0， 定义域为x∈0,+∞，
则f'x=lnx+2x+1−m−e2−x，
令ℎx=lnx+2x+1−m−e2−x，
则ℎ'x=1x+2+e2−x>0，ℎx在0，+∞上单调递增，
且x→0时，ℎx→−∞，当x→+∞时，ℎx→+∞
∴∃x0∈0，+∞,使得ℎx0=0， 即f'x0=0.
当x∈0,x0时f'x<0，当x∈x0,+∞时f'x>0，
故fx在x∈0,x0上单调递减，在x∈x0,+∞上单调递增，
所以fxmin=fx0=x0lnx0+x02−mx0+e2−x0≥0②，
由f'x0=0得lnx0+2x0+1−m−e2−x0=0①，
即m=lnx0+2x0+1−e2−x0，代入②得，x0lnx0+x02−lnx0+2x0+1−e2−x0x0+e2−x0≥0，
整理得x0+1e2−x0−x0≥0
∵x0+1>0，
∴e2−x0≥x0，
∴lnx0≤2−x0，
m=lnx0+2x0+1−e2−x0≤2−x0+2x0+1−x0=3，
故m的最大值为3.
故答案为：3
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位：cm）与父亲身高x（单位：cm）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
(2)记ei=yi−yi=yi−bxi−a,(i=1,2,⋯,n)，其中yi为观测值，yi为预测值，ei为对应xi,yi的残差.求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由.
参考数据及公式：i=15xi=880,i=15xi2=155450,i=15yi=885,i=15xiyi=156045
b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx.
【答案】(1)y=0.5x+89，x<178时，儿子比父亲高；x>178时，儿子比父亲矮，
儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.
(2)0；任意具有线性相关关系的变量i=1nei=0，证明见解析
【分析】（1）根据已知求得回归方程的系数，即可得回归方程，解不等式可得到结论；
（2）结合题中数据进行计算，可求得儿子身高的残差的和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公式即可证明.
【详解】（1）由题意得x=160+170+175+185+1905=176,y=170+174+175+180+1865=177，b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x2=156045−5×176×177155450−5×1762=156045−155760155450−154880=285570=0.5，a=y−bx=177−0.5×176=89，所以回归直线方程为y=0.5x+89，
令0.5x+89−x>0得x<178，即x<178时，儿子比父亲高；
令0.5x−89−x<0得x>178，即x>178时，儿子比父亲矮，
可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.
（2）由y=0.5x+89可得y1=0.5×160+89=169,y2=174,y3=176.5,y4=181.5,y5=184，
所以i=15yi=885，
又i=15yi=885，所以i=15e^i=i=15yi−y^i=i=15yi−i=15y^i=0，
结论：对任意具有线性相关关系的变量i=1nei=0，
证明：i=1nei=i=1nyi−yi=i=1nyi−bxi−a =i=1nyi−bi=1nxi−na=ny−nbx−n(y−bx)=0.
18．已知函数fx=ex−a,gx=lnx+a，其中a∈R．
(1)讨论方程fx=x实数解的个数；
(2)当x≥1时，不等式fx≥gx恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)−1,e−1
【分析】（1）由fx=x即方程ex−a=x有没有解的问题，转化为函数y=ex−x−a与x轴有没有交点问题，分类讨论即可得出结果.
（2）不等式fx≥gx可化为：ex−a≥lnx+a,x>−a，就−1【详解】（1）由fx=x可得，ex−a=x，
令sx=ex−x−a,s'x=ex−1，令y'=0，可得x=0，
当x∈−∞,0,s'x<0，函数sx单调递减，
当x∈0,+∞,s'x>0，函数sx单调递增，
所以函数sx在x=0时取得最小值1−a，
所以当a<1时，方程fx=x无实数解，
当a=1时，方程fx=x有一个实数解，
当a>1时，1−a<0，故sxmin<0，
而s−a=e−a>0，sa=ea−2a，
设ua=ea−2a,a>1，则u'a=ea−2>0，
故ua在1,+∞上为增函数，故ua>u(1)=e−2>0，
故sx有两个零点即方程fx=x有两个实数解.
