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第6章 图形的相似 苏科版数学九年级下册综合素质评价试卷(有答案)
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第6章综合素质评价一、选择题(每题3分，共24分)1．若2a＝3b，则a：b的值为( )A．3：5 B．2：5 C．5：3 D．3：22．【2023·宿迁青华中学调研试题】下列各组线段的长度成比例的是( )A．6 cm，2 cm，1 cm，4 cm B．4 cm，5 cm，6 cm，7 cmC．3 cm，4 cm，5 cm，6 cm D．6 cm，3 cm，8 cm，4 cm3．【母题：教材P54练习T1】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为( )A．2 B．3 C．4 D．eq \f(10,3)4．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB：OB′＝4：3，则△ABC与△A′B′C′的面积比为( )A．2：3 B．2：eq \r(3) C．4：3 D．16：95．【2023·南充】如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小菲的眼睛离地面的高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度为( )A．6.4 m B．8 m C．9.6 m D．12.5 m6．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，位似比为eq \f(1,3)，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为( )A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)7．【2022·巴中】如图，在平面直角坐标系中，点C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过点C作CD∥OB交AB于点D.C，D两点纵坐标分别为1，3，则点B的纵坐标为( )A．4 B．5 C．6 D．78．【2023·无锡锡山高级中学月考】如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D.若BD＝1，AD＝4，则CD的长为( )A．eq \r(3) B．2 C．eq \r(5) D．2.4二、填空题(每题3分，共30分)9．【2023·宿迁九年级统考期末】如图，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件，你添加的条件是____________(只写一种情况即可)．10．【母题：教材P42习题T1】在比例尺为1：1 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是24 cm，则甲、乙两地的实际距离为________km.11．【2023·南京外国语学校模拟】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2BD，则eq \f(S△ADE,S△ABC)＝________.12．【2023·德州一模】如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA＝AD，则△ABC与△DEF的周长比是________．13．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形(顶点都在正方形的顶点上)，其中最小的面积是________．14．【母题：教材P47习题T1】某品牌新能源汽车为了打造更加精美的外观，特意将汽车倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置(如图)，若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为________米(黄金比取0.618，结果精确到0.01米)．15.《九章算术》中有一测井深的问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四尺，问井深几何？今译为：如图所示，有一口水井，井口直径为5尺，现竖立一根5尺长的木杆在井口，视线DC交井口AB于点E，BE的长为4尺，则水面距井口距离为________尺．16.如图，在△ABC中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2 cm/s的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，则经过________s，△PBQ与△ABC相似． 17．【2023·杭州二模】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点F.点D，E分别在AB，AC上，连接DE交AF于点G.若∠AED＝∠B，AG：GF＝2：1，则DE：BC＝________.18．【2023·连云港】如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数 y＝eq \f(k,x)(x<0)的图像上，顶点B，C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D.若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝eq \f(2,3)，则 k＝________．三、解答题(19～25题每题8分，26题10分，共66分)19．【母题：教材P51练习T2】如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．20．【母题：教材P80习题T2】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC的各边放大为原来的2倍得到△A′B′C′.(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；(2)计算△A′B′C′的面积．21．【2023·南京师范大学附属中学月考】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且eq \f(AD,CD)＝eq \f(CD,BD).