2023-2024学年浙江省宁波市海曙区五校联考八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市海曙区五校联考八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN//l.在△ABC中，若∠BOC=130°，则∠BAC的度数为( )
A. 70°B. 75°C. 80°D. 85°
2.已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是( )
A. 16B. 11C. 3D. 6
3.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A. 有两个角相等的三角形是等腰三角形
B. 对顶角相等
C. 等边三角形的三个内角相等
D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=55°，P是边上AB的一个动点(不与顶点A重合)，则∠BPC的度数可能是( )
A. 55°
B. 70°
C. 110°
D. 130°
5.已知y2+my+25是完全平方式，则m的值是( )
A. 5B. ±5C. 10D. ±10
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=75°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D.则∠D的度数为( )
A. 15°
B. 17.5°
C. 20°
D. 22.5°
7.在等腰三角形ABC中，∠A=79°49′37″，则∠B可以有几个不同值( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
8.下列图形是轴对称图形的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
9.在实数0、0.2.、3π、227、6.1010010001⋯、13111、 27中，无理数有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.如图所示，△ABC≌△BAD，点A与点B，点C与点D是对应顶点，如果∠DAB=50°，∠DBA=40°，那么∠DAC的度数为( )
A. 50°B. 40°C. 10°D. 5°
11.如图，点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD=PE=PF，则点P是△ABC( )
A. 三边垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条高的交点D. 三条中线交点
12.在平面直角坐标系中，直线y=2x−3与y轴的交点坐标是( )
A. (0,−3)B. (−3,0)C. (2,−3)D. (32,0)
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.在平面直角坐标系中，若点M(x,4)到原点的距离是5，则x的值是______．
14.在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 5，则平行四边形ABCD周长等于 ．
15.如图，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D和点E，连接CD，AC=DC，∠B=25°，则∠ACD的度数是______．
16.把点A(3,−1)先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得点的坐标为______．
17.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A(如图1)．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小凡利用两块形状相同的三角尺进行如下操作：
如图2所示：
(1)用第一块三角尺的一条边贴住直线l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；
(2)将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，沿这边作出直线AB，所以，直线AB即为所求．
老师说：“小凡的作法正确．”
请回答：小凡的作图依据是______．
18.下列命题：
①若a2=b，则a= b；
②角平分线上的点到角两边的距离相等；
③全等三角形的周长相等；
④等边三角形的三个内角相等．
它们的逆命题是真命题的有______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处．
(1)求∠ECF的度数；
(2)若CE=4，B′F=1，求线段BC的长和△ABC的面积．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，E是CA延长线上一点，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3．
求证：∠1=∠2．
21.(本小题8分)
如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)当∠AEB=50°，求∠EBC的度数．
22.(本小题10分)
等腰△ABC中，AB=AC，∠ACB>60°，点D为边AC上一点，满足BD=BC，点E与点B位于直线AC的同侧，△ADE是等边三角形．
(1)①请在图1中将图形补充完整；
②若点D与点E关于直线AB轴对称，∠ACB=______；
(2)如图2所示，若∠ACB=80°，用等式表示线段BA、BD、BE之间的数量关系，并说明理由．
23.(本小题10分)
(1)如图1，点D、E分别是等边△ABC边AC、AB上的点，连接BD、CE，若AE=CD，求证：BD=CE．
(2)如图2，在(1)问的条件下，点H在BA的延长线上，连接CH交BD延长线于点F.若BF=BC，求证：EH=EC．
24.(本小题10分)
如图，点C、F在线段BE上，∠ABC=∠DEF=90°，BC=EF，请只添加一个合适的条件使△ABC≌△DEF．
(1)根据“ASA”，需添加的条件是______；根据“HL”，需添加的条件是______；
(2)请从(1)中选择一种，加以证明．
25.(本小题12分)
如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB=a，DG=b(a>b)．
(1)写出AG的长度(用含字母a、b的式子表示)；
