内蒙古自治区鄂尔多斯市康巴什区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份内蒙古自治区鄂尔多斯市康巴什区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共24页。试卷主要包含了本试卷共6页，满分120分，答题时，将答案写在答题卡上，考试结束后，将答题卡交回即可等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．
2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将答题卡交回即可．
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴=0，
∴，
解得，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．
2. 若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例线段的定义：对于四条线段，如果两条线段的比与另外两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段成比例，得出，将，及的值代入即可求得．
【详解】解：∵，，，成比例线段，
∴可得：，
又∵，，，
∴，
解得：，
∴线段的长为．
故选：B
【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解本题的关键．
3. 有五张形状、大小、质地都相同的卡片，上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④菱形；⑤圆，将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了随机事件的概率，轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．如果所有的事件共有n种情况，其中事件A共有m种情况，则事件A发生的概率是．
【详解】解：这5个图形中线段、菱形和圆既是轴对称图形又是中心对称图形，
5个图形中有3个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，
所以从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是．
故选：C．
4. 如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得到，此时点D在边上，斜边交边于点F，则旋转的角度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转性质以及等边三角形的判定和性质，根据题意得，由旋转的性质得，且为旋转角，即可判定为等边三角形，即可求得旋转角．
【详解】解：∵，，
∴，
∵绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得到，此时点D在边上，
∴，且为旋转角，
∴为等边三角形，
∴，
即旋转的角度为．
故选：B．
5. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心把缩小到原来的则点B的对应点的坐标是（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
根据位似变换的性质，把的横纵坐标乘以或，计算即可．
【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，点B的坐标为，
∴点B的对应点的坐标为或，
即或．
故选：D．
6. 已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（ ）
A. 5B. C. 5或1D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】将往右平移m个单位后得到，由此即可求解．
详解】解：比较抛物线与抛物线，
发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式，
∵与轴的一个交点是，与轴有两个交点，，
∴当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=1，
当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=5，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的平移规律，左右平移时y值不变，x增大或减小，由此即可求解．
7. 如图，内接于⊙，连接，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接OB，由2∠C=∠AOB，求出∠AOB，再根据OA=OB即可求出∠OAB．
【详解】连接OB，如图，
∵∠C=46°，
∴∠AOB=2∠C=92°，
∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OAB=∠OBA=×88°=44°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出∠AOB=2∠C=92°是解答本题的关键．
8. 某市要组织一次青少年排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每一天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛.（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】设应邀请个队参赛，每个队参赛场，总共进行场比赛，根据题意可列出一元二次方程求解.
【详解】设应邀请个队参赛，由题意得
解得，
球队数量不能为负数，所以取，故选D.
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解决本题的关键是找到个队的参赛场数，需要注意2个队伍比赛一场，则个队比赛场数为.
9. 如图，已知正方形，点E为的中点，连接交于F，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
10. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
下列结论不正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线与x轴的一个交点坐标为D. 函数的最大值为
【答案】C
【解析】
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可
【详解】解：由题意得，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，该函数的最大值为，故A、B、D说法正确，不符合题意；
令，则，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答聚填在答题卡上对应的横线上．
11. 若点与点关于原点对称，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征、求代数式的值，根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得出，，再代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：点与点关于原点对称，
，，
，
故答案为：．
12. 如图，在中，是边上的高，且．若，，则的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理和解一元一次方程，根据题意得，结合题意得到关于的一元一次方程，即可求得的长．
【详解】解：∵是边上的高，
∴．
∵，
∴，
则，解得，
故答案为：．
13. 某鱼塘里养了100条鲤鱼，若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为______条．
【答案】150
【解析】
【分析】本题考查了频率估计概率和分式方程的应用，根据大量重复试验中的频率估计出概率，利用概率公式列出方程，即可求得草鱼的数量．
【详解】解：∵通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，
∴捕捞到草鱼的概率约为，
设该鱼塘中有草鱼x条，
根据题意得：，解得：，
经检验是原方程的解，符合题意．
∴该鱼塘中草鱼的数量为150条．
故答案为：150．
14. 如图，四边形为正方形，且边长为4，点E是边上一点以为直径的半圆切于点F，则的长为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的切线性质，正方形的性质以及勾股定理，设的长为x，根据圆的切线性质可求得，，则有，，利用勾股定理即可求得．
【详解】解：设的长为x，
∵四边形为正方形，
∴，
∵为直径，
∴和是的切线，
∵是切线，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
则的长为1．
故答案为∶1．
15. 已知二次函数的图象开口向上，且与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C，点C关于x轴的对称点为点D．若四边形为正方形，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质和正方形的性质，根据题意得点和，得到抛物线的对称轴为直线，设顶点C的坐标为，结合正方形的性质得点或，把C点的坐标代入二次函数解得即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点，
