08数列-重庆市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）

这是一份08数列-重庆市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知数列均为等差数列，且，设数列前项的和为，则（ ）
A．84B．540C．780D．920
2．一个蛋糕店制作一个大型蛋糕，蛋糕是由多个高度均为0.1米的圆柱形蛋糕重叠而成，上层蛋糕会覆盖相邻下层蛋糕的上底面一半的面积，最底层蛋糕的半径为1米.若该蛋糕的体积至少为0.6立方米，则蛋糕至少需要做的层数为（ ）（其中）
A．3B．4C．5D．6
3．已知数列满足且，则（ ）
A．3B．C．-2D．
4．记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则d的值为（ ）
A．0B．C．1D．2
5．在等比数列中，若为一确定的常数， 记数列的前项积为，则下列各数为常数的是（ ）
A．B．C．D．
6．哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看见的短周期彗星，其绕太阳公转周期为76年，曾于1606年回到近日点，奥伯斯彗星的绕太阳公转周期为70年，也曾于1606年回到近日点，则哈雷彗星与奥伯斯彗星下次同年回到近日点的年份为（ ）
A．3916年B．4190年C．4266年D．4570年
7．已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．－30B．－28C．30D．28
8．已知等差数列中，，，则的公差为（ ）
A．B．2C．10D．13
9．若实数满足成等差数列，则的取值范围是
A．B．C．D．
10．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2，S4，则其公比为（ ）
A．B．C．D．2
11．执行如下图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A．B．C．D．
12．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈.问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织布9匹3丈.问：前半个月(按15天计)共织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，可估算出前半个月一共织的布约有（ ）
A．195尺B．133尺C．130尺D．135尺
13．执行如下图所示的程序框图，输出的结果是
A．B．C．D．
二、填空题
14．记数列的前n项和为，若，且，则 ．
15．九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷.中国的末代皇帝溥仪（1906-1967）也曾有一个精美的由九个翡翠环相连的银制的九连环（如图）.现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的最少移动次数，且数列满足，，（，），则解开九连环最少需要移动 次.
16．已知数列的前项和为，且满足， .
17．在等比数列中，已知，，则 .
18．已知数列的前项和为，若是和的等比中项，设，则数列的前60项和为 ．
19．已知数列的前项和为，且满足：，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
20．已知数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求．
21．记为等差数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前10项和.
22．已知数列的前n项和为，且，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)证明：.
23．在正项等比数列中,已知,且 成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
24．已知数列满足：．
(1)求证：为等差数列；
(2)设，求数列的前项和．
25．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝3an﹣2，数列{bn}满足.
（1）求an；
（2）求数列{bn}的前n项和.
参考答案：
1．D
【分析】根据等差数列性质可得数列是首项为的等差数列，利用等差数列前项和公式即可求得.
【详解】根据题意可设数列的公差分别为；
由可知，
即可知数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以可得，
即可得，
所以.
故选：D
2．C
【分析】设蛋糕需要做层，则每层圆柱形蛋糕的底面半径组成首项为1，公比为的等比数列，求出层蛋糕的体积，由求出的范围即可．
【详解】设蛋糕需要做层，则每层圆柱形蛋糕的底面半径组成首项为1，公比为的等比数列，
每层圆柱形蛋糕的高都是0.1米，各层的体积也构成等比数列，
所以这层蛋糕的体积为，
因为该蛋糕的体积至少为0.6立方米，所以，
所以，
由于单调递增，且，而，
解得，，
所以蛋糕至少需要做的层数为5层．
故选：C．
3．B
【分析】由已知可得数列递推式，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案.
【详解】由题意数列满足，则，
故由，得，
由此可知数列的周期为4，
故，
故选：B
4．C
【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及等差中项的意义列式求解即得.
【详解】等差数列的公差为，由是与的等差中项，得，
即，整理得，而，解得，
所以d的值为1.
故选：C
5．D
【分析】为一确定的常数，则为常数，再将表达为的关系，从而判断．
【详解】在等比数列中，设公比为，
则，
若为一确定的常数，则为一确定的常数，
又∵，，
，，
∴为常数.
故选：D.
6．C
【分析】哈雷彗星与奥伯斯彗星回到近日点的年份分别成等差数列，首项都是，根据间隔求出公共项即可得到结果.
【详解】哈雷彗星回到近日点的年份为，奥伯斯彗星回到近日点的年份为，
则与公共项构成以1606为首项，70与76的最小公倍数为公差的等差数列，又70与 76 的最小公倍数为2660，则哈雷彗星与奥伯斯彗星同年回到近日点的年份为.令，则.
故选：C.
7．A
【分析】根据条件可判断数列为等比数列，利用等比数列前n项和公式求解.
【详解】由，，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
则.
故选：A.
8．B
【分析】设的公差为，由题中条件，可直接得出结果.
【详解】设的公差为，
因为，，
所以，解得.
故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列的基本量运算，属于基础题型.
9．D
【解析】由题意可知，再根据基本不等式求的取值范围.
