06函数模型的应用-重庆市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习(人教A版,2019新版)
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这是一份06函数模型的应用-重庆市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习(人教A版,2019新版),共16页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题
1.(2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末)南非在2021年11月9日检测出首例新冠病毒变异毒株“奥密克戎”,短短一周时间,从11月10日新增感染300人到11月16日新增感染1万人,若新增感染人数y与时间(第x天)可以表示为函数(为正实数),则第四天新增感染人数约为( )(参考数据:)
A.5485B.4018C.2143D.1765
2.(2022上·重庆·高一校联考期末)基本再生数与世代间隔是流行病学基本参数,基本再生数是指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指两代间传染所需的平均时间,在型病毒疫情初始阶段,可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间(单位:天)的变化规律,指数增长率与、近似满足,有学者基于已有数据估计出,.据此,在型病毒疫情初始阶段,累计感染病例数增加至的4倍,至少需要( )(参考数据:)
A.6天B.7天C.8天D.9天
3.(2022上·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末)新冠肺炎疫情防控中,核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段. 某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天,每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时(单位:小时)与大致服从的关系为(为常数).已知第天检测过程平均耗时为小时,第天和第天检测过程平均耗时均为小时,那么可得到第天检测过程平均耗时为( )
A.小时B.小时C.小时D.小时
4.(2022上·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末)如图,某池塘里浮萍的面积(单位:)与时间(单位:月)的关系为.关于下列说法错误的是( )
A.浮萍每月的增长率为1
B.第6个月时,浮萍面积就会超过
C.浮萍每月增加的面积都相等
D.若浮萍蔓延到,,所经过的时间分别是,,,则
5.(2021上·重庆·高一校联考期末)某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量Q(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系为,其中,k是正的常数.如果在前4h消除了20%的污染物,那么h后还剩( )污染物.
A.B.C.D.
6.(2021上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解.例如,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震级数M之间的关系式为.2020年12月29日19时19分在克罗地亚发生6.5级地震它所释放出来的能量大约是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生5.1级地震的( )倍
A.65B.100C.126D.349
7.(2020上·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末)声音的等级(单位:)与声音强度(单位:)满足.喷气式飞机起飞时,声音的等级约为;一般说话时,声音的等级约为.那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的( )
A.倍B.倍
C.倍D.倍
8.(2023上·重庆·高一重庆一中校考期中)宇宙之大,粒子之微,无处不用到数学.2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”,光速约为米每秒,1阿秒等于秒.现有一条50厘米的线段,第一次截去总长的一半,以后每次截去剩余长度的一半,需要截( )次才能使其长度小于光在1阿秒内走的距离.(参考数据:)
A.30B.31C.32D.33
9.(2020上·重庆·高一校联考期中)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害.为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入资金200万元,搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入资金40万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P(单位:万元)、种黄瓜的年收入Q(单位:万元)与各自的投入资金,(单位:万元)满足,.设甲大棚的投入资金为x(单位:万元),每年两个大棚的总收入为(单位:万元),则总收入的最大值为( )
A.282万元B.228万元C.283万元D.229万元
10.(2021上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期中)某工厂要在一个正三角形ABC的钢板上切割一个四边形的材料DCEF来加工,若AB=2,DC=,DCEF(如图),则四边形DCEF面积最大值为( )
A.B.C.D.
11.(2018上·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期中)东方旅社有张普通客床,每床每夜收租费元时,客床可以全部租出,若每床每夜收费提高元,便减少张床租出,再提高元,又再减少张床租出,依此变化下去,为了投资少而获利大,每床每夜应收取租金( )
A.元B.元C.元或元D.元
二、填空题
12.(2024上·重庆·高一校联考期末)由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈,美国加大了对我国一些高科技公司的打压,为突破西方的技术封锁和打压,我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”,实现芯片国产化,加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划在2024年全年投入芯片制造研发资金60亿元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长,则该公司全年投入的研发资金开始超过100亿元的年份是 .
(参考数据:,,)
13.(2022上·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末)为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水,实行“阶梯水价”.计算方法如下表:
若某户居民本月交纳的水费为90元,则此户居民本月用水量为 .
14.(2023上·重庆·高一重庆巴蜀中学校考期中)已知某种果蔬的有效保鲜时间(单位:小时)与储藏温度(单位:)近似满足函数关系(,为常数,为自然对数底数),若该果蔬在的保鲜时间为216小时,在的有效保鲜时间为8小时,那么在时,该果蔬的有效保鲜时间大约为 小时.
三、解答题
15.(2024上·重庆·高一校联考期末)学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,每天能用于锻炼的课余时间有60分钟,现需要制定一个课余锻炼考核评分制度,建立一个每天得分与当天锻炼时间(单位:分)的函数关系.要求及图示如下:
①函数是区间上的增函数;
③每天运动时间为0分钟时,当天得分为0分;
④每天运动时间为20分钟时,当天得分为2分;
⑤每天运动时间为60分钟时,当天得分不超过5分.
现有以下三个函数模型供选择:
(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ).