（2）由题意可知，
不等式fx≥gx可化为，ex−a≥lnx+a,x>−a，
即当x≥1时，ex−lnx+a−a≥0恒成立，
所以−a<1，即a>−1，
令ℎx=ex−lnx+a−a,ℎ'x=ex−1x+a，
则ℎ'x在1,+∞上单调递增，而ℎ'1=e−11+a，
当ℎ1≥0即a≥−1+1e时，ℎ'x≥0,ℎx在1,+∞上单调递增，
故ℎxmin=ℎ1=e−ln(1+a)−a，
由题设可得e−ln(1+a)−a≥0a>−1e，
设va=e−ln(1+a)−a，则该函数在−1e,+∞上为减函数，
而ve−1=0，故−1e当ℎ1<0即−10，
故ℎ'x在1,+∞上有且只有一个零点x0，
当1x0时，ℎ'x>0，
故ℎx在1,x0上为减函数，在x0,+∞上为增函数，
故ℎxmin=ex0−lnx0+a−a≥0，
而ex0=1x0+a，故x0=−lnx0+a，故ex0+x0−a≥0
因为x0>1，故ex0+x0>1+e>a，故−1综上所述，实数a的取值范围为−1,e−1．
【点睛】关键点睛：本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，属于中档题.
19．已知甲箱、乙箱均有6件产品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品．
(1)现从甲箱中随机抽取两件产品放入乙箱，再从乙箱中随机抽取一件产品，求从乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率；
(2)现需要通过检测将甲箱中的次品找出来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到能将次品全部找出时检测结束，已知每检测一件产品需要费用15元，设X表示能找出甲箱中的所有次品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列与数学期望．
【答案】(1)1124
(2)分布列见解析，E(X)=64
【分析】（1）由全概率公式计算从乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率；
（2）计算X的所有可能取值的概率，进而列出分布列，计算期望.
【详解】（1）设A=“从甲箱中抽取的两件产品均为正品”，B=“从甲箱中抽取的两件产品为一件正品，一件次品”，C=“从甲箱中抽取的两件产品均为次品”，D=“从乙箱中抽取的一件产品为次品”，由全概率公式，
得P(D)=P(A)×P(D|A)+P(B)×P(D|B)+P(C)×P(D|C)
=C42C62×38+C41C21C62×48+C22C62×58 =1124．
（2）X的所有可能取值为30，45，60，75．
则P(X=30)=A22A62=115；
P(X=45)=C21C41A22A63=215；
P(X=60)=A44A64+C21C42A33A64=415；
P(X=75)=C21C43A44A64=815．
所以X的分布列为
X的数学期望E(X)=30×115+45×215+60×415+75×815=64（元）．
20．已知函数fx=ax2ex−1−lnx−lna−1有三个零点.
(1)求a的取值范围；
(2)设函数fx的三个零点由小到大依次是x1,x2,x3.证明：aex1x3>e.
【答案】(1)a>1
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据x≥2,0（2）把原函数有三个零点转化为lnexex=lnaexaex有三个根，构造tx=lnxx，求导研究函数单调性，结合根的分布得aex1=ex1,aex3=ex3，要证aex1x3>e，等价于证x1x3>2−k，
等价于x1+x3>1+k，构造函数从而证明qx3>q1+k−x1，即证e1−x1−1+lnx1<0,x1∈0,1，构造函数，利用导数单调性即可证明.
