01等差数列-北京市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）

这是一份01等差数列-北京市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·北京通州·高二统考期末）已知等差数列的通项公式，则数列的首项和公差d分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2023上·北京朝阳·高二统考期末）已知为等差数列，，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（2022上·北京·高二北京二中校考期末）在等差数列中，若，，则（ ）
A．38B．39C．40D．41
4．（2024上·北京通州·高二统考期末）已知等差数列，则等于（ ）
A．B．0C．2D．5
5．（2023上·北京大兴·高二统考期末）若等差数列满足，，则其前n项和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在等差数列中满足，，，则等差数列前4项的和为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2023上·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在等差数列中，，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2022上·北京·高二北京二中校考期末）已知为等差数列，为其前n项和，若，，则当______，有最大值．（ ）
A．3B．4C．3或4D．4或5
9．（2023上·北京朝阳·高二统考期末）已知等差数列，其前项和为，若，则（ ）
A．3B．6C．9D．27
10．（2024上·北京东城·高二统考期末）哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（ ）
A．2041年～2042年B．2061年～2062年
C．2081年～2082年D．2101年～2102年
11．（2024上·北京顺义·高二统考期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气.立竿测影，得其最短日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，春分日影长为7.5尺，则这十二个节气中后六个（春分至芒种）日影长之和为（ ）
A．8.5尺B．30尺C．66尺D．96尺
12．（2024上·北京通州·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A．有最大值为B．有最大值为
C．有最大值为30D．有最小值为30
二、填空题
13．（2023上·北京·高二校考期末）在公差为的等差数列中，为其前n项和，且，则等于 .
14．（2024上·北京丰台·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为 .
15．（2022上·北京·高二汇文中学校考期末）已知数列满足，，，则数列的前6项和＝ ．
16．（2023上·北京东城·高二统考期末）在等差数列中，，，则 .
17．（2022上·北京·高二北京二中校考期末）在等差数列中，已知，，则 ．
18．（2024上·北京顺义·高二统考期末）已知等差数列的首项为，且，则 .
三、解答题
19．（2023上·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在等差数列中满足，，.
(1)求等差数列的通项公式
(2)若数列的前项的和为，判断是否有最小值，若有最小值，求此时的值；若没有最小值，说明理由
20．（2024上·北京通州·高二统考期末）设数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个符合题目要求的条件作为已知，完成下列问题．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
条件①：且;
条件②：且；
条件③：且．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．（2024上·北京东城·高二统考期末）已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P.
(1)判断下列数列是否具有性质P；
①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32.
(2)已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值；
(3)若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.
22．（2022上·北京·高二北京二中校考期末）设满足以下两个条件的有穷数列,,…,为阶“Q数列”：
①；②．
(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“Q数列”；
(2)若2018阶“Q数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；
(3)记n阶“Q数列”的前k项和为，求证．
参考答案：
1．D
【分析】直接计算首项，根据等差数列的定义计算公差d.
【详解】因为等差数列的通项公式，
所以首项，
公差.
故选：D.
2．C
【分析】由等差数列性质，，求出式子的值.
【详解】因为是等差数列，所以.
故选：C.
3．B
【分析】根据，求出，然后用公式计算即可.
【详解】在等数列中，，
所以，
解得，
所以，
故选：B.
4．B
【分析】设出等差数列的公差为，建立等量关系求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，所以，
解得：，.
故选：B.
5．A
【分析】由已知求出和的值，得到，即可求出最小值.
【详解】由题意可得，，又，所以.
所以，的前n项和，
当时，有最小值.
故选：A.
6．D
【分析】根据已知得到等差数列的通项公式,再应用等差数列前项的和公式计算即可.
【详解】因为在等差数列中，，,
则,
所以
即得,
所以.
故选: .
7．B
【分析】根据等差数列性质求解即可.
【详解】因为数列为等差数列，，
所以，故，
故选：B.
8．C
【分析】设为等差数列的公差为.利用基本量代换求出，结合二次函数的性质即可求得.
【详解】设为等差数列的公差为.
因为，，
所以，解得：.
所以.
结合二次函数的性质可得：当或时，有最大值12.
故选：C
9．C
【分析】利用等差数列性质，结合前项和公式计算即得.
【详解】在等差数列中，，解得，
所以.
故选：C
10．B
【分析】构造等差数列求出其通项公式，给赋值即可．
【详解】由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列，
则等差数列的通项公式为，
，，
可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年．
故选：B．
11．B
【分析】利用等差数列基本量列方程组、方程求解.
【详解】设这个等差数列为，公差为，首项为冬至日最短日影长，根据题意有
即，解得
所以.
故选:B
12．C
【分析】利用等差数列的求和公式结合二次函数性质求解即可.
【详解】由，公差得，
，
易知一定为正整数，且结合二次函数性质得当或时，取得最大值30，显然C正确.
故选：C
13．3
【分析】根据等差数列求和公式即可求解.
【详解】由得，所以．
故答案为：3．
14．（答案不唯一）
【分析】由命题为假命题，则符合条件的等差数列递减且即可.
