07圆锥曲线方程（双曲线）-北京市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版，2

这是一份07圆锥曲线方程（双曲线）-北京市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版，2，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2024上·北京·高二人大附中校考期末）当实数时，方程表示的曲线都是双曲线，当变化时，这些双曲线的焦距、离心率、渐近线中始终不变的有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
2．（2024上·北京·高二人大附中校考期末）已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·北京海淀·高二统考期末）已知双曲线的左右顶点分别为，右焦点为F，以为直径作圆，与双曲线C的右支交于两点．若线段的垂直平分线过，则的数值为（ ）
A．3B．4C．8D．9
4．（2024上·北京·高二101中学校考期末）已知同时为椭圆：与双曲线：（，）的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，O为坐标原点，给出下列四个结论：
①；
②若，则；
③的充要条件是；
④若，则的取值范围是.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2023上·北京朝阳·高二统考期末）已知双曲线的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024上·北京大兴·高二统考期末）已知是双曲线与椭圆的左､右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024上·北京平谷·高二统考期末）已知双曲线的焦点分别为、，，双曲线上一点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024上·北京房山·高二统考期末）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024上·北京丰台·高二统考期末）过双曲线的右焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．（2024上·北京平谷·高二统考期末）已知双曲线，则“它的渐近线方程为”是“它的离心率为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．（2024上·北京通州·高二统考期末）已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024上·北京通州·高二统考期末）已知P为双曲线右支上一点，为双曲线的左右焦点，等于（ ）
A．8B．6C．4D．3
二、填空题
13．（2024上·北京西城·高二北京师大附中校考期末）已知双曲线，则双曲线的右焦点到其渐近线的距离是 ．
14．（2024上·北京平谷·高二统考期末）已知双曲线的离心率，则 .
15．（2024上·北京西城·高二统考期末）若方程表示的曲线为双曲线，则实数的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围是 .
16．（2024上·北京西城·高二北京师大附中校考期末）设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上．则的渐近线方程是 ；的最大值是 ．
17．（2024上·北京大兴·高二统考期末）已知双曲线是等轴双曲线，则的右焦点坐标为 ；的焦点到其渐近线的距离是 .
18．（2023上·北京·高二校考期末）已知椭圆与双曲线的离心率是方程的两根， ．
19．（2023上·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知双曲线经过点，双曲线C的离心率为，则双曲线C的焦点到其渐近线的距离为 ．
三、解答题
20．（2022上·北京延庆·高二统考期末）圆锥曲线的方程是.
(1)若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
(2)若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线，求的值.
21．（2021上·北京海淀·高二校考期末）已知椭圆，离心率为，它的短轴长等于双曲线的虚轴长
(1)求椭圆C的方程
(2)已知是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点
①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值
②当A，B运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由．
22．（2018·北京·高二统考期末）已知点,,直线相交于点,且它们的斜率之积为.
(1)求点的轨迹方程;
(2)若点,求的最小值.
参考答案：
1．B
【分析】分别求与时双曲线的的值，由此判断各选项的对错.
【详解】当时，方程可化为，
所以 ，，，
焦点坐标在x轴，实轴长为，离心率为，渐近线为，
当时，方程可化为，
所以 ，，，
焦点坐标在y轴，实轴长为，离心率为，渐近线为，
所以这些双曲线有相同的渐近线.
故选：B.
2．B
【分析】根据椭圆，双曲线定义结合轨迹判断各个选项即可；
【详解】对于A选项：,轨迹为椭圆；
对于B选项：,轨迹不存在．；
对于C选项：的轨迹存在，
比如点就在轨迹上；
对于D选项：,轨迹为椭圆；
故选：B.
3．C
【分析】由双曲线方程得，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得是的中点，得到关系求，进而求出.
【详解】由双曲线，得，，
由题意，点在以为直径的圆上，则，
取的中点,由线段的垂直平分线过，则，
则，故是的中点，
且，所以，解得，
故.
故选：C.

4．D
【分析】根据椭圆以及双曲线的关系，即可判断A选项；根据椭圆以及双曲线的定义，结合余弦定理，可推得B、C选项；根据椭圆以及双曲线的定义结合三角形的三边关系，得出的关系式.进而根据对勾函数的单调性，即可得出D选项.
【详解】
对于A项，由已知椭圆与双曲线共焦点可得，，故A选项正确；
对于B项，根据椭圆以及双曲线的定义，
可得，所以.
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得：.
所以，即，故B项正确；
对于C项，
必要性：若，则为直角三角形，
所以，
即，
整理可得：，
两边同时除以可得，，即，满足必要性；
充分性：若，易可得，，
所以，所以为直角三角形，且，
可得，满足充分性.
故C项正确；
对于D项，由已知可得.
所以，.
令，则.
因为，所以.
又，所以有，所以有；
，所以有，所以有.
所以.
设函数，再设，
则，
由于，得，，，
所以，即，函数在区间上单调递增，
所以，所以，故D正确.
故选：D.
5．A
【分析】由实轴长得，由焦点到渐近线的距离为，则可得渐近线方程.
【详解】由双曲线知，焦点在轴上，
设左焦点，其中一条渐近线方程为，即.
由实轴长为得，解得；
由左焦点到渐近线的距离,
则双曲线渐近线方程为.
故选：A.
6．A
【分析】由双曲线定义、椭圆定义以及离心率公式，结合已知条件运算即可得解.
【详解】
由知，
所以，
∵，∴，∴，
∵，∴的离心率是.
故选：A.
7．B
【分析】由双曲线的定义求出，由可得，然后由离心率的计算公式计算即可.
