10空间向量与立体几何--重庆市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019

这是一份10空间向量与立体几何--重庆市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．将一副三角板排接成平而四边形ABCD（如图），，将其沿BD折起，使得而ABD⊥面BCD．若三棱锥A-BCD的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．将棱长为2的正方体木块做成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题：
①异面直线与所成的角是定值；
②三棱锥的体积是定值；
③直线与平面所成的角是定值．
其中真命题的个数是（ ）
A．3B．2
C．1D．0
5．如图,已知长方体中， ，则异面直线和所成角的弧度数为
A．B．C．D．
6．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A．B．C．6D．8
7．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示是某三棱锥的三视图，其中网格纸中每个小正方形的边长为1，则该三棱锥的外接球的体积为
A．B．
C．D．
9．已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为
A．B．C．7D．14
10．已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为
A．B．C．7D．14
二、填空题
11．已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ．
12．三棱锥中,,其余棱长都均为4，则该三棱锥外接球的表面积为 .
13．已知一个圆锥的底面直径为，其母线与底面的夹角的余弦值为.圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为 .
14．已知正三棱锥的底面边长为，体积为，则其外接球的表面积为 .
15．在直三棱柱中，且,，设其外接球的球心为，且球的表面积为，则的面积为 .
16．已知三棱锥内接于球，，当三棱锥的三个侧面的面积之和最大时，球的表面积为 ．
17．已知某长方体的长宽高分别为，则该长方体外接球的体积为
三、解答题
18．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，面，为棱的中点，经过、、三点的平面交棱于点.
(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角大小为，求平面与平面所成角的余弦值.
19．如图，在五面体中，面面，，面，，，，二面角的平面角为.
(1)求证：面；
(2)点在线段上，且，求二面角的平面角的余弦值.
20．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，．
(1)证明：；
(2)若，，求二面角的余弦值．
21．如图，在直三棱柱中，已知，D为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
22．如图，在四棱台中，底面是菱形，，平面．
(1)若点是的中点，求证：平面；
(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】利用面面垂直的性质和线面垂直的判定找到球心的位置即为的中点，再利用球的表面积公式即可.
【详解】由题意得，，因为面面BCD，
面面BCD，且，面，则面，
因为面，所以，又因为，面，且，
所以平面，因为平面，所以，
取中点为，则，则球心即为中点，
而，则球的半径为，
则球O的表面积为，
故选：C.
2．C
【分析】先根据该球为正方体的内切球求出半径，进而根据表面积公式可得答案.
【详解】将棱长为2的正方体木块做成一个体积最大的球,
则该球为正方体的内切球，故球的半径为，
则球的表面积为.
故选：C.
3．C
【分析】先证明，从而可证平面平面，则有顶点的射影在上，从而可得，即有是直角三角形，再求出底面积和高即可求出体积.
【详解】连接，交点为，如图所示：
，且是公共边，
，，
易得，，
即，又，，
，平面，
平面，又平面，
平面平面.
过点作平面，垂足为，连接，
，，
平面，，，
由是公共边，，
即有，
三点在以为直径的圆周上，
，，，
，
，
.
故选：C
4．B
【分析】采用注意验证法，建立空间直角坐标系， 计算可知①正确，利用等积法，根据F点到底面的距离为定值可知②正确，然后用向量方法计算线面角，可知结果.
【详解】以A点为坐标原点，AB，AD，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，可得B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，
(0，0，1)， (1，0，1)， (1，1，1)， (0，1，1)，
设F(t，1，1-t)，（0≤t≤1），
可得=(1，1，1)，=(t-1，1，-t)，可得=0，
故异面直线与所的角是定值，故①正确；
三棱锥的底面面积为定值，且∥，
点F是线段上的一个动点，可得F点到底面的距离为定值，
故三棱锥的体积是定值，故②正确；
可得，，，
可得平面的一个法向量为=（1，1，1），
可得不为定值，故③错误;
故选：B．
【点睛】本题主要考查空间角的求解及几何体体积的求解，建立直角坐标系，是解题的关键，属中档题.
