13计数原理与概率统计-重庆市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新

这是一份13计数原理与概率统计-重庆市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则，可以分别大致反映这组数据的（ ）
A．平均数，中位数B．平均数，众数C．中位数，平均数D．中位数，众数
2．我国古代数学有该样一个问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）
A．104人B．108人C．112人D．120人
3．在区间（0，1）内随机取一个数x，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知回归直线方程中的，若根据数据（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn）所求出的线性回归直线方程为，根据数据（，y1），（，y2）…（，yn）所求出的线性回归直线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
5．现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
6．2018年，国际权威机构IDC发布的全球手机销售报告显示：华为突破2亿台出货量超越苹果的出货量，首次成为全球第二，华为无愧于中国最强的高科技企业．华为业务CEO余承东明确表示，华为的目标，就是在2021年前，成为全球最大的手机厂商．为了解华为手机和苹果手机使用的情况是否和消费者的性别有关，对100名华为手机使用者和苹果手机使用者进行统计，统计结果如下表：
根据表格判断是否有95%的把握认为使用哪种品牌手机与性别有关系，则下列结论正确的是
附：
A．没有95%把握认为使用哪款手机与性别有关
B．有95%把握认为使用哪款手机与性别有关
C．有95%把握认为使用哪款手机与性别无关
D．以上都不对
7．为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为
A．336B．340C．352D．472
8．甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借阅四大名著（每种名著均有若干本），已知每人均只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅《三国演义》，则不同的借阅方案种数为（ ）
A．72B．60C．54D．48
9．根据如下样本数据：
得到回归方程，则（ ）
A．
B．变量与线性正相关
C．当时，可以确定
D．变量与之间是函数关系
10．已知某品种的幼苗每株成活率为，则栽种3株这种幼苗恰好成活2株的概率为
A．B．C．D．
二、填空题
11．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有编号为1，2的黑球和编号为1，2，3的白球，从中随机取出两个球，在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为 ．
12．在一次体育课定点投篮测试中，每人最多可投篮5次，若投中两次则通过测试，并停止投篮.已知某同学投篮一次命中的概率是，该同学心理素质比较好，每次投中与否互不影响.那么该同学恰好投3次就通过测试的概率是 .
13．设不等式组所表示的平面区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点不落在内的概率为 .
14．甲、乙两人各掷一枚质地均匀的骰子，则两人所掷点数的差不超过的概率为 ．
15．的展开式中的系数为 ．
16．在的二项展开式中，常数项的值为
17．二项式的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
三、解答题
18．2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天．腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群．
(1)在100名受调人群中，得到如下数据：
根据小概率值的独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；
(2)调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答案，但不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望．
参考公式：
①．
独立性检验常用小概率值和相应临界值：
②随机变量X，Y的期望满足：
19．“学习强国”平台自上线以来，引发社会各界广泛关注，在党员干部中更是掀起了一股学习热潮，该平台以全方位、多维度深层次的形式，展现了权威、准确、生动、有力的“视听盛宴”，为广大党员干部提供了便捷的学习平台、自我提升的“指南针”、干事创业的“加油站”.某单位为调查工作人员学习强国的情况，随机选取了400人（男性、女性各200人），记录了他们今年1月底的积分情况，并将数据整理如下：
(1)已知某人积分超过5000分被评定为“优秀员工”，否则为“非优秀员工”，补全下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关；
(2)以样本估计总体，以频率估计概率，从已选取的400人中随机抽取3人，记抽取的3人中属于“非优秀员工”的人数为X，求X的分布列与数学期望.
附：参考公式及数据：，其中n=a+b+c+d
20．在“创文创卫”活动中，某机构为了解一小区成年居民“吸烟与性别”是否有关.从该小区中随机抽取200位成年居民，得到下边列联表:已知在全部200人中随机抽取1人，抽到不吸烟的概率为0.75.
(1)补充上面的列联表，并判断:能否有99.9%的把握认为“吸烟与性别”有关；
(2)用分层抽样的方法从吸烟居民中选5人出来，然后再从中抽2人出来，给小区居民谈谈吸烟的危害性，求恰好抽到“一男一女”的概率.
参考公式: .
参考数据:
21．某市一中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：
（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？
（2）将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整；
（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为，求的分布列及数学期望.
22．对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量 （单位：吨）的频率分布直方图，如图一.
