09三角函数的图象与性质-北京市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，2019

这是一份09三角函数的图象与性质-北京市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，2019，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·北京东城·高一统考期末）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·北京朝阳·高一统考期末）函数是（ ）
A．奇函数，且最小值为B．奇函数，且最大值为
C．偶函数，且最小值为D．偶函数，且最大值为
3．（2024上·北京大兴·高一统考期末）函数的最小正周期等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·北京密云·高一统考期末）已知，，，则“”的一个充分而不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024上·北京东城·高一统考期末）下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024上·北京丰台·高一统考期末）若α，β都是第一象限角，则“”是“”成立的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2024上·北京丰台·高一统考期末）下列函数在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023上·北京朝阳·高一统考期末）已知角为第一象限角，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023上·北京顺义·高一统考期末）已知，且存在使得，则的值是（ ）
A．0B．1C．2D．
10．（2023上·北京顺义·高一统考期末）若函数的图象关于直线对称，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023上·北京·高一清华附中校考期末）若函数是奇函数，使得取到最大值时的一个值为（ ）
A．B．0C．D．
12．（2023上·北京·高一清华附中校考期末）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2024上·北京丰台·高一统考期末）已知，则 ，的最小值为 .
14．（2024上·北京密云·高一统考期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则 ；若（，且），则的一个取值为 .
15．（2024上·北京密云·高一统考期末）已知函数给出下列五个结论：
①存在无数个零点；
②不等式的解集为（）；
③在区间上单调递减；
④函数的图象关于直线对称；
⑤对（），都有.
其中所有正确结论的序号是 .
16．（2024上·北京·高一校考期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确序号有 .
①为奇函数；
②函数的图象关于点对称；
③在上单调递增；
④若函数在上没有零点，则.
17．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数，的值域为 .
18．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数的对称中心为 .
19．（2022上·北京·高一北京市第十二中学校考期末）已知函数（其中，），，恒成立，且在区间上单调，给出下列命题：
①是偶函数；②；③是奇数；④的最大值为3．
其中正确的命题有 ．
20．（2023上·北京朝阳·高一统考期末）设函数的定义域为I，如果，都有，且，已知函数的最大值为2，则可以是 ．
三、解答题
21．（2024上·北京大兴·高一统考期末）设关于的函数的最小值为.
(1)求；
(2)若，求函数的最大值.
22．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）设函数，.
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程以及单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值.
23．（2022上·北京东城·高一统考期末）已知函数的最小正周期为，再从下列①②两个条件中选择一个作为已知条件：
①的图象关于点对称；②的图象关于直线对称.
(1)请写出你选择的条件，并求的解析式；
(2)在（1）的条件下，求的单调递增区间.
24．（2023上·北京顺义·高一统考期末）已知函数，满足.
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间.
25．（2023上·北京东城·高一统考期末）已知函数.
(1)求的值；
(2)当时，求的值域.
参考答案：
1．C
【分析】由已知结合偶函数的对称性可确定时函数性质，然后结合分式不等式的求法可求．
【详解】因为是定义在,上的偶函数，当时，单调递减，，
所以时，函数单调递增，,
所以的解集,,，的解集，
当时，的解集,,，
时的解集,,，
则不等式可转化为或，
解得或或．
故选：C．
2．D
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，判定A、B不正确；再结合三角函数的图象与性质，求得函数的最大值和最小值，即可求解.
【详解】由函数，可得其定义域，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
因为，
所以为的一个周期，
不妨设，
若时，可得，
因为，可得，
当时，即时，可得；
当时，即时，可得；
若，可得，
因为，可得，
当时，即时，可得；
当时，即时，可得，
综上可得，函数的最大值为，最小值为.
故选：D.
3．A
【分析】利用正切函数的周期公式计算即得.
【详解】函数的最小正周期.
故选：A
4．D
【分析】根据函数单调性结合充分、必要条件逐项分析判断.
