2023-2024学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数y=3cs(4x+π3)的最小正周期是( )
A. 2πB. π2C. π3D. π
2.已知函数f(x)=4x−12,x≤1−x+3,x>1，则f(f(52))=( )
A. −12B. 32C. 92D. 52
3.已知cs(π4−α)=13，则sin2α的值为( )
A. −79B. 79C. 23D. −23
4.已知tan(α+π4)=13，则tan2α=( )
A. 23B. −23C. 43D. −43
5.函数f(x)=ln(1+2cs2x)的定义域是( )
A. (−2π3+kπ,2π3+kπ)(k∈Z)B. (−π3+kπ,π3+kπ)(k∈Z)
C. (−2π3+2kπ,2π3+2kπ)(k∈Z)D. (−π3+2kπ,π3+2kπ)(k∈Z)
6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|0)在区间(π6,π2)上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. [0,73]B. [1,73]C. [1,3]D. [0,3]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A. sin(−x)=sinxB. sin(3π2−x)=csx
C. cs(π2+x)=−sinxD. cs(x−π)=−csx
10.已知2x−2=(12)y，则3x+3y的值可以为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
11.设函数f(x)=sin(2x+π3)，给出下列命题，不正确的是( )
A. f(x)的图象关于直线x=π3对称
B. f(x)的图象关于点(π12,0)对称
C. 把f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图象
D. f(x)的最小正周期为π，且在[0,π6]上为增函数
12.一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则( )
A. 点P第一次到达最高点需要10秒
B. 当水轮转动35秒时，点P距离水面2米
C. 当水轮转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D. 点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h=4sin(π30t+π6)+2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算：(14)0+lg22= ______．
14.tan105°=______．
15.已知α∈(0,π2)，tanα=2，则cs(α−π4)= ．
16.已知函数f(x)=cs2x+asinx−1，若不等式|f(x)|≤1任意的x∈[0,π]恒成立，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=lgax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(3x−1)>f(−x+5)．
18.(本小题12分)
(1)计算：sin24°cs6°−sin66°sin6°sin21∘cs39∘−cs21∘sin39∘；
(2)已知tanα=3.求sin(π2+α)+3sin(π+α)cs(3π2−α)−cs(5π+α)的值．
19.(本小题12分)
已知函数，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间[−π8,π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|0)的周期为2π3，当x∈[0,π3]时，方程f(kx)+1=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数g(x)=ax2−2ax−1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=g(x)x．
(1)求a，b的值；
(2)若不等式f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−1,1]上有解，求实数k的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=4sin2(π4+x2)sinx+(csx+sinx)(csx−sinx)−1．
(1)求f(x)的对称中心；
(2)设常数ω>0，若函数f(ωx)在区间[−π2,2π3]上是增函数，求ω的取值范围；
(3)若函数g(x)=12[f(2x)+af(x)−af(π2−x)−a]−1在区间[−π4,π2]上的最大值为2，求a的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由于函数y=3cs(4x+π3)的最小正周期T=2π4=π2．
故选：B．
由题意，根据余弦型函数y=Acs(ωx+φ)的最小正周期T=2π|ω|，进而即得．
本题主要考查余弦函数的周期性，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分段函数的求值，涉及函数的解析式，属于基础题．
根据题意，由函数的解析式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f(x)=4x−12(x≤1)−x+3(x>1)，
则f(52)=−52+3=12，
则f(f(52))=f(12)=2−12=32，
故选B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了诱导公式，考查了余弦的二倍角公式，属于基础题．
由sin2α=sin[π2−2(π4−α)]，结合余弦的二倍角公式求解即可．
【解答】
解：已知cs(π4−α)=13，
则sin2α=sin[π2−2(π4−α)]=cs[2(π4−α)]=2cs2(π4−α)−1=2×19−1=−79，
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：由tan(α+π4)=13可得tanα+tanπ41−tanαtanπ4=13，
即tanα+11−tanα=13，解得tanα=−12，
所以可得tan2α=2tanα1−tan2α=−12×21−(−12)2=−43．
故选：D．
利用两角和的正切公式可求得tanα=−12，再利用二倍角的正切公式代入计算可得结果．
本题主要考查了两角和及二倍角的正切公式的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：依题意，1+2cs2x>0，即cs2x>−12，
∴2kπ−2π30,|φ|0．
由tan α=sin αcs α=2,sin2α+cs2α=1,得sin α=2 55,cs α= 55.
所以cs(α−π4)=csαcsπ4+sinαsinπ4
= 22(sinα+csα)=3 1010．
故答案为3 1010．
16.【答案】[1,2 2]
【解析】解：函数f(x)=cs2x+asinx−1=asinx−2sin2x，
令t=sinx(0≤t≤1)，设g(t)=at−2t2，
不等式|f(x)|≤1任意的x∈[0,π]恒成立，等价为−1≤at−2t2≤1在t∈[0,1]恒成立．
当t=0时，−1≤0≤1成立；
当0f(−x+5)等价于3x−1>−x+5>0，
解得32−x+5>0，求出解集即可．
本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
18.【答案】解：(1)sin24°cs6°−sin66°sin6°sin21∘cs39∘−cs21∘sin39∘=sin24°cs6°−sin(90°−24°)sin6°sin(21∘−39∘)=sin24°cs6°−cs24°sin6°sin(21∘−39∘)=sin(24°−6°)sin(−18∘)=sin18°−sin18∘=−1；
(2)已知tanα=3，
则sin(π2+α)+3sin(π+α)cs(3π2−α)−cs(5π+α)=csα−3sinα−sinα+csα=1−3tanα−tanα+1=1−3×3−3+1=4．
【解析】(1)由诱导公式及两角差的正弦公式化简求值即可；
(2)先由诱导公式进行化简，再由商数关系求值即可．
本题考查了诱导公式及两角差的正弦公式，属基础题．
19.【答案】解：(1)f(x)的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π，
当2kπ≤2x−π4≤2kπ+π，
即kπ+π8≤x≤kπ+5π8，k∈Z时，f(x)单调递减，
∴f(x)的单调递减区间是[kπ+π8,kπ+5π8]，k∈Z．
(2)∵x∈[−π8,π2]，则2x−π4∈[−π2,3π4]，
故cs(2x−π4)∈[− 22,1]，
∴f(x)max= 2，此时2x−π4=0，即x=π8；
f(x)min=−1，此时2x−π4=3π4，即x=π2．
【解析】本题考查复合三角函数的单调性，着重考查余弦函数的周期公式及单调性与最值的应用，属于中档题．
(1)由余弦函数的周期公式T=2π|ω|即可求得答案；
(2)x∈[−π8,π2]⇒2x−π2∈[−3π4,π2]，利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时x的值．
20.【答案】解：(1)∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|