（1）求的值，并根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量；
（2）已知该居民月用水量与月平均气温（单位：℃）的关系可用回归直线模拟.2019年当地月平均气温统计图如图二，把2019年该居民月用水量高于和低于的月份作为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，求这2个月中该居民恰有1个月用水量超过的概率.
年龄
了解程度
不了解
了解
30岁以下
16
24
50岁以上
16
44
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
积分
性别
2000～3000（分）
3001～4000（分）
4001～5000（分）
5001～6000（分）
>6000（分）
男性
80
60
30
20
10
女性
20
60
100
20
0
优秀员工
非优秀员工
总计
男性
女性
总计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
吸烟
不吸烟
合计
男
40
女
90
合计
200
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案：
1．A
【分析】由中位数和平均数的分布规律直接求解即可.
【详解】由题意得，众数必定在最高的小长方形内，故排除BD，
由中位数和平均数的分布规律得（直方图在左边拖尾），
故在这个频率分布直方图内是平均数，是中位数，
故A正确，C错误.
故选：A
2．B
【分析】根据分层抽样即可求出答案．
【详解】解：由题意可得，
故选：．
3．D
【分析】解不等式，然后根据几何概型求解.
【详解】解：由得，
则在区间（0，1）内随机取一个数x，则的概率为，
故选：D.
【点睛】本题考查长度型的几何概型，是基础题.
4．C
【分析】由分别求出与，则答案可求.
【详解】解：由题意：，
，
，
故选：C.
【点睛】本题考查线性回归方程，考查计算能力，是基础题.
5．B
【解析】甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法．
【详解】由题意不同站法数为：．
故选：B.
【点睛】本题考查排列问题．涉及到相邻与不相邻问题，解题方法是相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法．
6．A
【分析】根据统计数据计算可得的值进行判断可得答案.
【详解】解：由表可知：a=30，b=15，c=45，d=10，n=100，
则≈3.030≤3.841,
故没有95%把握认为使用哪款手机与性别有关，
故选A.
【点睛】本题主要考查独立性检验的判断，属于基础题型.
7．A
【分析】分行政部门选一人和行政部门选二人分别计算选取方法的种数，相加可得答案.
【详解】解：由题意可得，①行政部门选一人，若其他两人为同一部门有=72种，
若其他人不为同一部门有=192种，
②行政部门选二人，有=72种，
综上共有72+192+72=336种，
故选A.
【点睛】本题考查了分类计数原理与排列组合，关键是如何分类，属于中档题.
8．B
【分析】分乙、丙、丁、戊中有人借阅《三国演义》和乙、丙、丁、戊中没有人借阅《三国演义》两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得.
【详解】解：若乙、丙、丁、戊中有人借阅《三国演义》，
则满足题意的不同借阅方案种数为种，
若乙、丙、丁、戊中没有人借阅《三国演义》，
原问题等价于4个球放入三个盒子，每个盒子均不空，放置的方法为，
此时的不同借阅方案种数为种，
综上可得，不同的借阅方案种数为种.
故选：B
9．A
【分析】根据样本中心点在回归方程上可求得，知A正确；根据回归方程中可得B错误；根据回归方程的意义可知CD错误.
【详解】对于A，由表格数据知：，，
，解得：，A正确；
对于B，由回归方程知：，与线性负相关，B错误；
对于C，当时，由回归方程只能得到的预报值，无法得到确定的的取值，C错误；
对于D，与之间是非确定性关系，为相关关系，并非函数关系，D错误.
故选：A.
10．D
【详解】解析：由题设可知，则所求事件的概率为，应选答案D．
11．/
【分析】由组合数公式、分步乘法以及分类加法计数原理即可计算概率.
【详解】由题意取出的球颜色不同的取法数有，若球的编号之和为奇数，
当选编号为1的黑球时，可以选编号为2的白球，
当选编号为2的黑球时，可以选编号为1，3的白球，
即在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的取法数有种，
所以在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为.
故答案为：.
12．
【解析】恰好投3次就通过测试这个事件分解为第三次抽中，前两次一次投中一次不中．由此计算概率．
【详解】恰好投3次就通过测试，即前两次一次投中一次不中，第三次投中．
由相互独立事件的概率公式，得．
故答案为：．
【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率．确定事件如何发生是解题关键．
13．
【解析】画出与半圆,再利用几何概型的方法分析即可.
【详解】由题,画出与图像.
因为为半圆.故有
易得可行域的面积为.半圆面积为.
故点不落在内的概率为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了几何概型的一般方法,重点是画好所给的函数图像,属于中等题型.