【详解】因为双曲线的焦点分别为、，，
所以，故，
又因为双曲线上一点满足，所以，故，
所以双曲线的离心率为.
故选：B.
8．C
【分析】根据椭圆的和双曲线的定义结合焦点三角形的性质求解即可.
【详解】设双曲线的方程为，
在椭圆中，
则，因为是以为底边的等腰三角形，
所以，由椭圆的定义可知，，
所以，再由双曲线的定义可得，
所以，因为双曲线与椭圆有公共焦点，
所以，
故双曲线的标准方程为.
故选：C.
9．D
【分析】根据给定条件，求出的长，再利用双曲线定义、结合余弦定理列式求解即得.
【详解】令双曲线的左焦点为，连接，由切圆于得，，
令双曲线的半焦距为c，则，由，得，
由双曲线定义得，在中，，
由余弦定理得，即，
解得，所以双曲线的离心率.
故选：D
10．D
【分析】依题意可分别讨论参数的符号，再分别验证渐近线和离心率即可得出结论.
【详解】根据意题意，若，则渐近线方程为，即可得，
此时离心率为，即充分性不成立；
若，当离心率为时可得，即可得，
此时渐近线方程为，显然必要性也不成立；
即可得“它的渐近线方程为”是“它的离心率为”的既不充分也不必要条件；
故选：D
11．A
【分析】先根据离心率计算出的值，然后根据渐近线方程为分析出结果.
【详解】因为双曲线的离心率为，所以，
所以，
又因为的渐近线方程为，且，
所以渐近线方程为，
故选：A.
12．B
【分析】由双曲线的定义即可求出结果.
【详解】因为P为双曲线右支上一点，所以.
故选：B.
13．2
【分析】根据双曲线的标准方程写出右焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线距离公式求解即可．
【详解】的右焦点坐标为，渐近线方程为．
到即的距离为．
由对称性知到的距离为．
故答案为：2．
14．1
【分析】由双曲线的标准方程确定，求得，再利用离心率求得．
【详解】由题意显然有，，因此，，解得，
故答案为：1.
15．
【分析】根据双曲线和椭圆的标准方程依次建立不等式（组），解之即可求解.
【详解】若方程为双曲线时，，解得或，
即实数m的取值范围为；
若方程为椭圆时，，解得，
即实数m的取值范围为.
故答案为：；
16．
【分析】由双曲线方程可得、，即可得渐近线；设出点坐标，表示出向量后结合点在双曲线的右支上即可得的最大值.
【详解】由可得，，故，，
则其渐近线方程为；
设，则，，
，由点在双曲线上，故，即，
故
，由，故.
故答案为：；.
17． 1
【分析】根据等轴双曲线的概念求得，即可得焦点，再根据点到直线的距离可得结果．
【详解】双曲线是等轴双曲线，则，，
，则，则则的右焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，
则焦点到渐近线的距离，
故答案为：，1．
18．35或
【分析】根据方程求得其两根，结合椭圆、双曲线离心率的范围，可得双曲线，椭圆的离心率即可求得答案.
【详解】方程的两根为和，
所以双曲线的离心率是，可得＝，解得，
又椭圆的离心率为，可得或，
解得或．
则有或．
故答案为：35或．
19．4
【分析】利用已知条件先求出双曲线的标准方程，找出一个焦点和一条渐近线，
利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】由双曲线经过点，则
，①
双曲线离心率为：，②
又，③
联立①②③解得：，
所以双曲线标准方程为：
所以双曲线的一个焦点为，
一条渐近线为，
所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为：
，
故答案为：4.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由条件可得，解出即可；
（2）由条件可得，解出即可.
【详解】（1）若表示焦点在轴上的椭圆，则，解得
（2）若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线，则，解得
21．(1)；
(2)①，②直线的斜率为定值，理由见解析.
【分析】（1）根据题意可求得，再根据椭圆的离心率求得，即可得解；
（2）①设，直线的方程为，联立，利用韦达定理求得，再由四边形面积，即可得出最大值；
②当时，的斜率之和为0，设直线的斜率为，则直线的斜率为，将的直线方程分别代入椭圆方程，然后运用韦达定理求得，再由化简即可得出结论.
【详解】（1）解：因为椭圆的短轴长等于双曲线的虚轴长，
所以，
又椭圆的离心率为，
所以，所以，
所以椭圆C的方程为；
（2）解：①设，直线的方程为，
联立，消得，
，解得，
，
则四边形面积
，
所以当时，；
②当时，的斜率之和为0，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程为，
联立，消得，
则，
同理，
所以，
从而，
所以直线的斜率为定值.
【点睛】本题考查了椭圆的方程及联立直线方程消去一个未知数，得到二次方程，运用韦达定理求解，考查了运算能力、数据分析能力和逻辑推理能力，计算量较大，考查了椭圆中的定值问题及面积问题，难度较大.
22．(1)
(2)
【分析】（1）设,由题意,化简即可得到点的轨迹方程；
（2）由（1）中的方程，利用双曲线的定义，转化为,判定直线与双曲线的交点即为时，得到最小值
【详解】（1）设,则,且，
因为,即,且，整理得，
所以点的轨迹方程为；
（2）由（1）知,点的轨迹方程是双曲线，
所以，
所以为双曲线的右焦点,设双曲线的左焦点为,
因为在第一象限，所以若最小,则在双曲线的右支上，
由双曲线的定义知,则,
所以，
因为两点之间线段最短,所以连接,则与双曲线的交点即为，
所以，
所以的最小值为，