河南省郑州市金水区实验中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份河南省郑州市金水区实验中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了 的相反数是， 已知，则下列不等式中正确的是， 下列四组数，是勾股数的是， 下列命题中，真命题， 如图等内容，欢迎下载使用。

1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的定义，直接利用相反数的定义得出答案，熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解此题的关键．
【详解】解：的相反数是．
故选：C．
2. 已知，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】A．∵，∴，故不正确；
B．∵，∴，故不正确；
C．∵，∴，故正确；
D．∵，∴，故不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3. 下列四组数，是勾股数的是（ ）
A. B. C. D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握三个数都是整数，且满足的一组数是勾股数是解题的关键．
根据勾股数的定义进行判断作答即可．
【详解】解：A中不是整数，不是勾股数，故不符合要求；
B中，是勾股数，故符合要求；
C中，不是勾股数，故不符合要求；
D中，不是勾股数，故不符合要求；
故选：B．
4. 将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，两把直尺的接触点记为点P，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连结并延长．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的判定，解题的关键是根据角平分线的判定定理得到是的平分线，再计算即可．
【详解】解：两把长方形直尺的宽度相同，
点到射线、距离相等，
射线是的平分线，
，
，
，
故选：C．
5. 在平面直角坐标系中，若，且直线轴，则m的值是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是根据平行线于y轴的直线上点横坐标相同，得出，求出结果即可．
【详解】解：∵直线轴，
∴，
∴．
故选：A．
6. 下列命题中，真命题（ ）
A. 1的平方根是它本身
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 三角形的外角大于任何一个内角
D. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用平方根的定义、平行线的性质、三角形的外角的性质及等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、1的平方根是，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
7. 在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】解：∵一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x，y的方程组的解是．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
8. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．根据光在水中是平行的线，由平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
故选∶D．
9. 如图，是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点，正方体的棱长为，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，平面展开最短路线问题，将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，再用勾股定理求出的长即可求解．将立体图形转化为平面图形求解是解题的关键．
【详解】解：如图，

∵正方体的棱长为，
∴，，
∴，
故选：B．
10. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ）
A. 20B. C. 40D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长，的长，从而可以求得矩形的面积．
【详解】解：如图所示，过点、分别作的平行线，交、于点、．
由图象和题意可得：，，，，
则，，
矩形的面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11. 的立方根是__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据立方根的定义进行求解即可得．
【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
12. 请写出一个图象平行于直线，且过第一、二、四象限的一次函数的表达式________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】设一次函数表达式为：，由图象平行于直线可得，由图象经过第一、二、四象限，可得，由此即可得到答案．
【详解】解：设一次函数表达式为：，
图象平行于直线，
，
图象经过第一、二、四象限，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，当时，图象交于轴的正半轴，当时，图象过原点，当时，图象交于轴的负半轴．
13. 若方程组 的解满足 ，则 的值为_____________．
【答案】11
【解析】
【分析】此题考查了加减消元法，把a看作已知数表示出方程组的解，代入求出a的值即可，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，掌握加减消元法是解题的关键．
【详解】解：，
①+③得：，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：11．
14. 在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：．已知关于的不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是______．

【答案】1
【解析】
【分析】根据题中新运算规则列出关于x的不等式，然后解不等式，由数轴得到不等式的解集，进而得到关于k的方程求解即可．
