广西壮族自治区百色市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份广西壮族自治区百色市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共23页。

注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 在平面直角坐标系中，点在第三象限，则点的坐标可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，根据平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征，即可解答．
【详解】解：A、在y轴上，故A不符合题意；
B、在第四象限，故B不符合题意；
C、在第三象限，故C符合题意；
D、在第二象限，故D不符合题意；
故选：C．
2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形特征进行判断即：对称轴两边能够重合．
【详解】A、是旋转图形，不是轴对称图形，故不选A．
B、不是轴对称图形，故不选B．
C、是旋转图形，不是轴对称图形．
D、是轴对称图象，
故选D．
【点睛】本题考查轴对称图象的特征，掌握其特征是解题的关键．
3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 5，6，12B. 4，4，8C. 2，3，4D. 2，3，5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系，正确理解三角形三边关系是解答本题的关键．三角形任何两边的和大于第三边．根据三角形任何两边的和大于第三边，可知“当较短两线段的长度之和大于最长线段的长度时，这三条线段能组成三角形．”由此即可判断答案．
【详解】A、因为，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意；
B、因为，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意；
C、因为，所以三条线段能组成三角形，符合题意；
D、因为，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意；
故选C．
4. 在中，，则是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理直接解答即可．
【详解】解：∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
解得∠C=90°，故是直角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和是180°是解题的关键．
5. 点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点坐标关于轴对称规律，掌握“关于轴对称点坐标为．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
点关于轴对称的点为：，
故选：A．
6. 如图，一次函数（，是常数，）的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式．图象法解不等式即可．
【详解】解：一次函数的图象与轴交于点，
由图象可知：当时，直线在轴的上方，
∴不等式的解集是；
故选：B．
7. 如图，点，，，在同一条直线上，，，，，，则的长为（ ）

A. 2B. 3C. 3.5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得从而可判定，则有，从而求得，即可求．
【详解】解：∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件，根据等腰三角形的定义及等角对等边先得出∠ABC的度数，由∠ABC的平分线交AC于D，得到其它角的度数，然后进行判断．
【详解】∵在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴△ABD是等腰三角形；
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°＝∠C，
∴△BDC是等腰三角形；
∴共有3个等腰三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质及三角形内角和定理；求得各角的度数是正确解答本题的关键．
9. 正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】因为正比例函数的函数值随的增大而减小，可以判断；再根据判断出的图象的大致位置．
【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小，
，
一次函数的图象经过二、三、四象限．
故选：．
【点睛】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：
①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；
②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
10. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行B. 对顶角相等
C. 全等三角形的对应角相等D. 如果两个数相等，则它们的绝对值也相等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了逆命题，判定命题真假的方法，平行线的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定，绝对值的性质；能写出一个命题的逆命题，掌握举反例是说明命题为假命题的方法是解题的关键．
【详解】A．逆命题：两直线平行，同位角相等，是真命题，结论正确，符合题意；
B．逆命题：相等的角是对顶角，如：两直线平行，同位角相等，此时同位角不是对顶角，所以是假命题，结论错误，不符合题意；
C．逆命题：对应角相等的两三角形全等，如：两个大小不一的等边三角形，所以是假命题，结论错误，不符合题意；
D．逆命题：如果两个数的绝对值相等，则它们也相等，如：和绝对值相等，但不相等，所以是假命题，结论错误，不符合题意；
故选：A．
11. 如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设直线与y轴交于点D，轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A，D的坐标，进而可得出、的长，利用三角形的面积计算公式可求出的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积均为，再将三个小三角形的面积相加即可求出结论．
【详解】设直线与y轴交于点D，轴于点E，如图所示．
当时，，
∴点D的坐标为；
当时，，
∴点A的坐标为，
∴点E的坐标为，，
∴，
∴．
同理，可求出另两个三角形的面积均为（阴影部分组成的小三角形），
∴阴影部分面积之和为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了几何问题(一次函数的实际应用)及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出每个小三角形的面积是解题的关键．
12. 如图，已知，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A. 2022B. 2023C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，然后找到规律即可得解．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
……，
∴的边长为．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请将答案填在答题卡上．）
13. 在中，，，则的度数是_________.
【答案】70°.
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理可直接解答．
【详解】解：∵中，，，
根据三角形内角是180°，
可得：．
【点睛】本题很简单，只要熟知三角形内角和定理便可直接解答．
14. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的分母不能为0即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求自变量的取值范围，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．
15. 如图，、相交于点，，要使，还需添加的一个条件是__________．（填上你认为适当的一个条件即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
若添加条件是，根据推出两三角形全等即可．
【详解】解：添加条件是，
在与中，
，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
16. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用一次函数图象交点解二元一次方程组，由已知条件求得图象的交点坐标为，由图象交点坐标与对应方程组解的关系即可求解；理解“函数图象交点的坐标是对应方程组的解”是解题的关键．
【详解】解：当时，，
解得：，
，
方程组的解为．
故答案：．
17. 在平面直角坐标系中，点，，平行于轴，则点坐标为__________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据平行于轴，确定点D与点C横坐标相等；再根据，求出点D的纵坐标，便能得到点D的坐标．
【详解】解：，
∴点D的坐标为或，
故答案为：或．
18. 如图，等边的周长为，为边上的中线，动点，分别在线段，上运动，连接，，当的长为__________时，线段的和最小．
【答案】2
【解析】
【分析】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识．作于点，连接、，由是周长为的等边三角形，求得，则，由为边上的中线，得垂直平分，则，所以，由可知当且的值最小时，的和最小，此时的和最小，所以当与重合，且、、三点在同一条直线上时，的和最小，此时，即可得出答案．
【详解】解：作于点，连接、，
∵是周长为的等边三角形，
∴
∴
∵为边上的中线，
∴垂直平分，
∴点与点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴当且的值最小时，的和最小，此时的和最小，
∴当与重合，且、、三点在同一条直线上时，的和最小，
∴，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．
（1）画出向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得到的；
（2）画出关于轴对称的．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查平移作图，坐标与图形——轴对称变换：
（1）将三个顶点分别向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到对应点后顺次连接即可；
（2）作三个顶点关于轴的对称点，顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图，即所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
20. 已知点，根据下列条件求点的坐标．
（1）点在轴上；
（2）点在轴上．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，一元一次方程的应用；
（1）由点在轴上得，即可求解；
（2）由点在轴上得，即可求解；
理解“在轴上时，，在轴上时，．”是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵点在轴上，
∴，
解得：，
∴
，
∴点的坐标为．
小问2详解】
解：∵点在轴上，
∴，
解得：，
∴
，
∴点的坐标为．
21. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．
（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出．
（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明．
【答案】（1）3对．分别是：△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF．
（2）△BDE≌△CDF，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据对图形的直观判断和一定的推理可得结果，要求考虑问题要全面．
（2）根据HL可判断△BDE≌△CDF．
【小问1详解】
3对．分别是：
△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF．
【小问2详解】
△BDE≌△CDF．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
又D是BC的中点，
∴BD＝CD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴△BDE≌△CDF（HL）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
22. 如图，在中．