(2)观察图形，请你用两种不同的方法表示图形中阴影部分的面积，此时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；
(3)如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多2cm，它们的面积相差20cm2，试利用(2)中的公式，求a、b的值．
26.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠C=90°．
(1)尺规作图；作∠BAC的平分线交BC于点D.(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)已知AD=BD，求∠B的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：如图，过点O分别作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵直线MN//AB，
∴OD=OE=OF，
∴点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=2(180°−130°)=100°，
∴∠BAC=80°．
故选：C．
首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，从而容易得到∠ABC+∠ACB=2(180°−130°)，再根据三角形内角和定理即可求解．
本题考查了平行线的性质及三角形内心的判定及性质，利用平行线间的距离处处相等判定点O是△ABC的内心是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：设第三边的长度为x，
由题意得：7−3即：4故选：D．
已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，再选出答案即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
3.【答案】B
【解析】解：A、有两个角相等的三角形是等腰三角形的逆命题为等腰三角形的两底角相等，此逆命题为真命题；
B、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；
C、等边三角形的三个内角相等的逆命题为三个内角相等的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题；
D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题为到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，此逆命题为真命题．
故选：B．
先交换命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后根据等腰三角形的性质、对顶角的定义、等边三角形的判定方法、线段的垂直平分线定理的逆定理对四个逆命题进行判断．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=55°，
∴∠A=180°−110°=70°，
∵∠BPC=∠A+∠ACP，
∴∠BPC>70°，
∵∠B+∠BPC+∠PCB=180°，
∴∠BPC<130°，
∴70°<∠BPC<130°，
故选：C．
只要证明70°<∠BPC<130°即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5.【答案】D
【解析】【试题解析】
解：∵y2+my+25=y2+my+52，
∴my=±2⋅y⋅5，
解得：m=±10．
故选：D．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
6.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=75°，
∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4=37.5°，
∵∠ACE=180°−∠ACB=105°，
∴∠2=52.5°，
∴∠BCD=75°+52.5°=127.5°，
∴∠D=180°−∠3−∠BCD=15°．
故选：A．
先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4=37.5°，再根据三角形外角性质得∠BCD=127.5°，然后根据三角形内角和定理代入计算即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．
7.【答案】B
【解析】解：有三种情况：①∠A是顶角时，∠B=∠C=12(180°−∠A)=12×(180°−79°49′37″)=55°10′11.5″；
②当∠A是底角时，∠C也是底角时，
∠B=180°−∠A−∠C=180°−79°49′37″−79°49′37″=20°20′46″；
③当∠A是底角时，∠B也是底角时，
∠B=∠A=79°49′37″；
故选：B．
①∠A是顶角，①∠A和∠C是底角，③∠A和∠B是底角，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出答案即可．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：这五个图形都是轴对称图形．
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
9.【答案】C
【解析】解：3π，6.1010010001⋯， 27都是无限不循环小数，它们均为无理数，共3个，
故选：C．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是全等三角形的性质．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
根据全等三角形的性质得到∠DBA=∠CAB=40°，根据角与角间的和差关系计算即可．
【解答】
解：∵△ABC≌△BAD，点A与点B，点C与点D是对应顶点，∠DBA=40°，
∴∠DBA=∠CAB=40°，
∴∠DAC=∠DAB−∠CAB=50°−40°=10°．
故选：C．
11.【答案】B
【解析】解：P到三条距离相等，即PD=PE=PF，
连接PA、PB、PC，
∵PD=PE，
∴PB是∠ABC的角平分线，
同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线，
故P是△ABC角平分线交点，
故选：B．