【详解】当时，满足，但不成立，不满足充分性，A选项错误；
由指数函数单调性可知，若，则，反之，若，则，
所以是的充要条件，B选项错误；
当时，满足，但不成立，不满足充分性，C选项错误；
若，则有，反之，不能得到，比如当时，不成立，
所以是的充分不必要条件，D选项正确.
故选：D
5．A
【分析】根据基本初等函数的单调性以及奇偶性即可求解.
【详解】对于A，为奇函数，且为单调递增的幂函数，故A正确，
对于B，为非奇非偶函数，故不符合，
对于C，为反比例函数，在和均为单调递增函数，但在定义域内不是单调递增，故不符合，
对于D，在单调递增，但在定义域内不是单调递增，故不符合，
故选：A
6．C
【分析】设，且，由和在上单调递增，可判断.
【详解】因为α，β都是第一象限角，
设，且，
因为和在上单调递增，
当时，即，
所以，则，
所以；
反之，当时，即，
所以，则，即,
所以“”是“”成立的充分必要条件.
故选：C
7．D
【分析】结合函数的单调性依次判断即可.
【详解】解:对于A项，函数在上单调递增，故A项错误；
对于B项，函数在上有增有减，故B项错误；
对于C项，函数在上单调递增，故C项错误；
对于D项，函数，则函数在上单调递减，故D项正确.
故选：D
8．A
【分析】先确定的取值范围，由此求得的取值范围.
【详解】由于角为第一象限角，
所以，
所以，
由于，所以，
所以.
故选：A
9．B
【分析】利用诱导公式得到，代入函数解析式即可得到，从而求出的值.
【详解】解：因为存在使得，
即存在使得，
即，
即，
因为，所以，
所以，所以.
故选：B
10．C
【分析】令,，然后对赋值可得.
【详解】由，，得
取可得.
故选：C
11．A
【分析】根据三角函数的奇偶性求出,再根据对称轴使得取到最大值,计算即可.
【详解】若函数是奇函数,所以.
所以,
当取到最大值时,,即,可得，
当时, .
故选:.
12．B
【分析】逐项分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间上的单调性，可得出结论.
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，故A错误；
对于B选项，函数的最小正周期为，当时，，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；
对于C选项，函数的最小正周期为，当时，，
因为在上单调递减，所以在上单调递减，故C错误；
对于D选项，函数的最小正周期为，故D错误.
故选：B.
13．
【分析】由已知直接代入求解即可得；先利用同角三角函数的关系将已知式子变形，利用换元法结合二次函数求得最小值.
【详解】，
，
令，则，
函数对称轴为 ，又，
所以当时，有最小值，
所以的最小值为.
故答案为：；.
14． / （答案不唯一）
【分析】由三角函数定义求解，根据特殊角的三角函数值求出角，然后求解正切函数不等式，根据题意写出答案即可.
【详解】因为角以为始边，终边经过点，所以；
由角的终边在第二象限，且，得，
则即，
所以即，
故的一个取值为（答案不唯一，只要满足即可）.
故答案为：；（答案不唯一）
15．①④⑤
【分析】解方程判断①；利用特殊区间判断②；利用特殊值法可判断③；推导出判断④；利用单调性性质及不等式性质判断⑤.
【详解】对于①，由可得且，即函数的定义域为，
令可得，则，且，
故，所以函数有无数个零点，①对；
对于②，当时，，此时，则，
故当时，，而（），②错；
对于③，，，
因为，即，故，
故函数在上不可能单调递减，③错；
对于④，对任意的，，
所以函数的图象关于直线对称，④对；
对于⑤，对（），，
则有，从而，
假设函数在上的最大值点为，则，
因为函数在上单调递增，且，
对任意的，且，则，
所以，
则，⑤对.
故答案为：①④⑤.
【点睛】关键点点睛：本题第③小问中函数的单调性不好判断，可分析出函数的最值点所在的区间，并分析出函数的图象是连续的，再结合最值定理来进行判断.
