山东省日照市五莲县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省日照市五莲县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
（满分120分，时间100分钟）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上填写自己的学校、姓名、考号、座号等信息，用2B铅笔填涂相应位置．答题过程中，请保持答题卡的整洁．
2．第Ⅰ卷共12小题，每小题选出答案后，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净后，再改涂其他答案标号．只能涂在答题卡上，答在试卷上无效．
3．第Ⅱ卷共10小题，所有题目的答案，考生须用0.5毫米的黑色签字笔答在答题卡上各题目指定的区域内，在试卷上答题无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题：本大题共12个小题；每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上．
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关概念是解题关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义即可判断．
【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
2. 若正比例函数与反比例函数的图像一个交点为，则另一个交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握反比例函数的对称性是解题的关键．反比例函数的图像是中心对称图形，即反比例函数图像与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此即可获得答案．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称，
又∵两函数图像的一个交点为，
∴另一个交点的坐标为．
故选：C．
3. 三角形两边长分别2和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A. 8或12B. 8或9C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是求出利用三角形三边关系求出第三边长．根据一元二次方程的解法即可求出第三边，然后根据三角形的三边关系即可求出周长．
【详解】解：由，
解得：或，
当第三边长为2时，
由三角形三边关系可知：，
故不能组成三角形，
当第三边为3时，
由三角形三边关系可知：，能够组成三角形，
这个三角形的周长为：，
故选：C
4. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可求出，再根据三角形相似的判定定理结合各选项逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即．
A．由，，则可通过两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明，故该选项不符合题意；
B．由，，则可通过两角分别对应相等的两个三角形相似证明，故该选项不符合题意；
C．由，，则可通过两角分别对应相等的两个三角形相似证明，故该选项不符合题意；
D．由，，可知两边对应成比例，但其夹角不是和，故不能证明，故该选项符合题意．
故选D．
5. 如图，、分别与相切于、两点，，点是劣弧上异于点、的一点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，在优弧上取点，连接，，，，由切线的性质求得，由多边形内角和定理求得，在根据圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求得答案．熟练掌握相关定理是解决问题的关键．
【详解】解：如图，在优弧上取点，连接，，，，
∵、切于点、，
∴，
∵，
∴，
由圆周角定理可得：，
∴，
故选：D．
6. 如图，分别是的边上的点，且，相交于点，若，，则（ ）
A. 8B. 9C. 12D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先根据面积法求出，再得出，得出，求出，得出，根据即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7. 如图，点是上的点，连接，过点作交于点，连接，已知半径为3，则图中阴影面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，根据圆周角定理可得，再由，可得，从而得到阴影面积等于扇形的面积，即可求解．属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影面积等于扇形的面积，
∴阴影面积等于．
故选：A．
8. 从中随机任取一个数作为的值，能使直线与抛物线有两个不同交点的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根与系数的关系，求概率，解题的关键是根据直线与抛物线有两个不同交点时，然后根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：令，
整理得：，
要使使直线与抛物线有两个不同交点，则，
解得：，
∴从中随机任取一个数作为的值，当或3时直线与抛物线有两个不同交点，
∴能使直线与抛物线有两个不同交点的概率为，
故选：B．
9. 下列结论中正确的个数是（ ）
①二次函数顶点坐标为；②反比例函数，当时，；③三角形内心为三角形角平分线交点；④圆中长度等于半径的弦所对的圆周角为．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数性质、反比例函数性质、三角形内心及圆周角的有关性质，解题的关键是掌握二次函数性质、反比例函数性质、三角形内心及圆周角的有关性质，根据二次函数性质、反比例函数性质、三角形内心及圆周角的有关性质逐项判断．
【详解】解：①二次函数顶点坐标为，故①正确；
②反比例函数，当时，或，故②错误；
③三角形内心为三角形角平分线交点，故③正确；
④圆中长度等于半径的弦所对的圆周角为或，故④错误；
故选：B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切，点、在轴上，且，点为上的动点，，则长度的最大值为（ ）
A. 20B. 18C. 16D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理．熟练掌握切线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵，以点为圆心的圆与轴相切，
∴的半径为3，
如图，连接，
∵，，
∴，
∴当最大时，最大，
如图，连接交于，
由勾股定理得，，
∴，
∴长度的最大值为，
故选：C．
11. 已知是关于的一元二次方程的两实数根，则代数式的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据二次根式的性质以及关于的一元二次方程有两个实数根，可列出关于的不等式组，求解即可获得的取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系可得，；设，求得关于的函数解析式，然后根据二次函数的图像与性质解得的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，是关于的一元二次方程的两实数根，
∴，
解得，
又∵，，
设，
∴
，
∴此关于的函数图像开口向上，对称轴为，
∵，
∴当时，可有，
当时，可有，
∴的取值范围是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、二次根式的性质、解不等式组、一元二次方程根与系数的关系以及二次函数的图像与性质等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
12. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中；①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质， 将代入得，根据抛物线的对称轴得，进而可得，，，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④．解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．
【详解】解：将代入，可得，
∵二次函数图象的对称轴为直线，则，
∴，即：，，
∴
故①错误；
二次函数图象的对称轴为直线，
点到对称轴的距离分别为：4，1，3，
，
图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
，
故②错误；
二次函数图象的对称轴为直线，
，
又，
，
，
当时，y取最大值，最大值为，
即二次函数的图象的顶点坐标为，
若m为任意实数，则
故③正确；
二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，
与x轴的另一个交点坐标为，
的图象向上平移一个单位长度，即为的图象，
的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧，
若方程的两实数根为，且，则，
故④正确；
综上可知，正确的有③④，共2个
故选B．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题：本大题共4个小题；每小题4分，共16分．把答案写在答题卡横线上．
13. 将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的函数图象的解析式是______；
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
【详解】解：的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得，
故答案为：．
14. 一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是______．
【答案】90°．
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的4倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，圆锥母线长为，弧长为，扇形面积为，底面积为，圆心角为，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
故答案为.
