08圆锥曲线方程（抛物线）-北京市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版，20

这是一份08圆锥曲线方程（抛物线）-北京市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版，20，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·北京延庆·高二统考期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·北京平谷·高二统考期末）已知抛物线上一点到焦点的距离是4，则其准线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·北京通州·高二统考期末）已知点在抛物线上，且点A到抛物线准线的距离为3，则等于（ ）
A．1B．2C．D．
4．（2024上·北京丰台·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2024上·北京房山·高二统考期末）已知为抛物线上一点，到的焦点的距离为，到轴的距离为，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024上·北京西城·高二北京师大附中校考期末）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．（2023上·北京·高二校考期末）已知直线与抛物线的准线相交于点A，O为坐标原点，若，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024上·北京西城·高二统考期末）抛物线的焦点到其准线的距离等于（ ）
A．B．3C．6D．8
9．（2024上·北京东城·高二统考期末）设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（2023上·北京朝阳·高二统考期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则（ ）
A．B．4C．D．
11．（2023上·北京东城·高二北京市第一六六中学校考期末）已知抛物线方程为，则其准线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
12．（2024上·北京顺义·高二统考期末）探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线C：，一条光线经过点，与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点M到点N经过的总路程为 .
13．（2024上·北京海淀·高二清华附中校考期末）已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为 ．
14．（2024上·北京平谷·高二统考期末）已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是 ，得到的一个抛物线标准方程是 .
15．（2024上·北京延庆·高二统考期末）若曲线上的两点，满足，则称这两点为曲线上的一对“双胞点”.下列曲线中：①；②；③；④.存在“双胞点”的曲线序号是 ．
16．（2024上·北京昌平·高二统考期末）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一.给出下列四个结论：
①曲线关于坐标原点对称；
②曲线上任意一点到原点的距离的最小值为2；
③曲线恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④曲线所围成的区域的面积大于8.
其中所有正确结论的序号是 .
17．（2024上·北京昌平·高二统考期末）设为抛物线的焦点，则点的坐标为 ；若抛物线上一点满足，那么点的横坐标为 .
18．（2023上·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知O为坐标原点，抛物线C：上一点A到焦点F的距离为4，设点M为抛物线C准线l上的动点．若为正三角形，则抛物线C方程为 ．
19．（2023上·北京密云·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于．若，，则抛物线的方程为 ．
三、解答题
20．（2024上·北京顺义·高二统考期末）如图，已知M是抛物线C：（）上一点，F是抛物线C的焦点，以Fx为始边，FM为终边的，且，l为抛物线C的准线，O为原点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线FM与抛物线C交于另一个点N，过N作x轴的平行线与l相交于点E.求证：M，O，E三点共线.
21．（2024上·北京海淀·高二统考期末）已知直线经过抛物线的焦点，且与C的两个交点为P，Q．
(1)求C的方程；
(2)将向上平移5个单位得到与C交于两点M，N．若，求值．
22．（2024上·北京石景山·高二统考期末）已知抛物线，其准线方程为.
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线交于不同的两点，求以线段为直径的圆的方程.
23．（2024上·北京延庆·高二统考期末）根据下列条件，分别求出曲线的标准方程：
(1)焦距是，过点，焦点在轴上的椭圆；
(2)一个焦点是，一条渐近线方程为的双曲线；
(3)焦点到准线的距离是，而且焦点在轴上的抛物线.
24．（2024上·北京房山·高二统考期末）已知直线与抛物线相交于两点．
(1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求弦长．
25．（2024上·北京大兴·高二统考期末）已知抛物线，过的焦点且垂直于轴的直线交于不同的两点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的直线与相交于不同的两点为线段的中点，是坐标原点，且与的面积之比为，求直线的方程.
参考答案：
1．B
【分析】根据抛物线的定义即可得解.
【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大，
所以动点到定点的距离等于到的距离，
所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以动点的轨迹方程是.
故选：B.
2．A
【分析】根据抛物线的定义可直接写出答案.
【详解】因为抛物线的准线为：，根据抛物线的定义，可得到准线的距离为，即.
所以准线方程为.
故选：A
3．D
【分析】由抛物线的定义可求出，再由即可求出结果.
【详解】由抛物线的定义知，点A到抛物线准线的距离为，所以，
又，所以.
故选：D.
4．A
【分析】根据焦半径公式，即可求解.
【详解】由焦半径公式可知，，得.
故选：A
5．B
【分析】由焦半径的性质即可得.
