04对数和对数函数-北京市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）

这是一份04对数和对数函数-北京市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·北京石景山·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·北京昌平·高一统考期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度D．向下平移2个单位长度
3．（2024上·北京昌平·高一统考期末）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·北京海淀·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·北京海淀·高一统考期末）已知，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024上·北京海淀·高一统考期末）在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024上·北京通州·高一统考期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024上·北京通州·高一统考期末）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2024上·北京丰台·高一统考期末）（ ）
A．B．C．D．
10．（2024上·北京海淀·高一统考期末）科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是（ ）
A．B．C．1D．
11．（2024上·北京西城·高一统考期末）已知，，则 （ ）
A．B．C．D．
12．（2023上·北京大兴·高一统考期末）声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：W/m2）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB；一般说话时，声音的等级约为60 dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）
A．106倍B．108倍C．1010倍D．1012倍
二、填空题
13．（2024上·北京·高一北京市十一学校校考期末）计算： ．
14．（2024上·北京密云·高一统考期末） .
15．（2024上·北京房山·高一统考期末） ； .
16．（2018上·北京西城·高一校考期中）已知函数，则的值是 .
17．（2024上·北京大兴·高一统考期末）已知函数，若，则 ；若，且，则的取值范围是 .
18．（2024上·北京昌平·高一统考期末），，三个数中最大的数是 .
三、解答题
19．（2024上·北京房山·高一统考期末）已知函数.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性，并证明；
(3)解关于的不等式.
20．（2024上·北京朝阳·高一统考期末）设函数．
(1)当时，求的值；
(2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；
(3)当时，的最小值为3，求m的值．
21．（2024上·北京东城·高一统考期末）已知函数．
(1)当时，
①求的值；
②求的图象与直线的交点坐标；
(2)若的值域为R，求实数a的取值范围．
22．（2024上·北京大兴·高一统考期末）已知函数，.
(1)求证：为偶函数；
(2)设，判断的单调性，并用单调性定义加以证明.
23．（2024上·北京西城·高一统考期末）对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合.
(1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由，
①；②；
(2)若（）是集合中的元素，求的最小值；
(3)若，求证：是的充分不必要条件.
参考答案：
1．D
【分析】由可得，即的图象在图象的上方，画出图象，即可得出答案.
【详解】因为的定义域为，
因为，，
由可得，即的图象在图象的上方，
画出的图象，如下图，

由图可知：不等式的解集是.
故选：D.
2．D
【分析】变形函数解析式，再与指定函数比对即得.
【详解】函数化为：，显然把函数的图象下移2个单位长度即得的图象，
所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向下平移2个单位长度.
故选：D
3．B
【分析】根据函数奇偶性与单调性判断即可.
【详解】对于选项A：关于原点对称，是奇函数，且在上单调递减，故A不正确；
对于选项B：关于轴对称，是偶函数，且在上单调递增，故B正确；
对于选项C：是非奇非偶函数，且在上单调递减，故C不正确；
对于选项D：关于轴对称，是偶函数，且在上单调递减，故D不正确.
故选：B.
4．B
【分析】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集.
【详解】的定义域为，
因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，所以，
所以不等式解集为，
故选：B.
5．D
【分析】根据题意结合指、对数函数单调性运算求解.
【详解】因为，
由在上单调递增，可得，即；
由在内单调递增，可得，即；
由在内单调递增，可得，即；
综上所述：.
故选：D.
6．C
【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可知正确图象.
【详解】因为在同一坐标系中，
所以的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD；
在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，由图象可知，
所以单调递减，单调递增，故排除B，
故选：C.
7．D
【分析】先判断出的范围，再比较大小即可.
【详解】因为，所以；，；，；所以.
故选：D
8．D
【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的定义域、值域一一判定选项即可.
【详解】易知，且，，故其定义域与值域均为.
显然A选项定义域与值域均为，故A错误；
因为，且恒成立，即其定义域与值域均为，故B错误；
，即其定义域为，值域为，故C错误；
，且，故其定义域与值域均为，即D正确.
故选：D
9．A
【分析】利用根式的性质、指数和对数的运算性可得出所求代数式的值.
【详解】，故A正确.
故选：A.
10．D
【分析】根据题意得出曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，再根据题设条件即可得出结果.
【详解】由题意曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，
因为，即，则，
所以分形维数是.
故选：D.
11．B
【分析】先将指数式化为对数式得到的表示，然后根据对数的运算性质求解出的值.