【详解】解：由得，则，
由数轴得不等式解集为，
∴，解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查解一元一次不等式、解一元一次方程、数轴，理解题中新定义运算规则，能从数轴上得到不等式的解集是解答的关键．
15. 如图，在直角三角形中，，点D是边上的一点（不与B、C重合），连接，将沿折叠，使点C落在点E处，当是直角三角形时，的长为_____________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是根据勾股定理得到，根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，，，推出点在上，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在中，，，
，
，
，
点是边上的一点，
，
当是直角三角形时，或，
①当时，则，
将沿折叠，使点落在点处，
，
，
②当时，
将沿折叠，使点落在点处，
，，，
，
点在上，如图，
，，，
，
，
，
，
综上所述，的长为 6或，
故答案为：6或．
三.解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算以及解一元一次不等式组：
（1）原式先利用二次根式的除法法则运算，然后计算加减即可；
（2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
，
，
∴．
17. 如图，在中，，
（1）用直尺和圆规作的垂直平分线l，交斜边于点O（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）判断点O在的垂直平分线上吗？说明理由；
（3）结合（1）（2），你还有何发现（证明过程中出现的结论除外）？请写出一条新的结论．
【答案】（1）见解析 （2）在，理由见解析
（3）是的中位线
【解析】
【分析】（1）根据尺规作一条线段垂直平分线的方法作图即可；
（2）连接，证明，得出，，根据等腰三角形的判定得出，根据垂直平分线的判定得出结论即可；
（3）根据中位线的判定即可得出是的中位线．
【小问1详解】
解：分别以B、C两点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点E、F，连接交于点O，则即为所求作的垂直平分线，如图所示：
【小问2详解】
解：点O在的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接，
∵是线段的垂直平分线，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点O在的垂直平分线上．
【小问3详解】
解：是的中位线．
由（2）可知，，，
∴点O是的中点，
由（1）作图可知，点D是线段的中点，
∴是的中位线．
【点睛】本题主要考查了尺规作垂直平分线，垂直平分线判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，中位线的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合．
18. 已知，如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A，B，C三点，其中点A坐标为，点B坐标为．
（1）请根据点A，B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点C坐标 ；
（2）依次连接A，B，C，得到，请判断的形状，并说明理由；
（3）在y轴上找一点F，使的面积等于的面积，点F的坐标为 ．
【答案】（1）坐标系见解析；
（2）是以为直角的直角三角形，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据点A、B的坐标确定原点的位置，然后建立平面直角坐标系，再得出点C的坐标即可；
（2）利用网格求出、、，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（3）根据三角形同底等高面积相等可知点F的坐标为或．
【小问1详解】
解：根据点A坐标为，点B坐标为．建立平面直角坐标系如图示，
点C的坐标为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度和勾股定理可知：
，
，
，
∵，
∴是以为直角的直角三角形．
【小问3详解】
解：设点，根据题意得：
，
解得：或，
∴点F的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理和逆定理．
19. 综合与实践
【问题情境】数学活动课，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：cm），宽（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
【实践探究】分析数据如下：
【问题解决】
（1）上述表格中：_______，______，______；
（2）甲同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”乙同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”上面两位同学的说法中，合理的是_____（填“甲”或“乙”）；
（3）现有一片长cm，宽cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
【答案】（1）3.7，1.92，2.0
（2）乙 （3）这片树叶更可能来自荔枝树，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数，平均数和众数的定义求解即可；
（2）根据题目给出的数据判定即可；
（3）根据树叶的长宽比判定即可．
【小问1详解】
解：把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7、3.7，
10片芒果树叶的长宽比的中位数，
10片荔枝树叶的长宽比的平均数，
10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，
10片荔枝树叶的长宽比的众数为2.0，
故答案为：3.7，1.92，2.0；
【小问2详解】
解：，
芒果树叶的形状差别小，
故甲同学的说法不合理，
荔枝树叶的长宽比的平均数是1.92，中位数是1.95，众数是2.0，
乙同学的说法合理，
故答案为：乙；
【小问3详解】
解：一片长，宽的树叶，长宽比接近2，
这片树叶更可能来自荔枝树．
【点睛】本题考查了统计图中中位数、众数、平均数、方差的意义，看懂统计图表，正确的计算是解决问题的关键．
20. 如图，在中，．
（1）证明：；
