04函数的应用-重庆市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）

这是一份04函数的应用-重庆市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在经济学中，常用Lgistic回归模型来分析还款信度评价问题．某银行统计得到如下Lgistic模型：其中x是客户年收入（单位：万元），是按时还款概率的预测值，如果某人年收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为（ ）（参考数据：）
A．0.35B．0.46C．0.57D．0.68
2．定义在上且周期为4的函数满足：当时，，若在区间上函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．20世纪30年代，数学家柯布和经济学家保罗·道格拉斯共同提出一个生产函数理想模型：其中Q表示收益（产值），K表示资本投入，L表示劳动投入；A为一个正值常数，可以解释为技术的作用；，表示资本投入在产值中占有的份额，表示劳动投入在产值中占有的份额．经过实际数据的检验，形成更一般的关系：，，则（ ）
A．若，，则当所有投入增加一倍时，收益增加多于一倍
B．若，，则当所有投入增加一倍时，收益增加多于一倍
C．若，，则当所有投入增加一倍时，收益增加小于一倍
D．若，，则当所有投入增加一倍时，收益增加小于一倍
4．已知，函数，若函数恰有3个零点，则（ ）.
A．，B．，
C．，D．，
5．已知函数，若且，则的值为（ ）
A．2B．4C．8D．
6．函数 有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．或
7．已知偶函数满足，当时，；若函数有3个零点，则k的取值范围是
A．B．C．D．
8．函数在区间内的零点个数是
A．0B．1C．2D．3
9．已知当时，表示不超过的最大整数，称为取整函数，例如，，若，且偶函数，则方程的所有解之和为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的零点依次为，则（ ）
A．B．
C．D．
11．重庆市乘坐出租车的收费办法如下：
相应系统收费的程序框图如图所示，
其中（单位：千米）为行驶里程，用表示不大于的最大整数，则图中①处应填
A．
B．
C．
D．
二、填空题
12．已知，函数当时，的值域为 ；若不存在，，使得，则实数a的取值范围是 ．
13．已知命题:关于的函数有两个零点；命题: ，则：①命题成立的充分必要条件是 ；②当命题“”为真时，的取值范围是 .
14．规定为不超过的最大整数，如，.若函数，则方程的解集是 .
15．函数与函数图象的交点个数有 个.
16．设函数，若方程恰有两个不相等的实根，，则的最大值为 .
三、解答题
17．旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元.旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅游团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有60人.设旅行团的人数为人，飞机票价格为元，旅行社的利润为元.
（1）写出飞机票价格元与旅行团人数之间的函数关系式；
（2）当旅游团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润.
18．设函数．
(1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围；
(3)是否存在常数，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】由题意结合指对互换运算，代入求值即可.
【详解】由题意得，所以，所以.
故选：C.
2．B
【解析】画出函数在区间上的函数,再分析的交点个数即可.
【详解】由题, 的零点个数即的函数图像交点个数.
画出的图像,同时恒过定点,且函数周期为4.
故..
故临界条件分别为过和与相切.
取值分别为,,.
当与相切时,设切点为,又,故.
,故.故.
故选：B
【点睛】本题主要考查了函数零点的个数问题,需要根据题意画出对应的图像,再分析临界条件求得对应的斜率的值即可.属于中等题型.
3．A
【分析】根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果.
【详解】若，，则收益，当所有投入增加一倍时，则收益，收益为原来的倍，即收益增加多于一倍，故A正确；
若，，则收益，当所有投入增加一倍时，则收益，收益为原来的倍，故B错误；
若，，则收益，当所有投入增加一倍时，则收益，收益为原来的倍，故C错误；
若，，则收益，当所有投入增加一倍时，则收益，收益为原来的倍，收益增加多于一倍，故D错误；
故选：A
4．D
【解析】结合题意转化为两个函数图象交点问题,从而解答出零点问题.
【详解】若函数恰有3个零点,则方程有3个不同的实根,则,当时,,即的图象必经过,则
（1）当即时,,可得函数在上单调递增,则只有1个零点,不符合题意;
（2）当即时,可知在上单调递减,在上单调递增,要满足有3个不同的实根,需在上单调递增,即,得,此时函数得图象大致如下,则满足,即,故;
综上,,
故选:
【点睛】本题考查了函数零点问题,函数零点问题属于重难点,在解答过程中将其转化为方程得根的问题,转化为两个函数图象交点问题,需要进行分类讨论,得到满足题意的结果.
5．A
【分析】不妨假设，作出函数的图像，根据图像可得，，，，根据已知可得，进一步可得，，，再将所求式子化为，化简可得答案.
【详解】不妨假设，作出函数的图像如下：
由图可知，
所以，，，，
因为，且，
所以，
所以，，，
所以，，，
所以