【详解】由题意可知 ，
，，
，
，
，
等号成立的条件是.
故选：D
【点睛】本题考查根据基本不等式求的取值范围，意在考查转化与化归的思想，和基本不等式的简单应用，属于基础题型.
10．C
【分析】用基本量和表示，解方程组即可得到公比的值.
【详解】解：依题意，显然公比，
，
，
∴两式相除得，解得或，
因为数列是正项等比数列，所以，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了解方程组等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题.
11．D
【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件．确定程序功能．
【详解】模拟程序运行，程序功能是求数列的和，最后输出结果是：
．
故选：D.
【点睛】本题考查程序框图，解题时可模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件，得出结论．对循环次数较多的程序，可确定程序的功能，从而得出结论．
12．B
【解析】抽象为数列问题，每天的织布数成等差数列，首项，记公差为，由，求出，然后对估算近似值．
【详解】解：9匹3丈为390尺，每天的织布数成等差数列，首项，记公差为
，，，．
故选：B
【点睛】本题考查等差数列的应用．解题关键是从实际问题中抽象出数列问题．
13．B
【解析】读懂求解的量,直接写出结果进行计算即可.
【详解】由框图可知,输出的.
故选：B
【点睛】本题主要考查了程序框图的理解与裂项相消的方法,属于中等题型.
14．
【分析】由题意得，利用递推关系得是以为首项，2为公比的等比数列，由此得表达式，进而结合即可得解.
【详解】由题意，所以，解得，
当时，，
所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，即，
又因为，所以.
故答案为：.
15．
【分析】由，利用累加法求数列的奇数项的通项公式，再求即可.
【详解】由题意，
故
各项相加，可得
即，
所以按规则解开九连环最少需要移动的次数为.
故答案为：341.
16．
【解析】在时，利用得出数列的递推关系式，这样我们在求数列和时只要从第一项开始两项并一组，变可以求得偶数项和．而题中求正好可求。
【详解】解：当时有得，当时，①，又②，②－①得整理得；于是得，得，得，…，，；
．
故答案为：．
【点睛】本题考查由数列前项和与项的关系求通项，考查并项求和，考查等比数列的前项和公式．虽然考查知识点较多，但顺着题求解也较容易，属于中档题．
17．8
【解析】利用等比数列的等积性质求解即可.
【详解】因为等比数列,故,故.
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了等比数列的等积性质,属于基础题型.
18．
【分析】可求得，同时由，可得，可得数列的前60项和的值.
【详解】解：是和的等比中项，，
当n=1时，，解得：；
当n=2时，，解得：；
当n=3时，，解得：，
…
可得，， 由，有，
故=，
可得，，…,
故=+…=.
【点睛】本题主要考查数列的求和及数列的通项公式，得出是解题的关键.
19．(1，＋∞)
【分析】由题知，当 时，有，，两式相减得，利用等比数列的通项公式与求和公式可得，，再利用数列的单调性即可得出．
【详解】解：由题知，当 时，有，，
两式相减得，
又，，，均有 对任意 成立，
，，
恒成立只需的最大值，
当时，右式取得最大值1，．
故答案为(1，＋∞)．
【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式与求和公式、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．(1)
(2)23
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解，
（2）根据所给定义可用列举法求解，即可求和.
【详解】（1）设数列的公差为，
则，，解得,
故；
（2）由可得前11项分别为
故的前11项分别为
所以
.
21．(1)
(2)45
【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意可得由，解方程求出，再由等差数列的通项公式即可得出答案.
（2）表示出数列的前10项，再由等差数列的性质求解即可.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题意可得由，即，解得：，
.
（2）由得:
数列的前10项和.
22．(1)证明详见解析, ;
(2)证明详见解析.
【分析】(1)由，推出，即可证明.由等比数列的通项公式可先求，最后可求;
(2)根据错位相减法求得，根据的单调性即可证明.
【详解】（1）因为，所以，又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，从而，故.
（2）由（1）知，，则，
作差，得，
所以，
令，则，
在上单调递减，即在上单调递增，
所以.故.
23．（1） （2）
【分析】（1）根据等比数列的基本量求数列的通项公式；
（2），根据分组转化法求和.
【详解】（1）
，
，
又，
即 ，
解得： ，
；
（2） ，



.
【点睛】本题考查等比数列求通项，分组转化法求和，意在考查基本公式，基本方法，属于基础题型.
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由递推关系可得：，可证得数列为等差数列；
（2）结合(1)的结论可得：，，裂项求和可得数列的前项和为.
【详解】（1）由递推关系可得：，（显然不为零）
所以，
即，此时首项为
故为1为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）知，
故，，
25．（1）an＝（）n﹣1；（2）2（）n﹣2..
【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）求得，运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和.
【详解】（1），可得，可得；
时，，化为，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
因此，；
（2）数列{bn}满足，可得，
则，
可得数列{bn}的前n项和
.
【点睛】本题考查数列的递推式的运用，等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简运算能力，属于中档题.