（2），求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠3+∠CAE=∠DEF，再根据∠1=∠3整理即可得证；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠2+∠BCF=∠DFE，再根据∠2=∠3即可得∠ACB=∠DFE，然后利用三角形的内角和等于180°求解即可．
【详解】（1）证明：在△ACE中，∠DEF=∠3+∠CAE，
∵∠1=∠3，
∴∠DEF=∠1+∠CAE=∠BAC，
即∠BAC=∠DEF；
（2）解：在△BCF中，∠DFE=∠2+∠BCF，
∵∠2=∠3，
∴∠DFE=∠3+∠BCF，
即∠DFE=∠ACB，
∵∠BAC=70°，∠DFE=50°，
∴在△ABC中，∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-70°-50°=60°．
【点睛】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质，并准确识图，找出图中各角度之间的关系是解题的关键．
21. 随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销宣传，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售重量和总收入如下表（总收入=销售重量单价）：
（1）求该水果线上、线下的销售单价各是多少．
（2）若某公司计划从该地采购该水果，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果不得少于线上采购该水果重量的，请你帮该公司设计出最省钱的采购方案．
【答案】（1）该水果线上的销售单价为12元，线下的销售单价为15元
（2）在线下采购，线上采购时最省钱
【解析】
【分析】（1）设该水果线上的销售单价为元，线下的销售单价为元，结合表格，列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）设该公司在线下采购水果，则线上采购水果，所需费用为元，根据下采购该水果不得少于线上采购该水果重量的，求出的取值范围，列出与的函数关系式，根据一次函数的性质，进行求解即可．
【小问1详解】
解：设该水果线上的销售单价为元，线下的销售单价为元．
由题意，得，解得：；
∴该水果线上的销售单价为12元，线下的销售单价为15元．
【小问2详解】
设该公司在线下采购水果，则线上采购水果，所需费用为元．由题意，得，解得．
．
∵，
∴当时，随增大而增大．
∴当时，有最小值，即在线下采购，线上采购时最省钱．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组和函数关系式，是解题的关键．
22. 小明设想用电脑模拟台球游戏，为简单起见，约定：①每个球或球袋都视为一点，如不遇障碍，各球均沿直线前进；②A球击中B球，则B球被撞击后沿着A球原来的方向前进；③球撞击桌边后的反弹角等于入射角（即）．如图，设桌面上只剩下白球A和6号球B，小明希望A球撞击桌边上C点后反弹，再击中B球．建立如图所示的坐标系，白球的坐标为，6号球的坐标为．

（1）若点A与点关于x轴对称，直接写出点坐标 ；
（2）运用一次函数的知识，求出C点坐标；
（3）设桌边上有三个球袋，位置分别在，判定6号球被从C点反弹出的白球撞击后，能否落入球袋中（假定6号球被撞击后的速度足够大），写出球袋名称并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）能落入球袋S中，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，坐标与图形变化——轴对称：
（1）关于x轴对称的点的坐标特征横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可解；
（2）直线与x轴的交点即为点C，用待定系数法求出直线的解析式，即可求解；
（3）判断哪个点在直线上即可．
【小问1详解】
解：关于x轴的对称点坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点C的坐标为；
【小问3详解】
解：能落入球袋S中，
理由如下：
把代入直线的解析式得：，
解得，
∴在直线上，
∴能落入球袋S中．
23. 正方形中，，点H为射线上的一个动点，连接，把沿着翻折，得到．
（1）如图1，连接，当时，的形状是 ．
（2）当点G落在正方形内部时，过G作，分别交于E和F，延长交于点M，连接交于点N（如图2）．判断的形状，并说明理由．
（3）如图3，已知正方形的边长为6，点H在射线上运动，当时，把沿翻折得到，射线交射线于点M，请直接写出的长．
【答案】（1）等边三角形
（2）等腰三角形，理由见解析
（3）3或
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质和翻折的性质、全等三角形的判定和性质，正确理解题意和灵活运用所学的知识是解题的关键．
（1）根据翻折可得：， 得到，，即可求解；
（2）先证明，得到，再根据平行证明，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当点H在线段上时或当点H在线段的延长线上时分别进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵把沿着翻折，得到，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：等边三角形；
【小问2详解】
解：的形状是等腰三角形，理由：
∵把沿着翻折，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴的形状是等腰三角形；
【小问3详解】
解：设，
①当点H在线段上时，连接，如图，
由（2）知：，，
∴，
∵正方形的边长为6，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得：，
∴；
②当点H在线段的延长线上时，连接，如图，
由（2）知：，，
∴，
∵正方形的边长为6，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得：．
∴．
综上，的长为3或．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
芒果树叶的长宽比
3.7
3.7
4.0
3.4
3.9
3.5
3.6
3.9
3.6
3.9
荔枝树叶的长宽比
2.0
2.0
2.0
2.4
1.8
1.9
1.8
2.0
1.4
1.9
平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶的长宽比
3.72
3.9
0.0356
荔枝树叶的长宽比
1.95
0.0556
线上销售水果重量
线下销售水果重量
总收入
第一批
40
60
1380
第二批
60
40
1320