(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB的大小．22．如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD沿直线AO折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)求证：eq \f(OC,PD)＝eq \f(OP,AP)；(2)若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．23.党的二十大报告提出要“全面推进乡村振兴”，这是对党的十九大报告所提出的“实施乡村振兴战略”的进一步发展，彰显出新时代新征程在工农城乡关系布局上的深远谋划，为不断推进乡村振兴、加快农村现代化进程指明了方向．某市为了加快城乡发展，保障市民出行方便，在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，使得DE∥BC.经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．24．【2023·绍兴】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作 AE⊥CD于点E.(1)若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；(2)若OB＝2，BD＝1，求CE的长．25．【2022·镇江】如图，一次函数y＝2x＋b与反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图像交于点A(1，4)，与y轴交于点B.(1)k＝________，b＝________；(2)连接并延长AO，与反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图像交于点C，点D在y轴上，若以点O，C，D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．26.(1)如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G，求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图②，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH，求证： ∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图③，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上， AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长． 答案一、1．D 2．D 3．D4．D 【点拨】∵△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的三角形，∴△ABC∽△A′B′C′，BC∥B′C′.∴△OBC∽△OB′C′.∴eq \f(OB,OB′)＝eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(4,3).∴△ABC与△A′B′C′的相似比为4：3.∴△ABC与△A′B′C′的面积比为16：9.5．B 【点拨】如图，易知△ABC∽△EDC，∴eq \f(AB,DE)＝eq \f(BC,CD)，∴eq \f(1.6,DE)＝eq \f(2,10)，解得DE＝8 m.6．A 【点拨】由题意可知△OCD和△OAB是相似图形，并且相似比为eq \f(1,3)，点A和点C是对应顶点．因为点A的横坐标为6，所以点C的横坐标为2，又因为点A的纵坐标为3，所以点C的纵坐标为1，故点C的坐标为(2，1)．7．C 【点拨】根据CD∥OB得出△ACD∽△AOB.进而得到eq \f(AC,AO)＝eq \f(CD,OB)，根据AC：OC＝1：2，得出eq \f(AC,AO)＝eq \f(1,3)，根据C，D两点纵坐标分别为1，3，得出CD＝2.进而得到OB＝6，即可得出答案．8．D 【点拨】如图，过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝∠BEC＝90°.∵∠BAC＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝CE.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠BEC＝90°.∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE，∴eq \f(AB,BC)＝eq \f(BD,BE).∵BD＝1，AD＝4，∴AB＝eq \r(AD2＋BD2)＝eq \r(17).∴eq \f(AB,BD)＝eq \f(BC,BE)＝eq \r(17).设BE＝x，则BC＝eq \r(17)x，∴CE＝eq \r(BC2－BE2)＝4x，∴AE＝4x.∵AE＋BE＝AB，∴4x＋x＝eq \r(17)，解得x＝eq \f(\r(17),5).∴BC＝eq \r(17)x＝eq \f(17,5).∴CD＝BC－BD＝2.4.二、9．∠D＝∠B(答案不唯一)10．240 11．eq \f(4,9) 12．1：213．eq \f(1,2) 【点拨】△ABC的边长分别为eq \r(5)，5，eq \r(10)，作一个边长为1，eq \r(5)，eq \r(2)的三角形即可．如图，△CFE即为所求，面积为eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2).14．4.14 【点拨】设该车车身总长为x米，根据题意得汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x米，∴x－0.618x≈1.58，解得x≈4.14，即该车车身总长约为4.14米．15．eq \f(5,4) 【点拨】∵AB＝5尺，BE＝4尺，∴AE＝1尺．∵AC∥BD，∴△ACE∽△BDE.∴eq \f(AC,BD)＝eq \f(AE,BE).∴eq \f(AC,5)＝eq \f(1,4)，解得AC＝eq \f(5,4)尺．16．2或5 【点拨】设P，Q运动时间为t s，根据题意，AP＝t cm，BQ＝2t cm，则BP＝(10－t)cm.当△PBQ∽△ABC时，则eq \f(BP,AB)＝eq \f(BQ,BC)，即eq \f(10－t,10)＝eq \f(2t,20)，解得t＝5.