(1)请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型,并求出函数的解析式;
(2)求每天得分不少于3分,至少需要锻炼多少分钟.(注:,结果保留整数).
16.(2024上·重庆长寿·高一统考期末)长寿工业园区某工厂产生的废水经过滤后排放,过滤过程中污染物含量y(单位:mg/L)与时间x(单位:h)间的关系为:, 其中m,k是正实数. 如果在前2h消除了10%的污染物.
(1)求k的值;
(2)若污染物剩余10%就达到排放标准,求污染物达到排放标准至少需要多少时间?
(精确到1h) (参考值: )
17.(2024上·重庆·高一校联考期末)为落实中央“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植,并计划今后20年内在此基础上,每年投入的研发资金数比上一年增长.(参考数据)
(1)以2021年为第1年,分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数,并写出第年该企业投入的研发资金数(万元)与的函数关系式以及函数的定义域;
(2)该企业从哪年开始投入的研发资金数将超过1200万元?
18.(2024上·重庆九龙坡·高一统考期末)某地方政府为鼓励全民创业,拟对本地产值在50万到500万元的新增小微企业进行奖励,奖励方案遵循以下原则:奖金(单位:万元)随年产值(单位:万元)的增加而增加,且资金不低于7万元,同时奖金不超过年产值的.
(1)若该地方政府采用函数作为奖励模型,当本地某新增小微企业年产值为92万元时,该企业可获得多少奖金?
(2)若该地方政府采用函数作为奖励模型,试确定最小正整数的值.
19.(2023上·重庆·高一重庆市实验中学校联考期中)党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革,培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革,现在准备从单一产品转为生产、两种产品,根据市场调查与市场预测,生产产品的利润与投资成正比,其关系如图①;生产产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②(注:所示图中的横坐标表示投资金额,单位为万元).
(1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式;
(2)该企业已筹集到12万元资金,并全部投入、两种产品的生产,问:怎样分配这12万元资金,才能使企业获得最大利润,最大利润是多少?
20.(2023上·重庆·高一重庆十八中校考期中)为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计费方法如下表:
(1)求用户每月缴纳水费(单位:元)与每月用水量(单位:)的函数关系式;
(2)随着生活水平的提高,人们对生活的品质有了更高的要求,经验表明,当居民用水量在一定范围内时,若随性用水,用水量增加,生活越方便;若时刻想着节约用水,生活也会麻烦.数据表明,人们的“幸福感指数”与缴纳水费及“生活麻烦系数”存在以下关系:(其中),当某居民用水量超过时,求该居民“幸福感指数”的最大值及此时的用水量
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元/
超过但不超过的部分
6元/
超过的部分
9元/
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元
超过但不超过的部分
6元
超过的部分
8元
参考答案:
1.D
【分析】代入数据计算,得到,计算得到答案.
【详解】,则,,解得,
第四天新增感染人数约为.
故选:D
2.B
【分析】根据题意将给出的数据代入公式即可计算出结果
【详解】因为,,,所以可以得到
,由题意可知,
所以至少需要7天,累计感染病例数增加至的4倍
故选:B
3.C
【分析】先求出函数的解析式,直接求即可.
【详解】由第天和第天检测过程平均耗时均为小时,则.
由第天检测过程平均耗时为小时,则,解得:,
由第天和第天检测过程平均耗时均为小时,则,解得,
所以
所以当n=8时,.
故选:C
4.C
【分析】由图象过(1,2)点,可得函数关系式y=2t.再由,可判断A;当t=6时,计算函数值可判断B;计算第二个月比第一个月增加量,和第三个月比第二个月增加量,比较可判断C;运用指数与对数互化得t1,t2,t3,可判断D.
【详解】图象过点点,,即
每月的增长率为,A正确;
当时,,B正确;
第二个月比第一个月增加
第三个月比第二个月增加,C错误;
,, ,,
,D正确.
故选:C.
5.B
【解析】根据前4h消除了20%的污染物求出的值,计算h后的污染量,进而可得答案.
【详解】当时,,初始污染物量为,
因为前4h消除了20%的污染物,
所以时,,
故,
解得,
过滤8个小时后剩余污染物:,
所以h后还剩初始污染物量的.
故选:B.
6.C
【解析】计算,得出的大致范围,确定正确选项.
【详解】由题意,
从而得:,而,
故选:C.
7.C
【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为,根据题意得出
,,就算出和的值,可计算出的值.
【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为,
由题意可得,解得,
,解得,
所以,
因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍.
故选:C
【点睛】本题主要考查对数函数模型的应用,同时也涉及到对数式与指数式的互化,考查计算能力,属于基础题.
8.B
【分析】根据已知得出截次后,剩余的长度米.然后列出不等式,两边同时取对数,结合换底公式以及已知数据,求解即可得出答案.
【详解】根据已知可得,光在1阿秒内走的距离为米.
截次后,剩余的长度米.
由可得,,
结合函数的单调性,两边同时取对数可得,
,
所以,.