【详解】因为，所以，
因为，
所以
故选：B.
12．B
【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，根据题意得出，，计算求的值．
【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，，则，
，则，
所以，
因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍．
故选：B．
13．
【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则及对数的运算性质，准确计算，即可求解.
【详解】根据指数幂的运算法则及对数的运算性质，可得：
.
故答案为：.
14．4
【分析】根据对数运算和指数运算计算出答案.
【详解】.
故答案为：4
15． 4 2
【分析】直接利用指数对数的运算性质计算即可.
【详解】，
.
故答案为：；.
16．
【分析】根据分段函数的表达式代入进行求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
故答案为：
17． 或
【分析】根据对数运算求解方程；根据对数函数的图象，即可去绝对值，再结合基本不等式，即可求解的取值范围.
【详解】，得或；
由题意可知，，
由函数图象可知，，则，
即，则，
，
所以的取值范围是.
故答案为：或；
18．
【分析】利用指数函数、对数函数等知识，与1，2进行比较即可求得正确答案.
【详解】，
，，
，
所以三个数中最大的是.
故答案为：
19．(1)
(2)函数是定义在上的偶函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据对数函数定义域求法可得的定义域为；
（2）利用定义域关于原点对称，由奇偶性定义可得为偶函数；
（3）由对数函数单调性解不等式即可得不等式的解集为.
【详解】（1）由题意可得，解得.
所以函数的定义域为.
（2）偶函数，证明如下：
函数的定义域为，关于原点对称.
因为，
所以.
即函数是定义在上的偶函数.
（3）由，
得，即.
因为在是增函数，所以.
解得，
因为函数的定义域为.
因此不等式的解集为.
20．(1)2
(2)在区间上的单调递增，证明见解析
(3)7
【分析】（1）求出函数的解析式，进而求出的值；
（2）利用函数单调性的定义证明单调性；
（3）由（2）的单调性，可得，求出的值.
【详解】（1）当时，，
所以.
（2）在区间上的单调递增，证明如下：
在上任取，且，
则，
因为，，所以，
所以，即，
所以，即，所以，
即在区间上的单调递增.
（3）时，由（2）可得在上单调递增，
所以，
所以.
21．(1)
(2)
【分析】（1）①直接利用代入法即可求解；②令分别求出x，即可求解；
（2）分别求出两段函数的值域，然后并集为R即可求解.
【详解】（1）①当时，，所以，
当时，，所以，
所以；
②当时，，得，解得；
当时，，即，解得或-1（舍去），
所以函数的图象与直线的交点坐标为；
（2）当时，，所以，
即当时，；
当时，，
由，得，
即当时，，
所以，得，解得，
即实数a的取值范围为.
22．(1)证明见解析
(2)是单调递增函数，证明见解析
【分析】（1）由对数复合型函数的定义域结合偶函数的定义即可得证.
（2）直接由函数单调性的定义结合对数函数单调性即可得证.
【详解】（1）函数的自变量满足，
解得，
所以函数的定义域为.
对于，都有，
且
所以函数为偶函数.
（2）函数是单调递增函数.
理由如下：设，且，
因为，所以，即，
又知，所以，
因此，
即，由函数单调性定义可知，函数是单调递增函数.
23．(1)答案见解析
(2)1
(3)证明见解析
【分析】（1）判断①时，取结合定义进行分析；判断②时，根据的结果进行分析；
（2）分别考虑： ，然后根据定义结合对数运算以及对数函数单调性分析出时，时，由此可确定出的最小值；
（3）根据定义直接分析充分性，证明必要性成立时取，然后分析在上的单调性，由此推出矛盾完成证明.
【详解】（1）①不是.
当时，，
，
所以不是集合中的元素；
②是.
，，
所以是集合中的元素.
（2）当时，，，
，
因为，在上单调递减，
故成立，即；
若，令，，
，
因为，在上单调递减，
所以，因此，
综上所述，的最小值为1.
（3）充分性：因为，所以，，，进而，
同理，相加得，即，所以充分性满足；
必要性：设，，，
所以，此时，当时，，
所以在上单调递减，因此，所以必要性不满足；
综上所述，是的充分不必要条件.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，涉及参数范围求解、充分不必要条件的证明等问题，对学生的分析与推理能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键：证明充分性时，通过将和加起来，以此证明；证明必要性时，构造并分析的单调性是证明的关键.