当△QBP∽△ABC时，则eq \f(BP,BC)＝eq \f(BQ,AB)，即eq \f(10－t,20)＝eq \f(2t,10)，解得t＝2.综上，当经过2或5 s时，△PBQ与△ABC相似．17．2：3 【点拨】∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB.∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(AE,AB).∵AF是∠BAC的平分线，∴∠BAF＝∠CAF.∵∠AED＝∠B，∴△AGE∽△AFB，∴eq \f(AG,AF)＝eq \f(AE,AB)，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(AG,AF).∵AG：GF＝2：1，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(AG,AG＋GF)＝eq \f(2,2＋1)＝eq \f(2,3)，即DE:BC＝2：3.18．－eq \f(8,3) 【点拨】如图，作AE⊥x轴于点E.∵矩形OABC的面积是6，∴△AOC的面积是3，∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝eq \f(2,3)，∴eq \f(OA,AC)＝eq \f(2,3).∵对角线AC∥x轴，∴∠AOE＝∠OAC.∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC， ∴eq \f(S△OEA,S△AOC)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OA,AC)))eq \s\up12(2)，∴eq \f(S△OEA,3)＝eq \f(4,9).∵S△OEA＝eq \f(1,2)|k|，k<0，∴k＝－eq \f(8,3).故答案为－eq \f(8,3).三、19．【解】∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴∠H＝∠D＝95°.∴∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴eq \f(BC,FG)＝eq \f(AB,EF)，即eq \f(x,7)＝eq \f(12,6)，解得x＝14.20．【解】(1)如图．△A′B′C′为画出的符合要求的图形．(2)S△A′B′C′＝4×4－eq \f(1,2)×2×2－eq \f(1,2)×2×4－eq \f(1,2)×2×4＝6.21．(1)【证明】∵CD是边AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°.∵eq \f(AD,CD)＝eq \f(CD,BD)，∴△ACD∽△CBD.(2)【解】∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD.在△ACD中，∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.22．(1)【证明】∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD＋∠OPC＝90°.又∠POC＋∠OPC＝180°－∠C＝90°，∴∠APD＝∠POC.又∠D＝∠C＝90°，∴△OCP∽△PDA，∴eq \f(OC,PD)＝eq \f(OP,AP).(2)【解】由(1)易得eq \f(OP,PA)＝eq \f(PC,AD).∵OP与PA的比为1：2，∴PC＝eq \f(1,2)AD＝4.设AB＝x，易知DC＝x，AP＝x，DP＝x－4，在Rt△APD中，AP2＝AD2＋PD2，即x2＝82＋(x－4)2，解得x＝10，即AB＝10.23．【解】如图，设AF与DE的延长线相交于点G，则AG⊥DG，FG＝60米，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴eq \f(BC,DE)＝eq \f(AF,AG)，即eq \f(120,210)＝eq \f(AF,AF＋60)，解得AF＝80米．答：桥AF的长度为80米．24．【解】(1)∵AE⊥CD于点E，∴∠AEC＝90°.∴∠ACD＝∠E＋∠EAC＝90°＋25°＝115°.(2)∵CD是⊙O的切线，∴半径OC⊥DE.∴∠OCD＝90°.∵OB＝2，BD＝1，∴OD＝OB＋BD＝3，OA＝OC＝OB＝2.∴CD＝eq \r(OD2－OC2)＝eq \r(5).∵∠OCD＝∠AEC＝90°，∴OC∥AE.∴eq \f(CD,CE)＝eq \f(OD,OA).∴eq \f(\r(5),CE)＝eq \f(3,2).∴CE＝eq \f(2\r(5),3).25．【解】(1)4；2(2)易知点A与点C关于原点对称，∴点C的坐标是(－1，－4)．当x＝0时，y＝2x＋2＝2，∴点B(0，2)，∴OB＝2.易知AO＝CO＝eq \r(12＋42)＝eq \r(17).当点D落在y轴的正半轴上时，∠COD>∠ABO，∴△COD与△ABO不可能相似．当点D落在y轴的负半轴上时，若△COD∽△AOB，则eq \f(CO,AO)＝eq \f(DO,BO).∵CO＝AO，∴BO＝DO＝2，∴D(0，－2)．若△COD∽△BOA，则eq \f(OD,OA)＝eq \f(OC,OB).∵OA＝CO＝eq \r(17)，BO＝2，∴DO＝eq \f(17,2)，∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(17,2))).综上所述，点D的坐标为(0，－2)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(17,2))).26．(1)【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°.∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)【证明】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.又∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)【解】如图，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG.∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG.∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.