（1）实践与操作：作的垂直平分线，交于D，交于E；
（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）推理与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）分别以A、B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于两点，连接这两点，交于D，交于E；
（2）根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，再根据三角形内角和定理得出，进一步求解即可．
【小问1详解】
解：

如图，为所求作的垂直平分线；
【小问2详解】
解：

∵ 是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，尺规作图—垂直平分线，掌握这些知识点是解题的关键．
23. 【阅读材料】为了保护学生的视力，学校的课桌、椅的高度都是按一定的关系配套设计的．为了了解学校新添置的一批课桌、椅高度的配套设计情况，小明所在的综合实践小组进行了调查研究，他们发现可以根据人的身高调节课桌、椅的高度，且课桌的高度（cm）与对应的椅子高度（不含靠背）（cm）符合一次函数关系，他们测量了一套符合条件的课桌、椅对应的四档高度，数据如下表：
根据阅读材料，完成下列各题：
（1）求与的函数关系式；
（2）在表格中，第四档的桌高数据被墨水污染了，请你求出被污染的数据；
（3）小丽测量了自己新更换的课桌椅，桌子的高度为61cm，椅子的高度为：32cm，请你判断它们是否配套？如果配套，请说明理由：如果不配套，请你帮助小丽调整桌子或椅子的高度使得它们配套．
【答案】（1）
（2）被污染的数据为84.0
（3）不配套，把小丽的椅子高度升高1.5cm就可以配套了
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）将代入（1）中一次函数解析式，即可求解；
（3）把代入（1）中一次函数解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：设与的函数关系式为，
把和代入，得，
解得：
∴与的函数关系式为．
【小问2详解】
解∶ 当时，，
∴被污染的数据为84.0．
【小问3详解】
解∶ 不配套，理由如下
在中，当时，，
解得，
，
∴把小丽的椅子高度升高1.5cm就可以配套了．
24. 如图，在等边中，是的中点，是延长线上的一点，且．
（1）求的度数；
（2）若于点，求证：是的中点；
（3）若，求的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质．正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）根据等边三角形性质得，因为，即可解答；
（2）要证是的中点，根据题意可知，证明为等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”的性质即可得证；
（3）根据含的直角三角形的性质得到，然后根据即可得到结果．
【小问1详解】
解：是等边三角形，
∴，
，
，
又，
∴；
【小问2详解】
证明：连接，
，是的中点，
∴，
∵，
，
，
又，
是的中点；
【小问3详解】
解：，，
，
，
，
．
25. 如图1，在和中，与相交于点，，．

（1）求证：是等腰三角形；
（2）若的周长是8，设长为，长为，求关于的函数解析式，并求自变量的取值范围；
（3）在图2的平面直角坐标系中，画出（2）中的函数图象．
【答案】（1）见解析 （2），
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，三角形的三边关系，解一元一次不等式组，画一次函数图象；
（1）由可判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的判定方法即可求证；
（2）由周长得，由三角形的三边关系得，即可求解；
（3）画出在取值范围内的图象即可求解；
掌握判定方法及性质，能根据三角形三边关系求出自变量取值范围是解题的关键．
【小问1详解】
证明：在和中，
，
∴()，
∴，
∴，
是等腰三角形．
【小问2详解】
解：由（1）得，
又∵的周长是8，，，
∴，
∴．
由，
得，
解得，
∴自变量的取值范围是．
【小问3详解】
解：由得函数图象如图所示．

26. 【探究与证明】
【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．

（1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．则________（填“>”、“<”或“=”）；
（2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，连接、，试猜想线段、的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分．
【答案】（1）= （2），见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、互为“兄弟三角形”的定义，类比推理是关键：
（1）根据互为“兄弟三角形”的定义得到，结合图形计算，得到答案；
（2）证明，根据全等三角形的性质得到；
（3）过点A作于G，于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理证明．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：=；
【小问2详解】
解：猜想．

证明如下：
∵和互为“兄弟三角形”，点为重合顶角顶点，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：过点作于，于，则，

∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴
又∵，，
∴平分．档次/高度
第一档
第二档
第三档
第四档
椅高/cm
37.0
40.0
42.0
45.0
桌高/cm
68.0
74.0
78.0