+河南省南阳市新野县2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份+河南省南阳市新野县2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在实数1、﹣1、、中，最大的数是（ ）
A．1B．﹣1C．D．
2．（3分）下列各式运算正确的是（ ）
A．a2+2a3＝3a5B．a2•a3＝a6
C．（﹣a2）4＝﹣a8D．a8÷a2＝a6
3．（3分）空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是（ ）
A．条形统计图B．折线统计图
C．扇形统计图D．频数分布直方图
4．（3分）已知a﹣b+2＝5，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
5．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE＝8，CF＝6，则EF的长是（ ）
A．4B．2.5C．1.5D．2
6．（3分）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，△ABC的面积为（ ）
A．B．C．或D．15
7．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（ ）
A．9B．8C．7D．6
8．（3分）如图是一块长方体木块，长BC＝5cm，宽CD＝4cm，高DD1＝5cm，棱DD1上的点P处有一滴蜂蜜，DP＝3cm，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点B处，沿着长方体的表面爬行到点P处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．B．C．D．10cm
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，CD＝1，且∠BCD＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（ ）
A．30°B．n°
C．n°或180°﹣n°D．30°或150°
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）分解因式：x3﹣9x＝ ．
13．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是 （只填序号）．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是 ．
三、解答题（共8小题）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简[（﹣ab2）3+ab2•（ab）2﹣2b2]÷（﹣2b）2．
17．（8分）先化简，再求值：（2x+1）（1﹣2x）﹣2（x+2）（x﹣4）+（2x﹣1）2，其中x＝﹣．
18．（9分）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
19．（9分）为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了m名学生，将一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下的统计图和统计表：
请结合上述信息完成下列问题：
（1）m＝ ，a＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是 ；
（4）若该校有1600名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生一分钟跳绳次数达到合格及以上．
20．（9分）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A、C、D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连接AE，当 BC＝5，AB＝12时，求△ADE的DE边上的高．
21．（9分）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
22．（10分）如图是盼酚家新装修的房子，其中两个房间甲、乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．
（1）当他在甲房间时，测得MA＝2.4 米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求甲房间的宽AB；
（2）当在乙房间时，他用另一个梯子，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．
①∠MPN 的度数；
②求乙房间的宽．
23．（11分）如图1，已知△ABC和△DCE为等腰直角三角形，按如图的位置摆放，直角顶点C重合．
（1）直接写出AD与BE的关系；
（2）将△DCE按如图2的位置摆放，使点A、D、E在同一直线上，求证：AE2+AD2＝2AC2；
（3）将△DCE按如图3的位置摆放，使∠CBD＝45°，AC＝6，BD＝3，求BE的长．
2023-2024学年河南省南阳市新野县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）.下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（3分）在实数1、﹣1、、中，最大的数是（ ）
A．1B．﹣1C．D．
【解答】解：∵，
∴，
∴最大的数是，
故选：D．
2．（3分）下列各式运算正确的是（ ）
A．a2+2a3＝3a5B．a2•a3＝a6
C．（﹣a2）4＝﹣a8D．a8÷a2＝a6
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项不符合题意；
C、应为（﹣a2）4＝（﹣1）4a8＝a8，故本选项不符合题意；
D、a8÷a2＝a8﹣2＝a6，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是（ ）
A．条形统计图B．折线统计图
C．扇形统计图D．频数分布直方图
【解答】解：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是扇形统计图．
故选：C．
4．（3分）已知a﹣b+2＝5，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【解答】解：∵a﹣b+2＝5，
∴a﹣b＝3，
∴a2﹣b2﹣6b
＝（a+b）（a﹣b）﹣6b
＝3（a+b）﹣6b
＝3a﹣3b
＝3（a﹣b）
＝3×3
＝9．
故选：C．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE＝8，CF＝6，则EF的长是（ ）
A．4B．2.5C．1.5D．2