16．②④
【分析】根据图象先求解出的解析式，①：根据对应的解析式直接判断奇偶性；②：根据的取值是否为判断是否为对称中心；③：考虑时的函数值特点，然后作出判断；④：先得到的解析式，然后采用整体代换法结合正弦函数的性质求解出的取值范围.
【详解】依题意，可得，又，则，所以，
因为，所以，
所以，又，所以，
所以；
对于①，，显然是偶函数，故①错误；
对于②，，故函数的图象关于点对称，故②正确；
对于③，当时，，函数取得最大值，
所以在上不是单调增函数，故③错误；
对于④，因为，则，
因为，当时，，
因为在上没有零点，
可得，解得，故④正确，
故选：②④.
17．
【分析】求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得结果.
【详解】令，，
因为函数在上单调递增，当时，，即，
又因为函数在上单调递增，
当时，，
所以，函数，的值域为.
故答案为：.
18．，.
【分析】利用整体代换法求解对称中心.
【详解】令，
解得
故函数的对称中心为，.
故答案为：，.
19．②③④
【分析】根据得到，根据单调区间得到，得到或，故③④正确，求得的解析式即可判断①，由函数的对称性可判断②.
【详解】设的周期为，
∵，，∴，， 故，则，，
由，则，故，，，
当时，，，
∵在区间上单调，∴，故，即，
则，故，即，又，，所以或，故③④正确；
当时，，，又，则，此时不是偶函数；当时，，，又，则，此时不是偶函数，故①错误；
由题可知是函数的一条对称轴，故成立，故②正确.
故答案为：②③④.
20．（答案不唯一）
【分析】根据函数的奇偶性和最值写出符合题意的.
【详解】依题意可知是偶函数，且最大值为，
所以符合题意.
故答案为：（答案不唯一）
21．(1)
(2)5
【分析】（1）换元成二次函数，分情况讨论二次函数的单调性讨论最小值即可.
（2）根据二次函数的单调性进行最值的讨论.
【详解】（1）解：（1），
设，则，
由于，
若，则当时，取得最小值1，即；
若，则当时，取得最小值，
即
若，则当时，取得最小值，即.
所以.
（2）由第（1）问的结论可知，
当时，无解；
当时，由，解得，或（舍）；
当时，由，解得（舍），
综上，
此时
当，即时，取得最大值5.
22．(1)详见解析；
(2)详见解析
【分析】（1）利用三角函数周期定义即可求得函数的最小正周期，利用整体代换法即可求得函数的对称轴方程以及单调递增区间；
（2）利用正弦函数图像性质和换元法即可求得函数在区间上的最小值和最大值，进而得到取最值时的值.
【详解】（1）的最小正周期为，
由，可得，
则的对称轴为，
由，可得，
则的单调递增区间为.
（2）由，可得，
则，
故函数在区间上的最小值为最大值为，
当即时函数取得最小值为，
当即时函数取得最大值为.
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式，利用整体思想，结合正弦型函数的对称轴与对称中心，建立方程，可得答案；
（2）利用整体思想，根据正弦函数的单调增区间，建立不等式，可得答案.
【详解】（1）若选①：
因为函数的最小正周期为，所以，解得，
因为的图象关于点对称，所以，解得，
由，则，故.
若选②：
因为函数的最小正周期为，所以，解得，
因为的图象关于直线对称，所以，则，
由，则，故.
（2）由（1）可知，令，
解得，故函数的单调增区间为.
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据代入计算可得；
（2）由（1）可得的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）解：因为且，
所以，即，又，所以.
（2）解：由（1）可得，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
25．(1)；
(2).
【分析】(1)根据诱导公式和特殊角三角函数值求解；(2)利用余弦函数性质及不等式性质求的值域.
【详解】（1）因为，
所以，
（2）由(1) ，又，所以，
所以，故当时，的值域为.