14．
【分析】先算出所有事件数，再求出符合题意的事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求出概率．
【详解】甲、乙两人各掷一枚质地均匀的骰子共有种情况，
两人所掷点数的差超过的共有、、、、、，共种，
则两人所掷点数的差不超过共有种情况，
则甲、乙两人各掷一枚质地均匀的骰子，则两人所掷点数的差不超过的概率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算概率，解题的关键就是求出基本事件总数以及符合题意的事件所包含的基本事件数，考查计算能力，属于中等题.
15．
【分析】先求出二项展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中的系数．
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，因此，展开式中的系数为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
16．15
【分析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.
【详解】二项展开式通项为：
当时，
常数项为：
本题正确结果：
【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.
17．
【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】解析：因为的通项为，
由题设可得，可得，故常数项为，
故答案为：.
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）计算出参考独立性检验常用小概率值和相应临界值表比较可得答案；
（2）用分别表示受调者答对选择题、填空题的个数，求出、，由可得答案.
【详解】（1），
根据小概率值的独立性检验，
认为受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度不存在年龄差异；
（2）用分别表示受调者答对选择题、填空题的个数，
则，所以，
则可取则，
所以，，，
所以，
由，
该受调者答对题目数量的期望为.
19．(1)列联表见解析，没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关
(2)分布列见解析，
【分析】(1)根据独立性检验的方法判断即可求解；
(2)利用二项分布求分布列和数学期望.
【详解】（1）补全列联表如图所示：
故没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.
（2）由题知，从已选取的400人中随机抽取1人，属于“非优秀员工”的概率为，
的所有可能取值为0，1，2，3，
且，.
，，
所以的分布列为
所以.
20．（1）列联表详见解析，有99.9%的把握认为“吸烟与性别”有关；（2）
【分析】（1）由条件填写列联表，然后计算和10.828比较大小，做出判断；
（2）分层抽样可知，男生中选4人，女生中选1人，然后一一列举出所有的基本事件和满足条件的基本事件的个数，求概率.
【详解】（1）由条件可知人，
所以男生中不吸烟的人数为人，
女生中吸烟人数为人，
列联表如下：
，
有99.9%的把握认为“吸烟与性别”有关；
（2）由分层抽样可知，男生中选4人，女生中选1人，
男生设为，女生设为，
则任选2人的基本事件为，，
,共10个基本事件，
其中恰好抽到“一男一女”的共有共4个基本事件，
则恰好抽到“一男一女”的概率是.
【点睛】本题考查独立性检验，古典概型求概率，意在考查分析数据，解决问题的能力，属于基础题型.
21．（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128，乙的成绩更好 （2）见解析 （3）分布列见解析，数学期望为0.8
【解析】（1）按大小顺序排好后，第10个数和第11个数的平均数是中位数；
（2）计算频率及频率除以组距后可画出频率分布直方图；
（3）不低于140分的有5个，取值依次为0，1，2，求出概率的分布列，再由期望公式求得期望．
【详解】解：（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128，乙的成绩更好
（2）乙频率分布直方图如下图所示
（3）甲乙不低于140分的成绩共5个，则的取值为0，1，2
；；
所以的分布列为
【点睛】本题考查茎叶图，中位数，考查频率分布直方图，考查随机变量的频率分布直方图，属于中档题．本题还考查了学生的数据处理能力．
22．（1），
（2）
【解析】(1)根据频率分布直方图的图形面积之和为1列式求解.再利用频率分布直方图计算平均数的方法求解即可.
(2)利用枚举法将所有可能的情况列举,再根据古典概率的求解方法计算即可.
【详解】（1）由图一可知,
该居民月平均用水量约为

（2）由回归直线方程知,对应的月平均气温刚好为
,
再根据图二可得,该居民2019年5月和10月的用水量刚好为,且该居民2019年有4个月每月用水量超过,有6个月每月用水量低于,
因此,用分层抽样的方法得到的样本中,有2个月（记为）每月用水量超过,有3个月（记为）每月用水量低于,从中抽取2个,有共10种结果,
其中恰有一个月用水量超过的有共6种结果,
设“这2个月中恰有1个月用水量超过”为事件,则
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的运用以及分层抽样与古典概型的方法,属于中等题型.
优秀员工
非优秀员工
总计
男性
30
170
200
女性
20
180
200
总计
50
350
400
0
1
2
3
吸烟
不吸烟
合计
男
40
60
100
女
10
90
100
合计
50
150
200
0
1
2