第6章 图形的相似 苏科版数学九年级下册单元测试卷(有答案)

这是一份第6章 图形的相似 苏科版数学九年级下册单元测试卷(有答案)，共18页。

2022-2023学年苏科新版九年级下册数学《第6章 图形的相似》单元测试卷一．选择题（共10小题，满分30分）1．下列说法正确的是（　　）A．A，B两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为1：5000，则A，B两地实际距离为35m B．若AB＝1cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞CB，则 C．任意两个菱形都相似 D．有一个角相等的两个等腰三角形相似2．两个相似三角形对应边之比为2：3，那么它们的对应中线之比为（　　）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：43．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（　　）A．（﹣8，4） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）4．如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，下列选项错误的是（　　）A． B． C．BC2＝AB•AC D．5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点．且DE∥BC．若，CE＝9cm，则AE的长是（　　）A．13cm B．18cm C．16cm D．15cm6．如图，点D在△ABC的边BC上，添加下列条件，不能判断△ABC∽△ABD的是（　　）A．∠C＝∠BAD B．∠BAC＝∠BDA C． D．7．如图，在△ABC中，DE∥AC，若BD＝15cm，AC＝5cm，AD＝10cm，则DE＝（　　）A．2cm B．3cm C．6cm D．8cm8．我们可用“斜尺”测量管道的内径（如图），若玻璃管的内径DE正对“30”刻度线，已知AB长为5mm，DE∥AB，则玻璃管内径DE的长度等于（　　）A．2.5mm B．3mm C．3.5mm D．4mm9．在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（　　）A． B． C． D．10．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP于B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，BM的值为（　　）A．3 B． C．3或4 D．3或二．填空题（共10小题，满分30分）11．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是　 　．12．如图，已知AD∥EB∥FC，AB＝4，EF＝2，则BC⋅DE＝　 　．13．如果线段a，b的长分别是3和12，线段c是线段a，b的比例中项，那么线段c的长 　 　．14．Rt△ABC两直角边之比为3：4，若△DEF与△ABC相似，△DEF最长边为20，则△DEF面积为 　 　．15．已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是　 　．16．如图，正方形ABCD的面积为8，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若AB：A'B'＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 　 　．17．如图，小明用2m长的标杆测量一棵树的高度．根据图示条件，树高为 　 　m．18．已知点P是线段AB上的黄金分割点，且AB＝2，AP＞BP，那么AP＝　 　．19．如图Rt△ABC的两条直角边AB＝4cm，AC＝3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/s，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/s．动点E到达点C时运动终止．连接DE、CD、AE．（1）当动点运动 　 　秒时，△BDE与△ABC相似；（2）当动点运动 　 　秒时，CD⊥DE．20．如图，已知点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB＝2，BF⊥BP于B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的值为 　 　．三．解答题（共7小题，满分60分）21．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AB＝5cm，AD＝2cm，AC＝4cm，求EC的长．22．在平面直角坐标系内，△ABC的位置如图所示．（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，作出△A1B1C1．（2）以原点O为位似中心，在第四象限内作出△ABC的位似图形△A2B2C2，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1．23．