湖南省岳阳市2023-2024学年高三上学期质量监测（一）数学试卷含答案解析

这是一份湖南省岳阳市2023-2024学年高三上学期质量监测（一）数学试卷含答案解析，共17页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知，分别为椭圆，若函数的图象关于直线对称，则等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
本试卷共4页，22道题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则
A.1B.2C.D.
3.已知数列与均为等差数列，且，，则
A.5B.6C.7D.8
4.定义在上的函数满足：当时，，且对任意实数，均有，则为
A.B.C.D.
5.自2020年确定针对中国的“融入”政策（和平演变）失败，美国政府开始带领部分西方国家推动“去中国化”的“硬脱钩”政策，技术封锁特别是芯片出口限制就是其中重要一项.为突破围堵，以华为为代表的一批中国高新技术企业不仅着力发展硬件，而且加强了软件技术特别是算法的研发.如我国超级计算机天河一号每秒执行条指令，普通计算机每秒执行条指令.若天河一号用“插入排序”法排个数需要条指令，普通计算机用“并归排序”法排个数需要条指令.现排个数，则超级计算机与普通计算机所花时间的比值为
A.B.C.D.
6.据统计，我国结核病的感染率约为0.001.在针对结核病的检查中，健康者检测结果显示为阳性的概率为0.05，结核病感染者检测结果显示为阴性的概率为0.01，那么同学检测结果为阳性的概率为
7.已知，分别为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上顶点，直线与椭圆交于另外一点，若，则椭圆离心率位于下列哪个区间
A.B.C.D.
8.已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的，侧棱长为.当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若函数的图象关于直线对称，则
A.B.的图象关于点对称
C.在区间上有2个极值点D.在区间上单调递增
10.已知正方体的棱长为1，下列说法正确的是
A.异面直线与所成角为
B.若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的体积为
C.与平面所成角的正弦值为
D.若点为正方体对角线上的动点，则的最大值为
11.已知双曲线：的实轴长为2，左焦点到右顶点的距离为3.为坐标原点.直线交双曲线的右支于，两点（不同于右顶点），且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点（，位于第一象限），则
A.双曲线方程为
B.点到两条渐近线的距离之和的最小值为
C.
D.若，则的面积为
12.1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“7只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成7等份，只好先去睡觉，准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉1个桃子，然后将其分成7等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后，也将桃子分成7等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的5只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？”.下列说法正确的是
A.若第只猴子分得个桃子（不含吃的），则
B.若第只猴子连吃带分共得到个桃子，则为等比数列
C.若最初有个桃子，则第7只猴子偷偷办理后还剩得个桃子
D.若最初有个桃子，则被7除的余数为1
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知，，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为______.
14.已知曲线在点处的切线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围为______.
15.过圆：外一点作圆的切线，切点分别为、，若，则点的轨迹方程为______.
16.正方形的边长为1，、分别为边、上的点（不包括端点），且、分别为、的角平分线.则（1）的周长为______；（2）面积的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
已知正项数列的前项和为.，.
（1）求证：数列为常数列；
（2）求数列的通项公式，并证明.
18.（本题满分12分）
在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若的面积为，的平分线交于点且，求的值.
19.（本题满分12分）
如图，三棱柱中，侧棱平面，.，分别是，的中点，且.
（1）证明：；
（2）若二面角的正切值为，求直线与平面所成角的余弦值.
20.（本题满分12分）
为了进一步深入开展“书香校园”活动，让读书成为每位师生的习惯，让阅读成为学校、家庭、社会的一种良好风气，某校规定每位师生需在学校图书馆借阅一本文学类或理工类书籍.现对该校60名师生的借阅情况进行调查，其中教师与学生的人数之比为，教师中借阅文学类书籍的占，学生中借阅文学类书籍的占，得到如下列联表：
（1）请将列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断老师与学生的借阅情况是否存在差异；
（2）若从学校随机抽取人，用样本的频率估计总体的概率，若抽取的人中有5人借阅理工类书籍的概率最大，求所有可能的取值.
附：，
其中.参考数据：
21.（本题满分12分）
已知抛物线的准线与轴相交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，其中点在第一象限.
（1）求直线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于、两点，交直线于点，过点作的平行直线分别交线段、于点、.证明：存在实数，使得.
22.（本题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设，，判断的零点个数，并说明理由.
岳阳市2024届高三教学质量监测（一）
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.B 2.C 3.C 4.D 5.A 6.A 7.B 8.D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9.ABC10.BD11.ACD12.ABD
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.（满足，均可）14.
15.16.2（2分）；（3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（1）由题意，∵
∴
∴
∴数列为常数列
（2）∵，∴
∴
又∵，∴，∴
∵
∴
18.（1）由题意，
∴
又，∴，∴
∴，
即
即
又∵，∴，∵为三角形内角
∴
（2）∵，∴
∵，∴.
∴
整理得，解得
19.（1）取的中点，连接，，则，
又∵，∴，∵平面
∴平面
∴，∵，，∴
∵，∴平面，
又∵平面，∴
∵为的中位线，∴，∴
（2）过作于，连接，由（1）知平面
∴，∵，∴平面，∴
∴二面角的平面角为，∴
又∵，∴
又∵，，两两垂直，以为坐标原点如图建系
，，，，
，
设平面的法向量为
，得，
令，，，∴，
设直线与平面夹角为，
∴直线与平面夹角的余弦值为
20.
（1）提出零假设：老师与学生的借阅情况不存在差异
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为判断老师与学生的借阅情况是存在差异，此推断犯错误的概率不大于0.1
（2）设借阅理工类书籍的概率为，则
设随机抽取人中借阅理工类书籍的人数为随机变量
则，
∴，∴
得解得
又∵，∴可取14，15，16，17
21.（1）由题意，其准线为，点坐标为
不妨设直线的方程为，设直线的方程为，
联立
得，由题知，得
∴，同理，
故直线的方程为
（2）由题可知，若存在实数，则，∵
∴
又∵、、在同一条直线上∴，∴
故只需证明为、的中点即可
设直线为，设点，点
联立，得，，
令代入直线中得，点
，同理
：①
：②
：③
联立①②得
联立①③得.
要证明为，的中点，即证明，
即证明
即证明
即证明
等式右边，，∴
故得证
22.（1）由题意，的定义域为
，设
，
若，，在单调递减，
∴；
若，，在单调递增，
∴.
∴，
∴的单调减区间为和，无单调增区间
（2）
①时，，
∴，∴在无零点
②时，
，由（1）可知，∴
∴在上单调递减，
又∵，∵
∴在存在唯一零点
③时，求的零点即求的根的个数，
即求根的个数，
设，即求零点的个数
，，
设
，，
设
∴，
∴单调递增，又∵，
∴在上存在唯一零点
∴在，，单调递减，
在，，单调递增
∵，，∴在上存在唯一零点，且
∴在，，单调递减，在，，单调递增
∵，，∴在上存在唯一零点.
综上，在内存在两个零点.教师
学生
合计
文学类
理工类
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
教师
学生
合计
文学类
10
30
40
理工类
10
10
20
合计
20
40
60