【详解】，故.
故选：B.
6．A
【分析】结合抛物线的定义计算即可得.
【详解】由抛物线可知其焦点为，其准线为，
到的距离为5，则到的距离为，
故.
故选：A.
7．D
【分析】由抛物线方程求得准线方程，联立直线方程求得点A坐标，再根据斜率，即可求得p，则问题得解.
【详解】抛物线的准线为，
∵直线与抛物线C的准线相交于点A，
∴，
∵，
∴＝2，解得，
故抛物线的方程为．
故选：D．
8．B
【分析】由抛物线方程直接得焦点坐标，准线方程即可求解.
【详解】由题意抛物线的焦点坐标、准线方程分别为，
所以抛物线的焦点到其准线的距离等于3.
故选：B.
9．B
【分析】根据抛物线方程求解出焦点和准线方程，则结果可知.
【详解】因为抛物线方程，所以焦点为，准线为，
所以焦点到准线的距离为，
故选：B.
10．D
【分析】将直线的方程与抛物线方程联立，得，由焦点弦长公式得弦长.
【详解】抛物线的焦点，直线的方程为，
联立方程组，得，
设，，
则，.
故选：D.
11．D
【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．
【详解】因为抛物线的焦点在y轴正半轴上，
所以准线方程为.
故选：D．
12．24
【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解.
【详解】由题意可知：抛物线C：的准线，
设入射光线所在直线与抛物线和准线分别交于点，两次反射后反射光线所在直线与抛物线和准线分别交于点，
可知，
所以光线从点M到点N经过的总路程为
.
故答案为：24.
13．4
【分析】先确定抛物线的标准方程，再根据抛物线的定义求有关距离.
【详解】因为点在抛物线上，所以.
所以，抛物线：，焦点：
所以到焦点的距离：.
故答案为：4
14． ①
【分析】利用抛物线焦点坐标以及标准方程形式即可得出答案.
【详解】若选择①，由焦点坐标可设，又可知，可得抛物线标准方程是；
若选择②，根据题意可知，抛物线只能开口向右或向上，
若开口向右，可设，将代入可得抛物线标准方程为；
若开口向上，可设，将代入可得抛物线标准方程为；
故答案为：①；（②；或）
15．①④
【分析】根据定义结合椭圆、双曲线、抛物线的性质与图象一一判定即可.
【详解】对于①，如显然符合“双胞点”定义；
对于②，易知其图象为双曲线的图象在第一、三象限的部分，
显然该部分图象单调递增，没有符合“双胞点”定义的点；
对于③，易知其图象为抛物线的图象在第一象限的部分，
显然该部分图象单调递增，没有符合“双胞点”定义的点；
对于④，如显然符合“双胞点”定义；
综上①④有“双胞点”.
故答案为：①④
【点睛】思路点睛：根据“双胞点”的定义结合椭圆、双曲线、抛物线的图象与性质一一判定选项即可.
16．①③④
【分析】对①：将点代入，依旧满足该方程即可得；对②：找出反例即可得；对③：由曲线可得，将所有整点求出即可得；对④：借助曲线的对称性，证明该曲线在第一象限部分与坐标轴围成的面积大于直线与坐标轴围成的面积即可得.
【详解】对①：将点代入，可得，故①正确；
对②：令，则，故在曲线上，该点到原点的距离为，
故②错误；
对③：由、，故，令，有，解得，
令，则， 解得，令，则，
此时不为整数，令，则，解得，
故曲线恰好经过整点、、、，共8个整点，
故③正确；
对④：将点代入，可得，
故曲线关于轴对称，令点在曲线上，且该点在第一象限，
则，，则有，故，
令，则，即，
当且仅当时，等号成立，
故有，整理得，
因式分解可得，
由，故，故有，
即，即，当且仅当时，等号成立，
故除点在直线上外，
点恒在直线上方，
直线与坐标轴交点为、，
则直线与坐标轴围成的面积，
则曲线在第一象限部分与坐标轴围成的面积大于，
由曲线关于坐标原点对称且关于轴对称，
故，
即故曲线所围成的区域的面积大于8，故④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点睛：本题结论④关键在于将曲线所围成的区域的面积大于8转化为求证曲线在第一象限部分与坐标轴围成的面积大于2，结合点在曲线上，转化为证明除点外其余点恒在直线上方，即证当，时，恒成立.