【解答】解：∵BD平分∠ABC，BE＝8，CF＝6，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴EB＝ED＝8，
同理可得FD＝FC＝6，
∴EF＝EO﹣FO
＝EB﹣FC
＝8﹣6
＝2．
故选：D．
6．（3分）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，△ABC的面积为（ ）
A．B．C．或D．15
【解答】解：当AC＝AB＝4时，
过A作AE⊥BC，交BC于点E，
，
∵BC＝6，
∴BE＝CE＝3，
由勾股定理，AE＝＝，
S△ABC＝×AE×BC＝3，
当CA＝CB＝6时，
∵AC不满足小于AD+CD，
∴此种情况不存在，
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（ ）
A．9B．8C．7D．6
【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵BD＝CD，
∴BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，
∴2∠BAD+2∠DAC＝180°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10，
∴AB＝＝＝6，
故选：D．
8．（3分）如图是一块长方体木块，长BC＝5cm，宽CD＝4cm，高DD1＝5cm，棱DD1上的点P处有一滴蜂蜜，DP＝3cm，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点B处，沿着长方体的表面爬行到点P处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．B．C．D．10cm
【解答】解：如图1，
PB＝＝3（cm），
如图2，
PB＝＝（cm）；
如图3，
BP＝＝（cm），
∵3＞，
∴蚂蚁需要爬行的最短路径的长为cm．
故选：A．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，CD＝1，且∠BCD＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵∠BCD＝90°，BC＝2，CD＝1，
∴BD＝＝，
∵AB＝3，AD＝，
∴AB2+BD2＝AD2，
∴∠ABD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•BD+BC•CD
＝×3×+×2×1
＝+1．
故选：A．
10．（3分）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（ ）
A．30°B．n°
C．n°或180°﹣n°D．30°或150°
【解答】解：当BC＝B′C′时，△ABC≌△A′B′C′（SSS），
∴∠C′＝∠C＝n°，
当BC≠B′C′时，如图，
∵A′C′＝A′C″，
∴∠A′C″C′＝∠C′＝n°，
∴∠A′C″B′＝180°﹣n°，
∴∠C′＝n°或180°﹣n°，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ ﹣1 ．
【解答】解：＝＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．（3分）分解因式：x3﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．
【解答】解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
13．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是 ② （只填序号）．
【解答】解：∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB
∴若添加①∠A＝∠D，则可由AAS判定△ABC≌△DCB；
若添加②AC＝DB，则属于边边角的顺序，不能判定△ABC≌△DCB；
若添加③AB＝DC，则属于边角边的顺序，可以判定△ABC≌△DCB．
故答案为：②．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝ 5 ．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥BC，
∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC＝BE＝6，
在Rt△ABC中，＝＝10，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴AD＝8﹣x＝5．
故答案为：5．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是 15°或75° ．
【解答】解：如图所示，
当点P在点B的左侧时，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP1，
∴∠CAP1＝∠CP1A＝＝＝55°，
∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；
当点P在点C的右侧时，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP2，
∴∠CAP2＝∠CP2A＝＝＝35°，
∴∠BAP2＝∠CAP2+∠CAB＝35°+40°＝75°；
由上可得，∠BAP的度数是15°或75°，
故答案为：15°或75°．
三、解答题（共8小题）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简[（﹣ab2）3+ab2•（ab）2﹣2b2]÷（﹣2b）2．
【解答】解：（1）
＝2+9+3﹣9﹣
＝；
（2）[（﹣ab2）3+ab2•（ab）2﹣2b2]÷（﹣2b）2
＝（﹣a3b6+ab2•a2b2﹣2b2）÷4b2
＝（﹣a3b6+a3b4﹣2b2）÷4b2
＝﹣．
17．（8分）先化简，再求值：（2x+1）（1﹣2x）﹣2（x+2）（x﹣4）+（2x﹣1）2，其中x＝﹣．
【解答】解：（2x+1）（1﹣2x）﹣2（x+2）（x﹣4）+（2x﹣1）2，
＝1﹣4x2﹣2（x2﹣4x+2x﹣8）+4x2﹣4x+1
＝1﹣4x2﹣2x2+8x﹣4x+16+4x2﹣4x+1
＝﹣2x2+18，
当x＝﹣时，原式＝﹣2×（﹣）2+18
＝﹣2×3+18
＝﹣6+18
＝12．
18．（9分）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
【解答】解：验证：10的一半为5，
5＝1+4＝12+22，
探究：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．理由如下：
（m+n）2+（m﹣n）2
＝m2+2mn+n2+m2﹣2mn+n2
＝2m2+2n2
＝2（m2+n2），
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
