07三角函数的概念、任意角和弧度制-重庆市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版

这是一份07三角函数的概念、任意角和弧度制-重庆市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2024上·重庆·高一统考期末）已知扇形的面积为，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·重庆长寿·高一统考期末）角的终边落在射线上的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）在扇形OAB中，已知弦，，则扇形OAB的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）若半径为2的扇形的弧长为，则该扇形的圆心角所对的弦长为（ ）
A．B．2C．D．
5．（2023上·重庆长寿·高一统考期末）已知扇形的面积是9，周长是12，则扇形圆心角的弧度数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2023上·重庆·高一校联考期末）弓箭在中外历史上曾是威力无比的战争武器．其中英国长弓由于在英法战争中的突出作用成为单体木弓的代表．长弓与一般的复合弓不同，呈简单的圆弧型．制弓过程中让弓背逐步适应弯曲的过程被制弓匠称为“驯弓”．当达到适合的满弓开度（近似看作扇形，这时弓背形成均匀弧线时，驯弓过程就完成了．上弦的长弓成品总长一般为1.7－1.9米之间．如图所示，现有未上弦的长弓长度约为米（不含弓端镶包长度），达到满弓时，近似为扇形，半径约为米．则这时长弓的弦长约为（ ）
A．米B．米C．米D．米
7．（2022上·重庆·高一校联考期末）化成弧度为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024上·重庆·高一西南大学附中校考期末）在直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2024上·重庆·高一校联考期末）设角的始边为轴的非负半轴，则“”是“角的终边在第二象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边重合于轴的非负半轴，终边经过点,则（ ）
A．B．C．D．
12．（2023上·重庆·高一统考期末）角的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2024上·重庆长寿·高一统考期末）已知，则的值为
14．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若是角终边上一点，且，则 ．
15．（2023下·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）已知，，则 ．
16．（2023上·重庆长寿·高一统考期末）已知，则 .
17．（2023上·重庆九龙坡·高一统考期末）“”是“”的 条件.（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选择一个填）.
18．（2024上·重庆·高一重庆南开中学校考期末）南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，则该展示框的面积最大值为 ．
19．（2024上·重庆·高一校联考期末）如图1，折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是 .
20．（2022上·重庆·高一校联考期末）已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为 .
三、解答题
21．（2023上·重庆·高一统考期末）已知角满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．
条件①：角的终边与单位圆的交点为；
条件②：角满足；
条件③：角满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
22．（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知关于x的方程的两个不等实根分别是和
(1)求m的值；
(2)求的值．
23．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期末）（1）已知一个扇形周长为10cm，求该扇形的圆心角为多少时，扇形的面积最大？最大值是多少？
（2）已知关于的方程的两个实根为和，且，求的值和的值
24．（2019上·重庆南岸·高一重庆第二外国语学校校考期末）已知，是方程的两实根.
（1）求实数的值；
（2）设函数，是函数的零点，求的值.
参考答案：
1．A
【分析】根据题意设出扇形的弧长、半径和圆心角，通过扇形的面积可求出扇形半径，然后利用弧长公式即得.
【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为，
所以扇形的面积，得（），
由（）
故选：A
2．B
【分析】求出终边在射线上的角的集合，再逐项判断即得.
【详解】终边在射线上的角是第一象限角，其集合为，
当时，角终边落在射线上，B是；
显然角，角，角分别是第四象限角，第二象限角，第三象限角，ACD不是.
故选：B
3．B
【分析】根据扇形的面积公式计算直接得出结果.
【详解】由题意知，设扇形的圆心角为，半径为r，
则扇形的面积为.
故选：B
4．C
【分析】根据条件求出圆心角，借助三角函数求出弦长.
【详解】由题意弧长，半径为2，所以扇形的圆心角，如图，过点作，
所以，又，所以，
所以扇形的圆心角所对的弦长.

故选：C
5．B
【分析】利用扇形的周长和面积公式建立方程组求解即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，
则，解得，
又圆心角，
故选：B.
6．C
【分析】由题意得弧的长为，，设，由弧长公式可求得，进而求得弦长．
【详解】由题意得弧的长为，，
设，则，解得，
则弦长(米)．
故选：C．
7．A
【分析】直接利用弧度与角度的转化公式即可
【详解】根据角度制转化弧度制公式得.
故选：A.
8．D
【分析】由单位圆及为锐角得，再由三角函数定义求.