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB（AP＞BP）上一点，若满足，则称点P是AB的一个黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走多少米时恰好站在舞台的黄金分割点上？（结果保留根号）24．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，ED∥CA．若BE＝5，EC＝6，AC＝10，求AD的长．25．如图，点E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G．（1）求证：△ABE∽△GDA；（2）若CE＝BC，BD＝25，求DF的长度．26．（1）若，求的值；（2）若，且2a﹣b+3c＝21，求a：b：c．27．如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝14cm，BC＝CD＝6cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），0＜t＜10．（1）用含t的代数式表示AP；（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当△QMB为直角三角形时，直接写出t的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：A：5000×7÷100＝350（m），故A是错误的；B：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞CB，则AC2＝AB•BC，AC＝×AB＝，故B是正确的；C：当两个菱形的角度不等时，不相似，故C是错误的；D：若两个等腰三角形一个是顶角，一个是底角，则不是相似的，故D是错误的．故选：B．2．解：因为两个相似三角形的相似比与对应中线的比相等，所以它们对应中线之比为2：3．故选：A．3．解：∵△ABC的一个顶点A的坐标是（﹣4，2），以原点O为位似中心相似比为1：2将△ABC缩小得到它的位似图形△A′B′C′，∴若A′与A在原点同侧，则将A点的横纵坐标均乘以，得到点A′的坐标是：（﹣×4，×2），即（﹣2，1），若A′与A在原点异侧，则将A点的横纵坐标均乘以﹣，得到点A′的坐标是：[﹣×（﹣4），﹣×2]，即（2，﹣1），综上所述：点A的对应点A′的坐标是（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选：D．4．解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，∴＝＝≈0.618，∴BC2＝AB•AC，AC＝BC，＝，∴选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意，故选：B．5．解：∵DE∥BC，∴，∵，CE＝9cm，∴，故选：D．6．解：由图得：∠B＝∠B∴当∠C＝∠BAD或∠BAC＝∠ADB或＝即AB2＝BD•BC时，△ABC与△DBA相似；C选项中∠B不是成比例的两边的夹角．故选：C．7．解：∵BD＝15cm，DA＝10cm，AC＝5cm，∴AB＝BD+AD＝25cm，∵DE∥AC，∴＝，∴＝，∴DE＝3（cm）．故选：B．8．解：根据题意得：CD＝30mm，AC＝50mm，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴，即，解得：DE＝3mm．故选：B．9．解：当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∴△BAD∽△CBD．根据作图痕迹可知，A选项中，BD是∠ABC的平分线，不与AC垂直，不符合题意；B选项中，BD是AC边上的中线，不与AC垂直，不符合题意；C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；D选项中，AB＝AD，BD不与AC垂直，不符合题意．故选：C．10．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，又∵∠PBF＝90°，∴∠ABP＝∠CBF＝90°﹣∠CBP；若以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则：①如图1中，，即＝，解得BM＝；②如图2中，，即＝，解得BM＝3．综上所述，满足条件的BM的值为3或．故选：D．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：①所有的等腰三角形都相似，错误，对应边不一定成比例，对应角不一定相等；②所有的正三角形都相似，正确；③所有的正方形都相似，正确；④所有的矩形都相似，错误，对应边不一定成比例；⑤所有的圆都相似，正确．故答案为：②③⑤．12．解：∵AD∥EB∥FC，∴，∵AB＝4，EF＝2，∴BC•DE＝AB•EF＝4×2＝8．故答案为：8．13．解：∵线段c是线段a，b的比例中项，∴c2＝ab＝3×12＝36，解得c＝±6，∵线段的长是正数，∴c＝6，故答案为：6．14．解：∵Rt△ABC的两直角边之比为3：4，△DEF与△ABC相似，∴△DEF是直角三角形，且两直角边之比为3：4，设一条直角边为3x，则另一条直角边为4x，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝202，解得：x1＝4，x2＝﹣4（舍去），∴△DEF的一条直角边为12，则另一条直角边为16，∴S△DEF＝×12×16＝96．