19．（9分）为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了m名学生，将一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下的统计图和统计表：
请结合上述信息完成下列问题：
（1）m＝ 40 ，a＝ 14 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是 108° ；
（4）若该校有1600名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生一分钟跳绳次数达到合格及以上．
【解答】解：（1）m＝10÷25%＝40，
a＝40﹣4﹣12﹣10＝14．
故答案为：40，14；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是，
故答案为：108°；
（4）（名），
答：估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为1440名．
20．（9分）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A、C、D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连接AE，当 BC＝5，AB＝12时，求△ADE的DE边上的高．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（AAS）．
（2）解：作AF⊥DE交DE的延长线于点F，
∵∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，
∴AC＝DE＝＝＝13，
∵△ABC≌△DCE，
∴BC＝CE＝5，AB＝DC＝12，
∴AD＝AC+DC＝13+12＝25，
∵∠DCE＝90°，
∴CE⊥AD，
∴DE•AF＝AD•CE＝S△ADE，
∴×13AF＝×25×5，
解得AF＝，
∴△ADE的DE边上的高是．
21．（9分）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
【解答】证明：如图，连接BF，
∵AC＝b，
∴正方形ACDE的面积为b2，
∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，
∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，
∵∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝90°，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠EAF+∠BAE＝90°，
∴△BAE为等腰直角三角形，
∴四边形ABDF的面积为：c2+（b﹣a）（a+b）＝c2+（b2﹣a2），
∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，
∴b2＝c2+（b2﹣a2），
∴b2＝c2+b2﹣a2，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2．
22．（10分）如图是盼酚家新装修的房子，其中两个房间甲、乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．
（1）当他在甲房间时，测得MA＝2.4 米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求甲房间的宽AB；
（2）当在乙房间时，他用另一个梯子，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．
①∠MPN 的度数；
②求乙房间的宽．
【解答】解：（1）由题意得：MP＝PN，MA⊥AB，NB⊥AB，
∴∠MAB＝∠NBA＝90°，
∴∠AMP+∠APM＝90°，
在Rt△MAP中，MA＝2.4 米，MP＝2.5米，
∴AP＝＝＝0.7（米），
∵∠MPN＝90°，
∴∠APM+∠BPN＝180°﹣∠MPN＝90°，
∴∠AMP＝∠BPN，
∴△MAP≌△PBN（AAS），
∴MA＝PB＝2.4米，
∴AB＝AP+BP＝0.7+2.4＝3.1（米），
∴甲房间的宽AB为3.1米；
（2）①∵∠MPA＝75°，∠NPB＝45°，
∴∠MPN＝180°﹣∠MPA﹣∠NPB＝60°，
∴∠MPN 的度数为60°；
②过点N作NC⊥AM，垂足为N，
∴∠MCN＝90°，
由题意得：MP＝NP，
∵∠MPN＝60°，
∴△MPN是等边三角形，
∴MN＝MP，∠PMN＝60°，
∵∠MAP＝90°，∠APM＝75°，
∴∠AMP＝90°﹣∠APM＝15°，
∴∠CMN＝∠AMP+∠PMN＝75°，
∴∠CMN＝∠APM＝75°，
∵∠MCN＝∠MAP＝90°，
∴△MAN≌△NCM（AAS），
∴CN＝AM＝2.8米，
∴乙房间的宽为2.8米．
23．（11分）如图1，已知△ABC和△DCE为等腰直角三角形，按如图的位置摆放，直角顶点C重合．
（1）直接写出AD与BE的关系；
（2）将△DCE按如图2的位置摆放，使点A、D、E在同一直线上，求证：AE2+AD2＝2AC2；
（3）将△DCE按如图3的位置摆放，使∠CBD＝45°，AC＝6，BD＝3，求BE的长．
【解答】（1）解：结论：AD＝BE且AD⊥BE．
理由：如图1中，延长AD交BC一点O，交BE于点H．
∵△ACB和△DCE为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠ECB，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CAO＝∠OBH，
∵∠AOC＝∠BOH，
∴∠OHB＝∠ACO＝90°，
∴AD⊥BE．
（2）证明：如图2中，设AE交BC于O．
由（1）可知△ACD≌△BCE，
∴∠CAO＝∠EBO，AD＝BE，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BEO＝∠ACO＝90°，
∴AE2+BE2＝AB2，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴AB＝AC，
∴2AC2＝AE2+AD2；
（3）解：如图③中，连接AD，
∵CA＝CB＝6，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，AB＝6，
∵∠CBD＝45°，
∴∠ABD＝90°，
∵BD＝3，AB＝6，
∴AD＝＝＝9，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
∴BE＝9．
等级
次数
频数
不合格
100≤x＜120
4
合格
120≤x＜140
a
良好
140≤x＜160
12
优秀
160≤x＜180
10
等级
次数
频数
不合格
100≤x＜120
4
合格
120≤x＜140
a
良好
140≤x＜160
12
优秀
160≤x＜180
10