根据角平分线性质推出即可．
本题考查了角平分线性质，能熟记角平分线性质的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等．
12.【答案】A
【解析】解：把x=0代入y=2x−3得y=−3，
所以直线y=2x−3与y轴的交点坐标是(0,−3)．
故选：A．
根据y轴上点的坐标特征得到直与y轴的交点的横坐标为0，然后把x=0代入直线解析式求出对应的y的值即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了y轴上点的坐标特征．
13.【答案】±3
【解析】解：由题意知，5= x2+42．
解得x=±3．
故答案是：±3．
直接利用勾股定理列出方程并解答．
本题主要考查了勾股定理和两点间的距离公式，属于基础题．
14.【答案】20或12
【解析】解：①如图1所示：
∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 5，
∴EC= AC2−AE2=2，AB=CD=5，
BE= AB2−AE2=3，
∴AD=BC=5，
∴▱ABCD的周长等于20．
②如图2所示：
∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 5，
∴EC= AC2−AE2=2，AB=CD=5，
BE= AB2−AE2=3，
∴BC=3−2=1，
∴▱ABCD的周长等于：1+1+5+5=12，
则▱ABCD的周长等于20或12，
故答案为：20或12．
根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
15.【答案】80°
【解析】解：∵BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D和点E，
∴CD=BD，
∵∠B=25°，
∴∠DCB=∠B=25°．
∵∠ADC是△BCD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=25°+25°=50°．
∵AC=DC，
∴∠CAD=∠ADC=50°，
∴∠ACD=180°−∠CAD−∠ADC=180°−50°−50°=80°．
故答案为：80°．
先根据线段垂直平分线的性质得出CD=BD，由三角形外角的性质得出∠ADC的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
16.【答案】(5,2)
【解析】解：点A(3,−1)向右平移2个单位，横坐标变为3+2=5，向上平移3个单位，纵坐标变为−1+3=2，
所以所得点的坐标为(5,2)．
故答案为(5,2)．
根据向左平移横坐标减，向上平移，纵坐标加解答．
本题考查了利用平移解答坐标与图形的变化，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
17.【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】解：如图所示：
由平移的性质可知：∠2=∠3．
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠1．
∴EF//l(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【分析】
首先对图形进行标注，从而可得到∠1=∠2，然后依据平行线的判定定理进行判断即可．
本题主要考查的是平行线的判定、平移的性质、尺规作图，依据作图过程发现∠1=∠3是解题的关键．
18.【答案】①②④
【解析】解：①若a2=b，则a= b的逆命题为：若a= b，则a2=b，正确，为真命题，符合题意；
②角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题为到角的两边距离相等的点在角的平分线上，正确，是真命题，符合题意；
③全等三角形的周长相等的逆命题为周长相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意；
④等边三角形的三个内角相等的逆命题为三个内角相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，符合题意．
正确的有①②④，
故答案为：①②④．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
19.【答案】解：(1)由折叠可得，∠ACE=∠DCE=12∠ACD，∠BCF=∠B′CF=12∠BCB′，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCB′=90°，
∴∠ECD+∠FCD=12×90°=45°，
即∠ECF=45°；
(2)由折叠可得，∠DEC=∠AEC=90°，BF=B′F=1，
∴∠EFC=45°=∠ECF，
∴CE=EF=4，
∴BE=4+1=5，
∴Rt△BCE中，BC= BE2+CE2= 41，
设AE=x，则AB=x+5，
∵Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，
Rt△ABC中，AC2=AB2−BC2，
∴AE2+CE2=AB2−BC2，
即x2+42=(x+5)2−41，
解得x=165，
∴S△ABC=12AB×CE=12(165+5)×4=825．
【解析】(1)由折叠可得，∠ACE=∠DCE=12∠ACD，∠BCF=∠B′CF=12∠BCB′，再根据∠ACB=90°，即可得出∠ECF=45°；
(2)在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC= BE2+CE2= 41，设AE=x，则AB=x+5，根据勾股定理可得AE2+CE2=AB2−BC2，即x2+42=(x+5)2−41，求得x=165，即可得出S△ABC=12AB×CE=825．
本题主要考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
20.【答案】证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠EGC=∠ADC=90°
∴EG//AD
∴∠2=∠E，∠1=∠3，
∵∠E=∠3，
∴∠1=∠2．
【解析】由AD⊥BC，EG⊥BC，利用垂直的定义可得，∠EGC=∠ADC=90°，利用平行线的判定可得EG/​/AD，利用平行线的性质可得，)∠2=∠E，∠1=∠3，又因为∠E=∠3，等量代换得出结论．
本题主要考查了平行线的性质及判定，综合运用平行线的性质和判定定理是解答此题的关键．