第6章综合素质评价一、选择题(每题3分，共24分)1．若2a＝3b，则a：b的值为( )A．3：5 B．2：5 C．5：3 D．3：22．【2023·宿迁青华中学调研试题】下列各组线段的长度成比例的是( )A．6 cm，2 cm，1 cm，4 cm B．4 cm，5 cm，6 cm，7 cmC．3 cm，4 cm，5 cm，6 cm D．6 cm，3 cm，8 cm，4 cm3．【母题：教材P54练习T1】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为( )A．2 B．3 C．4 D．eq \f(10,3)4．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB：OB′＝4：3，则△ABC与△A′B′C′的面积比为( )A．2：3 B．2：eq \r(3) C．4：3 D．16：95．【2023·南充】如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小菲的眼睛离地面的高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度为( )A．6.4 m B．8 m C．9.6 m D．12.5 m6．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，位似比为eq \f(1,3)，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为( )A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)7．【2022·巴中】如图，在平面直角坐标系中，点C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过点C作CD∥OB交AB于点D.C，D两点纵坐标分别为1，3，则点B的纵坐标为( )A．4 B．5 C．6 D．78．【2023·无锡锡山高级中学月考】如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D.若BD＝1，AD＝4，则CD的长为( )A．eq \r(3) B．2 C．eq \r(5) D．2.4二、填空题(每题3分，共30分)9．【2023·宿迁九年级统考期末】如图，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件，你添加的条件是____________(只写一种情况即可)．10．【母题：教材P42习题T1】在比例尺为1：1 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是24 cm，则甲、乙两地的实际距离为________km.11．【2023·南京外国语学校模拟】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2BD，则eq \f(S△ADE,S△ABC)＝________.12．【2023·德州一模】如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA＝AD，则△ABC与△DEF的周长比是________．13．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形(顶点都在正方形的顶点上)，其中最小的面积是________．14．【母题：教材P47习题T1】某品牌新能源汽车为了打造更加精美的外观，特意将汽车倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置(如图)，若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为________米(黄金比取0.618，结果精确到0.01米)．15.《九章算术》中有一测井深的问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四尺，问井深几何？今译为：如图所示，有一口水井，井口直径为5尺，现竖立一根5尺长的木杆在井口，视线DC交井口AB于点E，BE的长为4尺，则水面距井口距离为________尺．16.如图，在△ABC中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2 cm/s的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，则经过________s，△PBQ与△ABC相似． 17．【2023·杭州二模】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点F.点D，E分别在AB，AC上，连接DE交AF于点G.若∠AED＝∠B，AG：GF＝2：1，则DE：BC＝________.18．【2023·连云港】如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数 y＝eq \f(k,x)(x<0)的图像上，顶点B，C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D.若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝eq \f(2,3)，则 k＝________．三、解答题(19～25题每题8分，26题10分，共66分)19．【母题：教材P51练习T2】如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．20．【母题：教材P80习题T2】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC的各边放大为原来的2倍得到△A′B′C′.(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；(2)计算△A′B′C′的面积．21．【2023·南京师范大学附属中学月考】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且eq \f(AD,CD)＝eq \f(CD,BD).(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB的大小．22．