【详解】由题意，又为锐角，故，则.
故选：D
9．A
【分析】利用三角函数的基本关系式，结合角的范围即可得解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
则.
故选：A.
10．B
【分析】利用三角函数的定义，结合充分必要条件的定义即可得解.
【详解】当时，取，满足，
但此时角的终边在第一象限，即充分性不成立；
当角的终边在第二象限时，则终边上的任一点纵坐标都大于0，
故，即必要性成立；
所以“”是“角的终边在第二象限”的必要不充分条件.
故选：B.
11．A
【分析】由三角函数的定义得出，，即可代入求解得出答案.
【详解】由三角函数定义得：，，
则，
故选：A.
12．A
【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.
【详解】根据三角函数定义可知，
又，则.
故选：A
13．
【分析】根据同角三角函数商的关系和平方关系列方程组求解.
【详解】，
①，且，
又②，
由①②得.
故答案为：.
14．
【分析】由三角函数的定义求解即可.
【详解】根据正弦值为负数，判断角在第三､四象限，再加上横坐标为正，
断定该角为第四象限角．.
故答案为：
15．/
【分析】在等式两边同时平方，求出的值，再结合等式可求得的值.
【详解】因为，则，所以，，
又因为，故.
故答案为：.
16．或
【分析】根据利用平方关系可分别讨论解出的值，即可计算出或.
【详解】由可得，即
所以，可得；
①当时，联立，可得，
即；
②当时，联立，可得，
即；
故答案为：或
17．既不充分也不必要
【分析】取得到，不充分；取，，不必要，得到答案.
【详解】当，取，则，，不充分；
当，取，则，，不必要.
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：既不充分也不必要
18．/
【分析】设该扇形的半径为，弧长为，面积为，由已知可得，，利用扇形面积公式结合二次函数求最值即可.
【详解】设该扇形的半径为，弧长为，面积为，
由已知，则，，
所以，
所以当时，有最大值.
故答案为：.
19．
【分析】由大扇形面积减去小扇形面积即可求得.
【详解】，由题意可得，扇形的面积是，扇形的面积是，
故扇面（曲边四边形）的面积是.
故答案为：．
20．
【分析】根据条件求出扇形半径，设割出的圆半径为，圆心为，由求得，从而求得的周长.
【详解】设扇形所在圆半径为，∴
如图：设割出的圆半径为，圆心为，∴,
，故，
所以最大的圆周长为.
故答案为：
21．(1)
(2)时，原式；时，原式；
【分析】（1）利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得；
（2）将分母看成“1”，将表达式化为只含有的式子代入计算即可求得结果.
【详解】（1）条件①：因为角的终边与单位圆的交点为，
可得，，由三角函数的定义可得
条件②：因为角满足，
又因为，即可得
所以，可得
条件③：因为角满足，又因为，
即，可得
又，∴，
即
（2）易知
由（1）可知：，
当时，原式；
当时，原式.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据韦达定理得到根与系数的关系，再利用三角恒等变换计算得到答案.
（2）化简得到，计算得到答案.
【详解】（1），即，，，
，从而，则；
（2）
.
23．（1）扇形的圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值是
（2），.
【分析】（1）由题意设扇形的半径和弧长分别为：，可得，
扇形面积，再由基本不等式求解最大值，
再利用即可.
（2）写出韦达定理以及判断根的关系式，利用同角三角函数关系式求解，
在用完全平方关系及角的范围求出.
【详解】（1）设扇形的半径和弧长分别为：，
由题意可得：，
所以扇形面积为：
，
当且仅当，即时，
扇形的面积最大，此时圆心角为：，
所以扇形的圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值是.
（2）由方程的两个实根为和，
所以
由，
即，
即，
解得：，
由或，
又，
所以，
所以，
所以，由，
所以，
由
，
所以.
24．（1）12；（2）5或1
【分析】（1）由韦达定理结合可求得，但要验证；
（2）求出的零点，即的值，代入计算（待求式转化为的式子）．
【详解】（1）∵，是方程的两实根
∴，，
∵，∴，
整理得，解得或，时，原方程无实解，舍去，满足题意，
所以．
（2）由（1），由得，即，
∴，
时，，时，．
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系．在已知是一个二次方程的两根时，要注意其隐藏条件：方程的判别式不小于0，即，在求关于的齐次式的值时通常都转化为关于的式子求解．