【详解】（1）因为fx定义域为0,+∞，又f'x=ae1−x2x2−x3−1x(a>0)，
（ⅰ）当x≥2,f'x<0,fx单调递减；
（ⅱ）当x∈0,2，记gx=2x2−x3ex−1，则g'x=xx−1x−4ex−1，
当x∈0,1,g'x>0；当x∈1,2,g'x<0，
所以gx在0,1单调递增，在1,2上单调递减，gx≤g1=1，
又g0=0,g2=0，所以0①当a∈0,1,f'x≤0，则fx单调递减，至多一个零点，与题设矛盾；
②当a>1,f'x=agx−1ax，由（ⅱ）知，f'x有两个零点，
记f'x两零点为m,n，且m<1则fx在0,m上单调递减，在m,n上单调递增，在n,+∞上单调递减，
因为fn>f1>0，令px=xe1−x,(00,(0所以0<1a<1,f1a=1ae1−1a−1<11e1−11−1=0，
所以fn>0,fm<0，且x趋近0，fx趋近于正无穷大，x趋近正无穷大，fx趋近负无穷大，
所以函数fx有三零点，
综上所述，a>1；
（2）fx=0等价于aexex=lnaexx，即lnexex=lnaexaex，
令tx=lnxx，则t'x=1−lnxx2，
所以tx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，
由（1）可得x1<1ae,ex3>e，
所以taex1=tex1,taex3=tex3，所以aex1=ex1,aex3=ex3，
则x1,x3满足x1−lnx1=lnea=kx3−lnx3=lnea=k，k>1，
要证aex1x3>e，等价于证x1x3>2−k，
易知x1−lnx1=kx3−lnx3=k，令qx=x−lnx，则q'x=x−1x，
令q'x<0得00得x>1，
所以函数qx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
下面证明x1+x3>1+k，由x1<1q1+k−x1，
即证k>1+k−x1−ln1+k−x1，
即证0>1−x1−ln1+x1−lnx1−x1=1−x1−ln1−lnx1，
即证e1−x1−1+lnx1<0,x1∈0,1，
令cx=e1−x−1+lnx,x∈0,1，c'x=−xe1−x+1x，
令y=−xe1−x+1，则y'=x−1e1−x<0,x∈0,1，所以y=−xe1−x+1>0，
所以c'x=−xe1−x+1x>0，则cx所以x1+x3>1+k，所以x1x3−1≥lnx1x3=x1+x3−2k>1+k−2k=1−k，
所以x1x3>2−k，所以原命题得证.
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
21．5G网络是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.已知某精密设备制造企业加工5G零件，根据长期检测结果，得知该5G零件设备生产线的产品质量指标值服从正态分布Nμ,σ2.现从该企业生产的正品中随机抽取100件､测得产品质量指标值的样本数据统计如图.根据大量的产品检测数据，质量指标值样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值.已知质量指标值不低于70的样品数为25件.
附：P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
(1)求x（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若质量指标值在[54,84]内的产品称为优等品，求该企业生产的产品为优等品的概率；
(3)已知该企业的5G生产线的质量控制系统由n(n∈N,n≥3)个控制单元组成，每个控制单元正常工作的概率为p(0【答案】(1)64
(2)0.819
(3)质量控制系统有奇数个控制单元，增加1个控制单元设备正常工作的概率变小；质量控制系统有偶数个控制单元，增加1个控制单元设备正常工作的概率变大.答案见解析
【分析】（1）根据题意求出a，再由频率分布直方图中频率之和为1求b，计算均值即可；
（2）由产品质量指标值X∼N64,102，根据正态分布曲线的对称性求解即可；
（3）分原控制单元的个数为偶数、奇数两类情况分别讨论，分别计算增加一个控制单元后正常工作概率，作差比较即可得解.
【详解】（1）因为质量指标值不低于70的样品数为25件，所以
a+0.005×10=25100
所以a=0.020，
因为0.010+0.020+b+0.020+0.005×10=1，
所以b=0.045，.
由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取100件的平均数为：
x=0.010×10×40+502+0.020×10×50+602+0.045×10×60+702+0.020×10×
70+802+0.005×10×80+902=64.
（2）由题意知μ=64，
样本方差s2=100，故σ=10，
所以产品质量指标值X∼N64,102，
优等品的概率P54≤X≤84=P54≤X≤64+P64≤X≤84
=Pμ−σ≤X≤μ+Pμ≤X≤μ+2σ=12×0.683+12×0.954≈0.819;
（3）假设质量控制系统有奇数个控制单元，
设n=2k−1k∈N+,k≥2，
记该生产线正常运行的概率为pk，若再增加1个控制单元，
则第一类：原系统中至少有k+1个控制单元正常工作，
其正常运行概率为p1=pk−C2k−1kpk(1−p)k−1；
第二类：原系统中恰好有k个控制单元正常工作，新增1个控制单元正常工作，其正常运行概率为
p2=C2k−1kpk(1−p)k−1p=C2k−1kpk+1(1−p)k−1；
所以增加一个控制单元正常运行的概率为pk+1=pk−C2k−1kpk(1−p)k−1+C2k−1kpk+1(1−p)k−1=pk+C2k−1kpk(1−p)k−1p−1,
即pk+1−pk=−C2k−1kpk(1−p)k，
因为0即增加1个控制单元设备正常工作的概率变小；·
假设质量控制系统有偶数个控制单元，设n=2kk∈N+,k≥2，记该生产线正常运行的概率为pk，若增加1个元件，
则第一类：原系统中至少有k+1个元件正常工作，其正常运行概率为p1=pk；
第二类：原系统中恰好有k个控制单元正常工作，新增1个控制单元正常工作，
其正常运行概率为p2=C2kkpk(1−p)kp=C2kkpk+1(1−p)k；
所以增加一个控制单元正常运行的概率为pk+1=pk+C2kkpk+1(1−p)k，
即pk+1−pk=C2kkpk+1(1−p)k,
因为00，
即增加1个控制单元设备正常工作的概率变大.