5．A
【解析】根据，所以将异面直线和所成角转化为，直接求正切值.
【详解】
异面直线和所成角是和所成的角，即，
，
.
异面直线和所成角的弧度数为.
故选：A
【点睛】本题考查异面直线所成的角，意在考查基本转化方法，属于基础题型.
6．B
【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可.
【详解】解：由题意可知，几何体是多面体如图：，
是正方体的一部分，正方体的棱长为2，
几何体是体积为：.
故选：B.
【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力，是中档题.
7．A
【解析】易得该组合体为长方体上一个圆锥,根据体积公式计算即可.
【详解】易得该组合体为长方体上一个圆锥,体积为.
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据三视图求解组合体体积的问题,属于基础题型.
8．D
【分析】由三视图画出三棱锥的直观图，可得其外接球的的半径，可得其体积.
【详解】解：三棱锥的直观图如图D-ABC,
设AB的中点为O,易得OA=OB=OD=OC=2,
即可得三棱锥的外接球的半径R=2,
可得三棱锥的外接球的体积为=，
故选D.
【点睛】本题主要考查几何体的三视图与直观图，及三棱锥外接球的体积，由三视图画出直观图是解题的关键.
9．B
【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知该几何体是上下底都等腰直角三角形的三棱台，上底面积与下底面积分别为，高，故该几何体的体积，应选答案B．
10．B
【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知该几何体是上下底都等腰直角三角形的三棱台，上底面积与下底面积分别为，高，故该几何体的体积，应选答案B．
11．
【分析】设正四面体的棱长为a，根据正四面体的结构特征求出它的表面积，结合正四面体和正方体的联系求出正方体的棱长，利用正方体的外接球的体积公式计算即可.
【详解】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a，
所以该正四面体的表面积为，所以，
又正方体的面对角线可构成正四面体，
若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1，
所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为，半径为，
所以球O的体积为．
故答案为：
12．
【分析】由条件将三棱锥补成长方体，并且长方体的面对角线的长分别是,利用长方体求三棱锥外接球的表面积.
【详解】三棱锥的三条对棱两两相等，所以把它补成一个长方体，它也外接于三棱锥的外接球，且此长方体的面对角线的长分别是4,4，，
设长方体的棱长分别为
，三式相加可得 ，
，解得：，
三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，计算能力，属于中档题型，补体是求几何体的外接球的常用方法，观察几何体是否可以补成长方体，它们外接于同一个外接球，根据长方体的外接球的计算公式计算.
13．
【解析】根据题意画出正方体的对角截面,分析正方体的边长再计算外接球表面积即可.
【详解】
如图所示,作出圆锥的一个轴截面,其中为母线, 为底面直径,
,是正方体的棱长,是正方体的上、下底面的对角线,
设正方体的棱长为,则,,
又,.故高.
依题意得,,即.
故正方体的体对角线,即外接球的直径.
故外接球表面积.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了空间几何体中的长度计算以及外接球的问题等.需要根据题意画出图像找到对应的关系列式求解计算.属于中等题型.
14．
【分析】先画出图形，先根据正三棱锥的边长和体积求出正三棱锥的高，再根据正三棱锥的性质，确定外接球的球心在正三棱锥的高线上，利用勾股定理即可求出外接球的半径．
【详解】如图，根据正三棱锥的性质有点P在底面ABC的投影为三角形ABC的外心，设为D，
其外接球的球心在PD上，设为点O，设外接球半径为r，三角形ABC的外接圆半径为R，
∵，∴，
所以，
由正弦定理有，
所以，
在中有，，
所以解得，
所以外接球表面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查正三棱锥外接球半径的求法，需要用到球心的性质，考查空间想象能力和运算求解能力．
15．
【分析】先计算球的半径为，确定球心为的中点，根据边角关系得到，计算面积得到答案.