.
故选：A
【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用等基础知识，考查了函数图像的作法，考查了对数的运算性质，考查了运算求解能力，数形结合思想，转化划归思想，属于较难题.
6．A
【分析】先求充要条件为或，再根据充分不必要条件的概念以及四个选项可得答案.
【详解】先求充要条件：
因为当时，令，解得符合，
所以当时，令，则此方程无解，因为时，，所以或 ，
所以 有且只有一个零点的充要条件是或，
根据四个选项，结合充分不必要条件的概念可知选A.
故选：A
【点睛】本题考查了充分不必要条件，考查了函数的零点，属于基础题.
7．A
【分析】先根据奇偶性确定周期性，再根据图象确定有3个零点的条件，解得结果.
【详解】为偶函数，所以周期为4，根据偶函数以及当时，作出图象，结合图象要使图象确定有3个零点，需解得
故选A
【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性以及函数零点，考查综合分析求解能力，属基础题.
8．B
【详解】由表达式得到原函数是增函数，根据函数零点存在定理得到 ， ，
故函数在这个区间上一定有一个零点，由函数单调性知到零点是唯一的．
故答案选B.
9．D
【分析】利用奇偶性可求得当时的解析式，结合，可作出与的图象，利用图象可确定交点个数为四个，利用交点纵坐标可求得交点的横坐标，即为方程的解，加和即可得到结果.
【详解】当时，，，又为偶函数，
当时，；
由题意知：
在同一坐标系中作出与的图象，如图所示，
由图象可知：与有四个交点，交点的纵坐标分别为，
当时，的解为和；
当时，由得：；由得：；
的所有解之和为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数图象求解方程的根的问题；解题关键是将充分理解取整函数的定义，将问题转化为两个函数图象交点的问题，从而利用数形结合的方式来进行求解.
10．B
【分析】函数零点可转化两函数图象交点的横坐标，作出函数，，，图象，数形结合即可得解.
【详解】令，则，所以与交点的横坐标为，
同理得，与交点的横坐标为，与交点的横坐标为，
在同一直角坐标系内分别作出函数图象，如图，
由图可知，易知.
故选：B
11．B
【详解】试题分析：当时，依题意应收费元，选项B符合，故选B.
考点：1、程序框图；2、取整函数；3、函数的实际应用.
12．
【分析】由得到再分和，分别利用反比例型函数和对数函数的性质求解；画出函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】解：当时，
当时，，
当时，，
所以当时，的值域为．
画出每段的图象，如图所示：

由图象知：当或时，存在，，使得，
当时，不存在，，使得．
故答案为：，
13． （0，3）
【分析】若函数有两个零点，即函数与直线有两个交点，作出的图像，分析可得的取值范围， 解可得的取值范围，即可得命题为真时的取值范围，若命题“”为真，即、同时为真，然后可得答案．
【详解】根据题意，若函数有两个零点，即函数与直线有两个交点，
，其图像如图：
若函数与直线有两个交点，
必有，即的取值范围为，
故命题成立的充分必要条件是；
根据题意，对于，变形可得，解可得，
所以若命题为真，则有，，
若命题“”为真，即、同时为真，
则有，则有，
即的取值范围为，．
故答案为：；.
14．
【解析】先计算出的取值,再结合题目中的规定计算出结果.
【详解】由方程,可得或,
若,则,
故或,由题目中的规定为不超过的最大整数,
当时,可得,
当时,可得;
若,则无解,
综上方程的解集是.
故答案为:
【点睛】本题考查了新定义内容,结合函数思想来解题,需要理清题意,抓住题目的核心,通常考查函数的性质、零点等问题.
15．2018
【分析】首先画出函数的图象，分析两个函数的性质，由图象分析两个函数的交点个数.
【详解】首先画出函数的图象，当时，的周期为2，最大值为1，
当时， ，
共有个周期，每一个周期有两个交点，由图象分析可知共有个交点，
当时，由图象可得，只有1个交点，
综上可知，两个函数的交点个数是2018个.
故答案为：2018
【点睛】本题考查函数交点个数，意在考查数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是正确画出函数的图象，并正确计算包含的周期个数.
16．
【分析】由题意，令，则函数有两个不相等的实根，画出图象，显然，进而得到，由此即可得解．
【详解】当时，，则；
当时，，则，
令，则函数有两个不相等的实根，
即函数与直线有且仅有两个交点，作出图象如图所示，
由图象可知，，，，且，
∴，则，
∴，
令，，则，令，解得，
显然，当时，函数为增函数，
当时，函数为减函数，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想及数形结合思想，运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．
17．(1)；(2)或58时，可获最大利润为18060元.
【详解】试题分析：（I）依题意得，当1≤x≤35时，y=800，当35＜x≤60时，y=800﹣10（x﹣35）=﹣10x+1150，由此能求出飞机票价格元与旅行团人数x之间的函数关系式．
（II）设利润为Q，则 ，由此能求出旅行社获得最大利润时的旅行团人数和最大利润．
试题解析：
（1）依题意得，
（2）设利润为，则
当且时，
当且时，
∴或58时，可获最大利润为18060元.
18．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由题可得在上恒成立，然后令，利用导研究函数的单调性，求得其最小值，即得；
（2）将问题转化为在上恰有两个不同的零点，然后令，从而通过求导研究函数的性质，进而求得的取值范围；
（3）首先分别求得函数和函数的单调区间，然后根据与具有相同的单调性建立关于的不等式组，由此求得的值．
【详解】（1）当时，由，得，
∵，∴，
∴有在上恒成立，
令，则，由得，
当，
∴在上为减函数，在上为增函数，
∴，
∴实数的取值范围为；
（2）当时，函数，
在上恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点，
令，，则，
当，，当，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，又，
可得函数的大致图象如图所示，
由图象可知实数的取值范围为；
（3）函数和函数在公共定义域为，
函数在单调递减，在上单调递增，
函数，
当时，恒成立，在上单调递增，不合题意，
当时，当时，当时，，
所以在上单调递减，在上为单调递增，
要使与具有相同的单调性，则，
解得，
所以存在常数时，使与具有相同的单调性．
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.