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题关键要抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
15. 如图，为等边三角形，点分别在边上，，若，，则的长为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义和性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明并利用相似三角形的性质求解是解题关键．设，则，结合等边三角形的性质以及三角形外角的性质可得，，进而证明，由相似三角形的性质可得，代入数值即可获得答案．
【详解】解：设，则，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得．
故答案：8．
16. 如图，矩形顶点分别在轴和轴上，直线解析式为，双曲线经过矩形顶点和矩形对角线的交点，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】过点C作轴于点F，先求出，，设点C的坐标为，根据中点坐标公式求出点坐标为，根据点E在反比例函数的图象上，得出，求出，得出，证明，得出，求出即可．
【详解】解：过点C作轴于点F，如图所示：
把代入得：，
把代入得：，
解得：，
∴，，
设点C的坐标为，
∵点E为矩形对角线和的交点，
∴为的中点，
∴点坐标为，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴，
整理得：，
∴，
∵在矩形中，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
经检验是原方程的根．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，一次函数的性质，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握相关的性质，作出辅助线，构造相似三角形．
三、解答题：本大题共6小题；共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 用合适的方法解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法及根据每个方程的特点恰当选择解法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法解方程．
【小问1详解】
，
，
，
，
或，
解得：，；
【小问2详解】
移项得：
配方得：
开方得：
解得：，；
18. 2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：
（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；
（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
【答案】（1）40，补图详见解析；（2）108°；（3）．
【解析】
【分析】（1）由一等奖人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去一等奖、三等奖人数求出二等奖人数即可补全图形；
（2）用360°乘以二等奖人数所占百分比可得答案；
（3）画出树状图，由概率公式即可解决问题．
【详解】解：（1）本次比赛获奖的总人数为4÷10%＝40（人），
二等奖人数为40﹣（4+24）＝12（人），
补全条形图如下：
（2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为360°×＝108°；
（3）树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是＝．
【点睛】此题主要考查统计图的运用及概率的求解，解题的关键是根据题意列出树状图，再利用概率告诉求解.
19. 某经销商购进一款成本为20元的水杯，据市场调查发现，水杯每天的销售量（个）与销售单价（元）满足一次函数关系
（1）若该经销商每天想从这款水杯销售中获利300元，又想尽量减少库存，这款水杯的销售单价应定为多少元？
（2）若销售单价不低于25元，且每天至少销售28件，设该水杯每天的总利润为（元），那么销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】（1）元
（2）当销售单价定为元时，该经销商销售该水杯的总利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
（1）由总利润每件利润数量列出方程，解方程取符合题意解即可；
（2）先算出x的范围，再根据总利润每件利润数量列出函数关系式，根据二次函数性质可得答案．
【小问1详解】
由题意得，
，
解得：，，
想尽量减少库存，
，
答：这款水杯的销售单价应定为元．
【小问2详解】
由题意得
因为销售单价不低于25元，
，
∵每天销量至少28件，
，
，
，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，取得最大值，元．
答：当销售单价定为元时，该经销商销售该水杯的总利润最大，最大利润是元．
20. 如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接、，过点D作的平行线与的延长线相交于点P．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出即可得出结论；
（2）先判断出，再判断出，即可得出结论；
（3）先求出，再判断出，利用勾股定理求出，最后用得出比例式求解即可得出结论．
【小问1详解】
证明：连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴是的切线；
【小问2详解】
证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：∵是直径，
∴，
∵，，
由勾股定理得：，
由（1）知，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键．
21. 【问题呈现】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接，则与的数量关系为______；
【类比探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，则______；
【拓展提升】
（3）如图3，和都是直角三角形，，连接，
①求的值；
②延长交于点，交于点，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【解析】
【分析】（1）证明，从而得出结论；
（2）证明，进而得出结果；
（3）①证明可得，，进而证明，即可得到答案；②由，得出，进而得出．
【详解】（1）解：和都是等边三角形，
,,，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）①，，
，，，
由勾股定理得，，，
，，
，
，
，
；
②由①得：，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
22. 如图1，已知抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与轴的另一个交点为，经过两点作直线，点为第二象限内抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求面积最大值及此时点坐标；
（3）如图2，点也是第二象限抛物线上一个动点，直线交于点，是否存在这样的点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）的面积最大，此时点D坐标为
（3）存在，点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）先求出，再设，把代入得，求得：，即可求得二次函数关系式；
（2）作轴，交直线于点E，先求出直线的解析式为，再设设，从而求得，，进而求出二次函数的最值与点D的坐标即可；
（3）先求出，，直线解析式为，再分及两种情况进行求解即可．
【小问1详解】
∵抛物线经过两点，且对称轴为直线，
∴，
设，把代入得，，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
如图1，作轴，交直线于点E，
设直线的函数解析式为，可得：
，解得：
可得直线的解析式为，
设，
∴，
∴，
∴的面积，
∵，
∴时的面积最大，此时点D坐标为；
【小问3详解】
存在，理由如下：
，，
，
，，
，
设直线解析式为，
，，
，
解得：，
直线解析式为，
当，，
直线的解析式为，
结合抛物线的解析式为，得：，
解得：（舍去），，
坐标；
当时
，
，
如图，过点作轴于点，
，
，
，
设直线解析式为，将代入，
得：，
直线解析式为，
结合抛物线的解析式为，得：，
解得：，
，
综上，点的坐标为或
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数、二次函数、轴对称、相似三角形等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是综合运用上述知识点解决问题．