21.【答案】(1)证明：在△ABE和△DCE中，
∠A=∠D∠AEB=∠DECAB=DC，
∴△ABE≌△DCE(AAS)；
(2)解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=2∠EBC=50°，
∴∠EBC=25°．
【解析】(1)根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；
(2)根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可．
本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
22.【答案】75°
【解析】解：(1)①根据题意，补全图形如图1所示，
②当点D与点E关于直线AB轴对称时，
∴AB⊥DE，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAC=12∠DAE=30°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=12(180°−∠BAC)=75°，
故答案为75°；
(2)如图2，在BA上取一点F，使BF=BD，DE与AB的交点记作点H，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=ED，∠EAD=∠AED=60°，
在△ABC中，AB=AC，∠ACB=80°，
∴∠ABC=∠ACB=80°，
∴∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=20°，
∴∠BAE=∠DAE−∠BAC=40°，
在△BCD中，BC=BD，
∴∠BDC=∠ACB=80°，
∴∠DBC=180°−∠ACB−∠BDC=20°，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=60°，
∵BF=BD，
∴△BDF是等边三角形，
∵∠AED=∠ABD=60°，∠AHE=∠BHD，
∴∠BDE=∠BAE=40°，
∴∠BDF=60°，BD=FD=BF，
∴∠ADF=180°−∠BDC−∠BDF=40°=∠ADF，
∵DE=AD，
∴△BDE≌△FDA(SAS)，
∴FA=BE，
∴BA=BF+FA=BD+BE．
(1)①根据题意直接画出图形；
②根据对称性判断出AB⊥DE，再判断出∠DAE=60°，进而求出∠BAC，即可得出结论；
(2)先判断出∠ADF=∠EDB，进而判断出△BDE≌△FDA，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，对称性，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠BCD=∠ABC=60°，AC=BC，
∵AE=CD，
∴△ACE≌△CBD(SAS)，
∴BD=EC．
(2)①证明：如图2中，
∵△ACE≌△CBD，
∴∠ACE=∠CBD，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ECB，
∵BF=BC，
∴∠BFC=∠BCF，
∴∠FBH+∠H=∠BCE+∠ECH，
∴∠H=∠ECH，
∴EH=EC．
【解析】(1)只要证明△ACE≌△CBD即可；
(2)想办法证明∠H=∠ECH即可．
考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】∠ACB=∠DFE AC=DF
【解析】解：(1)根据“ASA”，需添加的条件是∠ACB=∠DFE，根据“HL”，需添加的条件是AC=DF，
故答案为：∠ACB=∠DFE，AC=DF；
(2)选择添加条件AC=DF证明，
证明：∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，
AC=DFBC=EF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
(1)根据题目中的条件和题目中的要求可以填写相应的条件；
(2)从(1)中任选一种加以证明即可解答本题．
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB=a，DG=b(a>b)，
∴AD=a，GD=b，
∴AG=AD−GD=a−b，
(2)由题意得，
S阴影部分=(a+b)(a−b)，
∵S矩形BMNH=S矩形FHEC=b(a−c)，
∴S阴影部分=a2−b2，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)；
(3)∵正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多2cm，它们的面积相差20cm2，
∴a−b=2，a2−b2=20，
将a−b=2，a2−b2=20，代入a2−b2=(a+b)(a−b)中，
20=2×(a+b)，
解得a+b=10，
联立得a−b=2amp;a+b=10amp;，
解得a=6，b=4．
【解析】(1)根据正方形的性质和AG=AD−GD即可求出AG的长度；
(2)用两种不同的方法表示图形中阴影部分的面积：①求长为a+b，宽为a−b的矩形的面积；②S矩形BMNH=S矩形FHEC=b(a−c)，可得阴影部分面积=四边形ABCD的面积−四边形DEFG的面积，可得a2−b2=(a+b)(a−b)；
(3)根据正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多2cm，它们的面积相差20cm2可得a−b=2，a2−b2=20，代入原式并联立方程即可求出a、b的值．
本题考查了平方差公式的证明以及应用，掌握平方差公式的性质以及应用是解题的关键．
26.【答案】解：(1)如图所示：AD即为所求；
(2)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∴∠B=∠BAD=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴∠B=30°．
【解析】(1)首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于H、F，再分别以H、F为圆心，大于12HF长为半径画弧，两弧交于点M，再画射线AM交CB于D；
(2)先根据角平分线定义和等腰三角形的性质得：∠B=∠BAD=∠CAD，则∠B=30°．
此题主要考查了角平分线的基本作图，以及等腰三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握角平分线的基本作图是关键．