如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD沿直线AO折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)求证：eq \f(OC,PD)＝eq \f(OP,AP)；(2)若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．23.党的二十大报告提出要“全面推进乡村振兴”，这是对党的十九大报告所提出的“实施乡村振兴战略”的进一步发展，彰显出新时代新征程在工农城乡关系布局上的深远谋划，为不断推进乡村振兴、加快农村现代化进程指明了方向．某市为了加快城乡发展，保障市民出行方便，在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，使得DE∥BC.经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．24．【2023·绍兴】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作 AE⊥CD于点E.(1)若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；(2)若OB＝2，BD＝1，求CE的长．25．【2022·镇江】如图，一次函数y＝2x＋b与反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图像交于点A(1，4)，与y轴交于点B.(1)k＝________，b＝________；(2)连接并延长AO，与反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图像交于点C，点D在y轴上，若以点O，C，D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．26.(1)如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G，求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图②，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH，求证： ∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图③，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上， AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长． 答案一、1．D 2．D 3．D4．D 【点拨】∵△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的三角形，∴△ABC∽△A′B′C′，BC∥B′C′.∴△OBC∽△OB′C′.∴eq \f(OB,OB′)＝eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(4,3).∴△ABC与△A′B′C′的相似比为4：3.∴△ABC与△A′B′C′的面积比为16：9.5．B 【点拨】如图，易知△ABC∽△EDC，∴eq \f(AB,DE)＝eq \f(BC,CD)，∴eq \f(1.6,DE)＝eq \f(2,10)，解得DE＝8 m.6．A 【点拨】由题意可知△OCD和△OAB是相似图形，并且相似比为eq \f(1,3)，点A和点C是对应顶点．因为点A的横坐标为6，所以点C的横坐标为2，又因为点A的纵坐标为3，所以点C的纵坐标为1，故点C的坐标为(2，1)．7．C 【点拨】根据CD∥OB得出△ACD∽△AOB.进而得到eq \f(AC,AO)＝eq \f(CD,OB)，根据AC：OC＝1：2，得出eq \f(AC,AO)＝eq \f(1,3)，根据C，D两点纵坐标分别为1，3，得出CD＝2.进而得到OB＝6，即可得出答案．8．D 【点拨】如图，过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝∠BEC＝90°.∵∠BAC＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝CE.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠BEC＝90°.∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE，∴eq \f(AB,BC)＝eq \f(BD,BE).∵BD＝1，AD＝4，∴AB＝eq \r(AD2＋BD2)＝eq \r(17).∴eq \f(AB,BD)＝eq \f(BC,BE)＝eq \r(17).设BE＝x，则BC＝eq \r(17)x，∴CE＝eq \r(BC2－BE2)＝4x，∴AE＝4x.∵AE＋BE＝AB，∴4x＋x＝eq \r(17)，解得x＝eq \f(\r(17),5).∴BC＝eq \r(17)x＝eq \f(17,5).∴CD＝BC－BD＝2.4.二、9．∠D＝∠B(答案不唯一)10．240 11．eq \f(4,9) 12．1：213．eq \f(1,2) 【点拨】△ABC的边长分别为eq \r(5)，5，eq \r(10)，作一个边长为1，eq \r(5)，eq \r(2)的三角形即可．如图，△CFE即为所求，面积为eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2).14．4.14 【点拨】设该车车身总长为x米，根据题意得汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x米，∴x－0.618x≈1.58，解得x≈4.14，即该车车身总长约为4.14米．15．eq \f(5,4) 【点拨】∵AB＝5尺，BE＝4尺，∴AE＝1尺．∵AC∥BD，∴△ACE∽△BDE.∴eq \f(AC,BD)＝eq \f(AE,BE).∴eq \f(AC,5)＝eq \f(1,4)，解得AC＝eq \f(5,4)尺．16．2或5 【点拨】设P，Q运动时间为t s，根据题意，AP＝t cm，BQ＝2t cm，则BP＝(10－t)cm.当△PBQ∽△ABC时，则eq \f(BP,AB)＝eq \f(BQ,BC)，即eq \f(10－t,10)＝eq \f(2t,20)，解得t＝5.当△QBP∽△ABC时，则eq \f(BP,BC)＝eq \f(BQ,AB)，即eq \f(10－t,20)＝eq \f(2t,10)，解得t＝2.综上，当经过2或5 s时，△PBQ与△ABC相似．