故答案为：96．15．解：把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）．故答案为：（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）．16．解：如图，连接B′D′，∵正方形ABCD的面积为8，∴正方形ABCD的边长为2．根据题意知，正方形ABCD∽正方形A'B'C'D'，且相似比为：AB：A'B'＝2：1，∴四边形A'B'C'D'的边长为．∴B′D′＝2．∴四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为2π．故答案为：2π．17．解：这棵树高是x米，根据题意得，2：6＝x：（6+15），解得x＝7．答：树高为7m，故答案是：7．18．解：∵点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝2cm，AP＞BP，∴AP＝×2＝﹣1．故答案为：﹣1．19．解：（1）由题意得AD＝tcm，BE＝2tcm，则BD＝AB﹣AD＝（4﹣t）cm，在Rt△ABC中，由勾股定理得，当△BDE∽△BAC时，∴，即，解得；当△BDE∽△BCA时，∴，即，解得；综上所述，当或时，△BDE与△ABC相似，故答案为：或；（2）如图所示，过点E作EF⊥AB于F，则EF∥AC，∴△BEF∽△BCA，∴，即，∴BF＝tcm，EF＝tcm，∴∵CD⊥DE，∴∠CDE＝90°，∴∠ACD+∠ADC＝90°＝∠ADC+∠FDE，∴∠ACD＝∠FDE，又∵∠CAD＝∠DFE＝90°，∴△ACD∽△FDE，∴，即，解得，故答案为：．20．解：∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝5；又∵∠PBF＝90°，∴∠ABP＝∠CBF＝90°﹣∠CBP；若以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则：①如图1中，＝，即＝，解得BM＝；②如图2中，＝，即＝，解得BM＝2．综上所述，满足条件的BM的值为2或．故答案为：2或．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得：AE＝1.6，∴EC＝AC﹣AE＝4﹣1.6＝2.4（cm）．22．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作．23．解：由题意知AB＝20米，，∴米，∴米，答：主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上．24．解：∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAE＝∠EAC．∵ED∥CA，∴∠DEA＝∠EAC．∴∠DAE＝∠DEA．∴ED＝AD．∵ED∥CA，∴△BED∽△BCA．∴，∵BE＝5，EC＝6，AC＝10，∴，∴ED＝．∴AD＝．25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△GDA∽△GCE，△GCE∽△ABE，∴△ABE∽△GDA；（2）解：∵，∴设CE＝a，则BC＝2CE＝2a，BE＝BC+CE＝3a，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2a，AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴，∵AD＝2a，BE＝3a，BD＝25，∴，解得：DF＝10．26．解：（1）设，∴x＝3k，y＝5k，z＝7k，∴＝5；（2）设＝k，则a＝3k﹣2，b＝4k，c＝6k﹣5，所以，2（3k﹣2）﹣4k+3（6k﹣5）＝21，解得k＝2，所以a＝6﹣2＝4，b＝8，c＝7，所以a：b：c＝4：8：7．27．解：（1）如图（1）作DH⊥AB于H，则四边形DHBC是正方形，∴CD＝BH＝DH＝BC＝6，∴AH＝AB﹣BH＝14﹣6＝8，AD＝＝＝10，由题意，AP＝AD﹣DP＝10﹣t；（2）①当＝时，得＝，解得t＝；∴当t＝时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似；②当＝时，得＝，解得t＝，当t＝时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似，综上t＝或t＝；（3）①当∠QMB＝90°时，△QMB即为直角三角形，如图（2），过P作PN⊥AB于N，∴∠PNQ＝∠BHD，∵当∠QMB＝90°时，∠PQN+∠DBH＝90°，∵∠PQN+∠QPN＝90°，∴∠QPN＝∠DBH，在△PNQ和△BHD中，，∴△PNQ∽△BHD，∴＝＝1，又由△ANP∽△AHD，∴＝＝＝，＝＝＝，∴AN＝AP＝（10﹣t），PN＝AP＝（10﹣t）＝6﹣t，∴QN＝AN﹣AQ＝（10﹣2t）﹣t＝8﹣t，∴＝1，解得t＝1，经检验，t＝1是分式方程的解，∴当t＝1时，∠QMB＝90°，即△QMB为直角三角形；②当∠MQB＝90°时，△QMB即为直角三角形，如图（3）所示，∠A＝∠A，∠MQB＝∠AHD＝90°，则△APQ∽△ADH，∴＝＝＝，∴＝，解得t＝，经检验，t＝是分式方程的解，∴当t＝时，∠MQB＝90°，即△QMB为直角三角形，综上所述，当t＝1或t＝时，△QMB为直角三角形．