22．已知函数fx=lnx+12(a−x)2，其中a∈R．
(1)当a=1时，求函数fx在1,f1处的切线方程；
(2)讨论函数fx的单调性；
(3)若fx存在两个极值点x1,x2x1【答案】(1)x−y−1=0
(2)答案见解析
(3)322,52
【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；
（2）求导后，分类讨论a，根据导数的符号可得结果；
（3）根据fx存在两个极值点可得a>2，且x1⋅x2=1,x1+x2=a，根据单调性可得fx1>fx2，将fx2−fx1化为lnx1x2−x12x2+x22x1，利用比值代换可求出结果.
【详解】（1）当a=1时，fx=lnx+12(1−x)2，定义域为(0,+∞)，
所以f'x=1x−1−x，
所以k=f'1=1，又f1=0，
所以函数fx在1,f1处的切线方程为y=x−1，即x−y−1=0.
（2）fx的定义域是0,+∞，
fx=lnx+12x2−ax+12a2，f'x=1x+x−a=x2−ax+1x，
令gx=x2−ax+1，则Δ=a2−4．
①当a≤0或Δ≤0，即a≤2时，f'x≥0恒成立，所以fx在0,+∞上单调递增．
②当a>0Δ>0，即a>2时，由f'(x)>0，得0a+a2−42；
由f'x<0，得a−a2−42所以fx在0,a−a2−42和a+a2−42,+∞上单调递增，在a−a2−42,a+a2−42上单调递减．
综上所述，当a≤2时，fx在0,+∞上单调递增；
当a>2时，fx在0,a−a2−42和a+a2−42,+∞上单调递增，在a−a2−42,a+a2−42上单调递减
（3）由（2）当a≤2时，fx在0,+∞上单调递增，此时函数f(x)无极值；
当a>2时，fx有两个极值点，即方程x2−ax+1=0有两个正根x1,x2，
所以x1⋅x2=1,x1+x2=a，则fx在x1,x2上是减函数．所以fx1>fx2，
因为fx=lnx+12x2−ax+12a2，
所以fx2−fx1=fx1−fx2
=lnx1+12x12−ax1+12a2−lnx2+12x22−ax2+12a2
=lnx1x2+12x12−x22−ax1−x2
=lnx1x2+12x12−x22−x1+x2x1−x2
=lnx1x2−12x12−x22
=lnx1x2−x12−x222x1x2
=lnx1x2−x12x2+x22x1，
令t=x1x2(0ℎ't=1t−12−12t2=−t2+2t−12t2=−(t−1)22t2<0，
所以ℎt在0,1上单调递减，
又ℎ12=34−ln2,ℎ14=158−2ln2，且ℎ(12)=34−ln2<ℎ(t)<158−2ln2=ℎ(14)，
所以14由a2=x1+x22x1x2=t+1t+2,t∈14,12，
又gt=t+1t+2在14,12上单调递减，
所以922，所以实数a的取值范围为322,52．
【点睛】方法点睛：涉及到双变量的问题一般可以利用比值代换处理，本题中，将fx2−fx1化为lnx1x2−x12x2+x22x1后，设t=x1x2(0ξ
1
11
P
p
1−p
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20
女生
70
30
ξ
0
1
2
P
x
y3
2y3
父亲身高x
160
170
175
185
190
儿子身高y
170
174
175
180
186
X
30
45
60
75
P
115
215
415
815