17． 4
【分析】根据抛物线方程易得，即得焦点坐标；利用抛物线的定义将焦半径转化，即可求得点的横坐标.
【详解】由可得抛物线的焦准距为，故焦点的坐标为；
不妨设，由可得：，即得：，即点的横坐标为.
故答案为：；4.
18．
【分析】根据抛物线的定义，结合等边三角形的性质进行求解即可.
【详解】根据抛物线的对称性，不妨设点A在第一象限，
因为为正三角形，所以，
因为抛物线点到焦点的距离等于该点到准线的距离，
所以与准线垂直，，
因此有，所以抛物线的方程为，
故答案为：
19．
【分析】根据抛物线的定义可得，然后在直角三角形中利用可得，从而可得答案．
【详解】根据抛物线的定义可得，
又，所以，得，
所以抛物线的方程为．
故答案为：．
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）方法1：作出辅助线，由焦半径公式和得到为等边三角形，求出，得到抛物线方程；
方法2：过M作轴，垂足为G，设点M的横坐标为，得到方程组，求出答案；
方法3：点，求出，代入抛物线方程中，得到方程，求出，得到答案；
（2）求出直线FM的方程，联立抛物线方程，得到M，进而得到E，从而求出，，证明出结论.
【详解】（1）方法1：过M作，垂足为A，连结FA，则，
因为，所以，为等边三角形，
故.
因为，所以，
即，
故抛物线C的方程为.

方法2：过M作轴，垂足为G，
则.
设点M的横坐标为，
根据题意得：
解得.抛物线C的方程为.

方法3：设点，
则，
因为在抛物线C上，所以，
化简得，
解得或（舍）.
抛物线C的方程为.
（2）证明：抛物线C的焦点，，
直线FM的方程为.
联立方程得，
解得，，所以，
M点坐标为，E点坐标为，
因为，.

所以M，O，E三点共线.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系，处理三点共线，四点共圆，或两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等，进而列出方程，代入计算即可.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由直线与轴交点得焦点，待定可得方程；
（2）联立直线与抛物线的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于的方程，求解可得.
【详解】（1）抛物线的焦点在轴上，
直线，令，得，则焦点，
所以，即，
所以抛物线的方程为；
（2）直线向上平移5个单位得到，
由，消得，
设直线与交于两点，
则，且，
，
由，化简整理得，
解得（舍）或，
所以.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据准线方程，确定，即可求抛物线方程；
（2）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理求中点坐标以及弦长，即可求解圆的方程.
【详解】（1）由题意知，所以.
所以抛物线的方程为.
（2）联立，得，其中，
设，线段的中点为.
则，所以.
，
所以以线段为直径的圆的圆心为，半径为4，
所以以线段为直径的圆的方程为.
23．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据椭圆的焦距与顶点及焦点在轴上写出椭圆标准方程即可；
（2）根据双曲线的焦点及渐近线方程写出双曲线标准方程即可；
（3）根据抛物线的性质及焦点在轴上写出抛物线标准方程即可.
【详解】（1）由题意可设，
可知，
则椭圆的标准方程为：；
（2）易知双曲线的焦点在横轴上，
可设标准方程为，
则，且是其一条渐近线，
即，故，所以双曲线的标准方程为：；
（3）若焦点在纵轴正半轴，可设抛物线标准方程为：，
因为焦点到准线的距离是，则有，所以，
若焦点在纵轴负半轴上，可设抛物线标准方程为：，
因为焦点到准线的距离是，则有，所以，
综上抛物线的标准方程为：.
24．(1)焦点坐标为，准线方程为
(2)16
【分析】（1）根据抛物线的方程求出焦点坐标和准线方程即可；
（2）直线与抛物线方程联立，根据弦长公式求得弦长.
【详解】（1）由抛物线的方程可知，抛物线开口向右，
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
（2）将代入，整理得．
设，则，
所以.
25．(1)
(2)或
【分析】（1）由题意可得直线方程，进而可得，可求得值，即可得答案.
（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线，根据韦达定理及弦长公式求得点的横坐标，，求出到直线距离，由与的面积的关系列式求出，可得答案.
【详解】（1）抛物线的焦点，
则两点所在的直线方程为：，
代入抛物线，得，，
则，故，
∴抛物线的方程为
（2）由题意，设直线的方程为，，
联立，得，
∴，解得且，
，
∴点的横坐标为，
∴
到直线距离，
∴的面积，
的面积，
由题意，
∴，整理得，解得或，
∴直线的方程为或.