所以,应当截31次.
故选:B.
9.A
【分析】由题意可知解析式,换元,令,得
,继而求其最大值.
【详解】由题意可知甲大棚的投入资金为x(单位:万元),乙大棚的投入资金为200-x(单位:万元),
所以,
由可得,
令,则,
,
所以当,即时总收入最大,最大收入为282万元.
故选:A.
10.B
【分析】作出高线,设EF=x,表达出高,四边形DCEF面积,配方求出最大值.
【详解】过点F作FG⊥BC于点G,因为DCEF,所以△AEF是等边三角形,设EF=x,,则AF=x,BF=2-x,所以,所以四边形DCEF面积为,故当时,取得最大值,最大值为.
故选:B
11.B
【分析】设每床每夜x元,收入为y,根据“若每床每夜收费提高2元,便减少10张床租出,”建立获利函数模型:,再由二次函数图像研究最值及取得最值的状态,即可求得答案.
【详解】设每床每夜元,收入为,()
一百张床位的条件下每张床元来的人最多.
若不存在提高一元的情况下,为了节省酒店的清洁电气等开支,则人少的情况下较好.
最为经济的是元每夜每床.
故选:B.
【点睛】本题主要考查函数模型的建立和应用,对于利润类型要多注意其构成要素和使用范围,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
12.2030
【分析】根据题意列不等式,即可根据对数的性质求解.
【详解】依题意,设还需要年,该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过100亿元,
则,故,
所以,又,
所以还需要6年,即2030年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过100亿元,
故答案为:2030.
13./20立方米
【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式,根据该关系式可求用水量.
【详解】设用水量为立方米,水价为元,
则,
整理得到:,
当时,;时,;
故某户居民本月交纳的水费为90元,则用水量大于18立方米,
令,则(立方米),
故答案为:.
14.
【分析】根据已知条件求得,进而求得正确答案.
【详解】依题意,两式相除得,
则,
所以当时,小时.
故答案为:
15.(1)选项模型(Ⅲ),
(2)37分钟
【分析】(1)根据一次函数与指对数函数的图象判断即可;
(2)代入函数模型求解即可.
【详解】(1)由图可知,该函数的增长速度较慢,
对于模型(1),,为线性增长,不合题意;
对于模型(2),是指数型的函数,其增长是先慢后爆炸型增长,不合适;
对于模型(3),对数型的函数增长速度较慢,符合题意,故选项模型(3),
此时,所求函数过点,
则,解得,故所求函数为,
经检验,当时,,符合题意
综上所述,函数的解析式为
(2)由(1)得,因为每天得分不少于3分,
所以,即,
所以,即,
所以每天得分不少于3分,至少需要锻炼37分钟
16.(1)
(2)46h
【分析】(1)根据题意,得到,结合指数与对数的运算,即可求解;
(2)根据题意,得到,结合对数的运算公式,即可求解.
【详解】(1)解:由题意,过滤过程中污染物含量与时间间的关系为
当时,,
因为在前2h消除了10%的污染物,可得,即,
可得,所以.
(2)解:由题意得,可得,
所以,即,解得,
故污染物达到排放标准至少需要46h时间.
17.(1),,
(2)年
【分析】(1)根据已知条件求得函数关系式以及函数的定义域.
(2)根据已知条件列不等式,结合对数运算求得正确答案.
【详解】(1)由题设,第1年研发资金为:万元;
第2年研发资金为:万元;以此类推……
故第年研发资金:且定义域为;
(2)由(1)知:,即,
所以,
故从第年即年开始,每年投入的研发资金数将超过万元.
18.(1)万元
(2)
【分析】(1)代入计算即可得,注意验证是否符合要求;
(2)由题意结合函数性质计算即可得.
【详解】(1)当时,,
由,,符合要求,
故该企业可获得万元奖金;
(2),
由为正整数,故在上单调递增,
则有,解得,又,
即在上恒成立,
即,即.
故最小正整数的值为.
19.(1),
(2)产品投入万元,产品投入万元,才能使企业获得最大利润,最大利润是万元.
【分析】(1)由题设,,根据图象上数据得解;
(2)列出企业利润的函数解析式,利用换元法求得函数最值得解.
【详解】(1)设投资为万元,产品的利润为万元,产品的利润为万元
由题设,,
由图知,故,又,所以.
从而,.
(2)设产品投入万元,则产品投入万元,设企业利润为万元,
则,
令,则,所以,
当时,,此时.
故产品投入万元,产品投入万元,才能使企业获得最大利润,最大利润是万元.
20.(1)
(2)的最大值为,此时的用水量为.
【分析】(1)根据已知条件,分段求解函数关系式即可;
(2)根据题意写出与的关系式,再求其最大值即可.
【详解】(1)当时,;
当时,;
当时,;
可知与的函数关系式为.
(2)由题意可知:
当时,
,
当且仅当,即(负舍)时等号成立,
当时,
,
当且仅当,即时等号成立,因为,
故居民“幸福感指数”的最大值为,此时用水量为.
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