∴，，
∴抛物线的对称轴为直线，
设顶点C的坐标为，
∵四边形为正方形，
∴，
则或，
把C点的坐标代入得：或，解得：，
∵抛物线图象开口向上，
∴，
故答案为：．
16. 如图，是的边的垂直平分线，垂足为点O，与的延长线交于点E．连接，，，与交于点F，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中正确的结论有______．(填写所有正确结论的序号)
【答案】①②③④
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定及性质，根据菱形的判定、平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质一一判断即可．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：由题意可知，，，．
∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故①正确，
∴，
则，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，故④正确，
综上，正确的有①②③④；
故答案为：①②③④．
三、解答题：本大题共有7小题，共72分，请将必要的文字说明，计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
17. 解方程：
（1）（配方法）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程．
（1）按照配方法的步骤解方程即可．
（2）按照提公因式法解方程即可．
【小问1详解】
解：
，
则，
故，
【小问2详解】
，
，
则或，
解得：，．
18. 如图所示，甲、乙两个带指计的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是，，8，转盘乙上的数字分别是，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
（1）转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是______．
（2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表或画树状图求满足的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
（1）根据转盘甲被分为份，其中1份标有正数，即可求出；
（2）用列表法列出同时转到两个转盘，指针所指的数字所有可能出现的结果，共有种等可能出现的结果，其中两个转盘指针所指数字满足的结果有种，即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵转盘甲被分为份，其中1份标有正数，
∴转动转盘甲次，指针指向负数的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
同时转到两个转盘，指针所指的数字所有可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中两个转盘指针所指数字满足的结果有3种，
（两个转盘指针所指数字满足）
19. 已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值．
【答案】（1）详见解析；（2）p=±1．
【解析】
【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，
x2﹣5x+6﹣p2=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2，
∵无论p取何值时，总有4p2≥0，
∴1+4p2＞0，
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，
∵，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，
∴52=5（6﹣p2），
∴p=±1．
20. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为 (如图)．
（1）若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】（1）
（2）当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，
由，求得，，根据矩形养殖场的总面积列一元二次方程，解方程即可求解；
设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵，矩形的面积是矩形面积的2倍，
∴，即，，
依题意得：，解得：，，
经检验当，，不合题意，舍去，
即x的值为；
【小问2详解】
设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：，
∵墙的长度为，
∴，解得，
∵，
∴在时，S随着x的增大而增大，
∴当时，S有最大值，最大值为，
即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
21. 如图，在中，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交于点F，是的切线．
（1）求证：，
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）答案见解析
（2）13
【解析】
【分析】（1）连结，根据切线的性质得到，可进一步证明，在根据等腰三角形的性质及平行线的性质，即可证明结论；
（2）连结，，设，则，根据直径所对的圆周角是直角，得到，，在利用等腰三角形三线合一性质证明，同时可证得，得到，求得，，，最后根据勾股定理列方程并求解，即得答案．
小问1详解】
证明：如图，连结，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
如图，连结，，
设，则，
为直径，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
解得，
．
的半径为13．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理的推论，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
22. 如图，正方形中，点E、F分别在正方形的边、上，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，点F的对应点是点G，连接．
（1）如图①，当点G在边上，且，时，求．
（2）如图②，若E是的中点，与相交于点H，连接．求证：平分．
（3）如图③，若点F和点B重合，、分别交于点M、N，连接．求证：．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先根据正方形的性质，得到，然后利用直角三角形的性质推得，再根据全等三角形的判定得到，从而求得的长，最后根据勾股定理计算即得答案；
（2）延长和相交于点P，先根据正方形的性质，证明，然后证明，得到，再根据线段垂直平分线的性质，证得，从而得到，即得答案；
（3）过点G作，交的延长线于点Q，先证明，得到，，进一步推得，从而可得，继续推理可证明，得到，即可得到答案．
【小问1详解】
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
延长和相交于点P，
E是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即平分；
【小问3详解】
过点G作，交的延长线于点Q，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
23. 已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），；（3）或或或
【解析】
【分析】（1）将、、代入即可求解析式；
（2）过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，由，可得，则求的最大值即可；
（3）分三种情况讨论：当时，过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，可证明，求出；当时，过点作轴交于点，可证明，求出；当时，线段的中点，设，由，可求或．
【详解】解：（1）将点、、代入，
得，
解得，
；
（2）如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
；
（3），点在上，
如图2，当时，
过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图3，当时，
过点作轴交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图4，当时，
线段的中点，，
设，
，
，
或，
或；
综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键．x
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