【详解】球的表面积为
如图所示：为中点，连接
，故三角形的外心在中点上，故外接球的球心为的中点.
在中：，故；
在中：，，故，故
故答案为
【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键.
16．
【详解】由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当两两垂直时，侧面积之和最大.此时可看成正方体一个顶点的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即，故球的表面积为.
17．//
【分析】根据长方体的外接球直径为长方体的体对角线即可求解半径，进而根据球的体积公式即可求解.
【详解】长方体的长宽高分别为,则长方体的体对角线长为，
故长方体的体对角线长为其外接球的直径，进而得其外接球的半径为，
由球的体积公式得：该长方体外接球的体积为，
故答案为：
18．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由线面平行的判定、性质可证，进而得到四边形是平行四边形，则，最后应用线面平行判断证结论；
（2）由题设证得面，结合面及已知求相关边长，构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.
【详解】（1）由，平面，平面，则平面，
又，平面，则，
又是的中点，故是的中点，所以且，
又，故且，
所以四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，故平面.
（2）连接，因且，，
所以且，又面，面，故，
又，面，所以面，
故为直线与平面所成角，从而，且.
如图，以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
面的法向量为，设面的法向量为，
则，取，得，
所以，则面与面所成角的余弦值为.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先通过线面平行的性质得，进而根据线面平行的判定得结论；
（2）取中点，中点，连结，，通过证明，，两两垂直来建立空间直角坐标系，然后利用向量法求解面面角.
【详解】（1）∵面，
又面，面面，
∴.
又面，面，
∴面；
（2）取中点，中点，连结，.
∵面面，交线为，
面，，∴面.
∴是二面角的平面角.即.
∵面，
又面，面面，
∴.
∴.又，∴四边形是梯形.
∴是梯形的中位线.∴.∴面.
∵，是中点，∴.
以为原点，，，为轴如图建立空间直角坐标系，则
，，，，，，
，，，，
由，
设面的一个法向量为，由，，得
，取，得，，∴.
设面的一个法向量为，由，，得
，取，得，，∴.
∴
∴二面角的平面角的余弦值为.
20．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取中点，借助余弦定理、勾股定理的逆定理证明，再利用线面垂直的判定、性质推理即得.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.
【详解】（1）在四棱锥中，底面为平行四边形，取中点，连接，
在中，由，得，在中，，
由余弦定理，得，则，
因为是平面上的两条相交直线，于是平面，
又平面，则，而，
所以.
（2）由（1）知，，则，又，
于是，即，显然直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
因此，显然二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先分析题意，利用分别是的中点，结合中位线定理，即可得出答案.
（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，向量法求解二面角即可.
【详解】（1）证明；连接交于点Q，连接DQ
分别是的中点，
故平面.，得证.

（2）如图，分别以为轴，轴，轴，为原点，建立空间直角坐标系.
由题意可得，
所以平面的法向量为.
设平面的法向量为，
由，可取，即
故二面角的余弦值为.

22．(1)证明见解析
(2)存在；
【分析】（1）连接，可得四边形是平行四边形，或，从而，可证得平面；
（2）取中点，连接，分别以为轴，建立空间直角坐标系，假设点存在，设点的坐标为，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量为，由二面角的余弦值为可得的值，可得的长．
【详解】（1）方法一：连接，由已知得，，且，
所以四边形是平行四边形，即，
又平面平面，
所以平面．
方法二：连接，由已知得，且，
，即，
又平面平面
所以平面
（2）取中点，连接，由题易得是正三角形，所以，即，
由于平面，分别以为轴，建立如图空间直角坐标系，
，
假设点存在，设点的坐标为，
，
设平面的法向量，则，
即，可取，
又平面的法向量为，
所以，解得：，
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即．
故上存在点，当时，二面角的余弦值为．