【详解】等差数列的前项和为，
若“对，若，则”是假命题，
只需等差数列为递减数列，即可，符合题意.
故答案为：
15．36
【分析】由题意可知数列为等差数列，代入其前项和公式即可求得前项和的表达式，即可求得结果.
【详解】因为知是以为首项，以2为公差的等差数列，
其前项和为，，则，
故答案为：36.
16．
【分析】利用已知条件求出公差，利用等差数列通项公式求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由，，
所以，
所以，
故答案为：.
17．
【分析】设首项为，公差为，依题意得到方程组，解得、，即可求出通项公式，从而得解.
【详解】解：在等差数列中，，设首项为，公差为，
则，解得，所以，
所以.
故答案为：
18．24
【分析】由等差数列的通项公式可得.
【详解】因为是等差数列，，，
设公差为d，可得，解得，
所以，
故答案为：24.
19．(1)；
(2)有最小值-84，取最小值时，或.
【分析】(1)利用等差数列通项公式和前项和公式列方程求公差和首项，由此可得通项公式；
(2)求数列的前项和，结合二次函数性质求其最小值.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以，，
所以，，
所以等差数列的通项公式为；
（2）因为，所以，，
当或时，取最小值，最小值为-84，
所以有最小值-84，取最小值时，或.
20．(1)选择条件①：，不合题意；选择条件②：；选择条件③：
(2)选择条件②：；选择条件③：.
【分析】（1）选①，利用等差数列的性质转化为首项和公差的方程组，求出公差不符合题意，选②，③利用等差数列的性质转化为首项和公差的方程组，求出首项和公差即可求出通项公式.
（2）将第一问结论代入，再利用裂项相消即可求出结果.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d．
选择条件①：且，解得，不合题意．
选择条件②：且，
由等差数列的通项公式及前n项和公式得解得．
所以等差数列的通项公式为．
选择条件③：且，
由等差数列前n项和公式得解得．
所以等差数列的通项公式为．
（2）选择条件②：因为，所以，
．
选择条件③：因为，
所以．
所以
．
21．(1)答案见解析
(2)或
(3)存在，4045；一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045
【分析】（1）根据数列具有性质的定义进行判断即可求解.
（2）由具有性质，然后利用其性质对分奇偶进行讨论即可求解.
（3）根据具有性质，然后利用其性质分别对，分情况讨论，从而其存在最小值，即可求解.
【详解】（1）①：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，而，所以具有性质P.
②：2，4，8，16，32，任意两项和的结果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10个，而，所以不具有性质P.
（2）对于数列：2，4，8，16，32，m，任意两项和不同的取值最多有15个，所以.而：2，4，8，16，32中任意两项和的结果有10个，且全是偶数.
（i）当为奇数时，都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则：2，4，8，16，32，中所有的值共有15个，所以.
（ii）当为偶数时，都是偶数，所以.
所以.
时，在前项中任两项和的结果中未出现，
所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾.
时，，，这三个结果在前项中任意两项和的结果中未出现，所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾.
时，：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值有6，10，12，16，18，20，22，24，30，34，36，40，46，48共个，成立.
综上，或.
（3）存在最小值，且最小值为.
将的项从小到大排列构成新数列：，
所以.
所以的值至少有个.
即的值至少有个，即.
数列：1，3，5，…，4043，4047，4045符合条件.
：1，3，5，…，4043，4047，4045可重排成等差数列：1，3，5，…，4045，4047，
考虑，根据等差数列的性质，
当时，；当时，，
因此每个等于中的一个，
或者等于中的一个.
所以：1，3，5，…，4045，4047中共有4045个不同值.
即：1，3，5，…，4043，4047，4045中共有4045个不同值.
综上，的最小值是4045，一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045.
【点睛】方法点睛：对于数列的新定义，可根据数列具有性质，根据其定义中所有不同值的个数作为解题的思路进行分类讨论，从而即可求解.
22．(1)三阶“数列”:,,;四阶“数列”:,,,
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）借助新定义利用等差数列,写出一个单调递增的3阶和4阶“数列”;
（2）利用某阶“数列”是等差数列,根据已知条件分别求出首项和公差即可；
（3）判断k=n时,,然后证明k＜n时,利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可.
【详解】（1）不妨设其数列为等差数列,因为阶“数列”单调递增,
则由,可知:,且,
解得:,所以,故,
解得:,故三阶“数列”：,,;
同理，不妨设4阶“数列”为等差数列,公差为,
因为4阶“数列”单调递增,
由可知:,
即,,所以,且,
因为,所以,
即,解得:,
将代入中,解得:,
可得四阶“数列”：,,,．
（2）设等差数列,,,,公差为,,
∵,∴,
∴,则,
,根据已知条件得：
①,②,
两式相减得:,即,
根据,得,，
.
（3）当时,显然成立;
当时,根据条件①得,
即,
∴,
∴.
【点睛】关键点点睛：定义新数列,要将不熟悉的问题进行转化,转化为我们熟悉的问题,本题中将“数列”转化为等差数列,利用等差数列的性质进行求解较为简单,第三问的难点是利用绝对值三角不等式进行证明.