17．2：3 【点拨】∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB.∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(AE,AB).∵AF是∠BAC的平分线，∴∠BAF＝∠CAF.∵∠AED＝∠B，∴△AGE∽△AFB，∴eq \f(AG,AF)＝eq \f(AE,AB)，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(AG,AF).∵AG：GF＝2：1，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(AG,AG＋GF)＝eq \f(2,2＋1)＝eq \f(2,3)，即DE:BC＝2：3.18．－eq \f(8,3) 【点拨】如图，作AE⊥x轴于点E.∵矩形OABC的面积是6，∴△AOC的面积是3，∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝eq \f(2,3)，∴eq \f(OA,AC)＝eq \f(2,3).∵对角线AC∥x轴，∴∠AOE＝∠OAC.∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC， ∴eq \f(S△OEA,S△AOC)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OA,AC)))eq \s\up12(2)，∴eq \f(S△OEA,3)＝eq \f(4,9).∵S△OEA＝eq \f(1,2)|k|，k<0，∴k＝－eq \f(8,3).故答案为－eq \f(8,3).三、19．【解】∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴∠H＝∠D＝95°.∴∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴eq \f(BC,FG)＝eq \f(AB,EF)，即eq \f(x,7)＝eq \f(12,6)，解得x＝14.20．【解】(1)如图．△A′B′C′为画出的符合要求的图形．(2)S△A′B′C′＝4×4－eq \f(1,2)×2×2－eq \f(1,2)×2×4－eq \f(1,2)×2×4＝6.21．(1)【证明】∵CD是边AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°.∵eq \f(AD,CD)＝eq \f(CD,BD)，∴△ACD∽△CBD.(2)【解】∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD.在△ACD中，∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.22．(1)【证明】∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD＋∠OPC＝90°.又∠POC＋∠OPC＝180°－∠C＝90°，∴∠APD＝∠POC.又∠D＝∠C＝90°，∴△OCP∽△PDA，∴eq \f(OC,PD)＝eq \f(OP,AP).(2)【解】由(1)易得eq \f(OP,PA)＝eq \f(PC,AD).∵OP与PA的比为1：2，∴PC＝eq \f(1,2)AD＝4.设AB＝x，易知DC＝x，AP＝x，DP＝x－4，在Rt△APD中，AP2＝AD2＋PD2，即x2＝82＋(x－4)2，解得x＝10，即AB＝10.23．【解】如图，设AF与DE的延长线相交于点G，则AG⊥DG，FG＝60米，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴eq \f(BC,DE)＝eq \f(AF,AG)，即eq \f(120,210)＝eq \f(AF,AF＋60)，解得AF＝80米．答：桥AF的长度为80米．24．【解】(1)∵AE⊥CD于点E，∴∠AEC＝90°.∴∠ACD＝∠E＋∠EAC＝90°＋25°＝115°.(2)∵CD是⊙O的切线，∴半径OC⊥DE.∴∠OCD＝90°.∵OB＝2，BD＝1，∴OD＝OB＋BD＝3，OA＝OC＝OB＝2.∴CD＝eq \r(OD2－OC2)＝eq \r(5).∵∠OCD＝∠AEC＝90°，∴OC∥AE.∴eq \f(CD,CE)＝eq \f(OD,OA).∴eq \f(\r(5),CE)＝eq \f(3,2).∴CE＝eq \f(2\r(5),3).25．【解】(1)4；2(2)易知点A与点C关于原点对称，∴点C的坐标是(－1，－4)．当x＝0时，y＝2x＋2＝2，∴点B(0，2)，∴OB＝2.易知AO＝CO＝eq \r(12＋42)＝eq \r(17).当点D落在y轴的正半轴上时，∠COD>∠ABO，∴△COD与△ABO不可能相似．当点D落在y轴的负半轴上时，若△COD∽△AOB，则eq \f(CO,AO)＝eq \f(DO,BO).∵CO＝AO，∴BO＝DO＝2，∴D(0，－2)．若△COD∽△BOA，则eq \f(OD,OA)＝eq \f(OC,OB).∵OA＝CO＝eq \r(17)，BO＝2，∴DO＝eq \f(17,2)，∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(17,2))).综上所述，点D的坐标为(0，－2)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(17,2))).26．(1)【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°.∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)【证明】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.又∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)【解】如图，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG.∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG.∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.
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