02函数及其性质-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）

这是一份02函数及其性质-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·北京通州·高三统考期末）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·北京昌平·高三统考期末）设函数的定义域为，则“”是“为减函数”的（ ）
A．充分必要条件B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024上·北京房山·高三统考期末）已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024上·北京丰台·高三统考期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024上·北京昌平·高三统考期末）下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知函数，实数满足.若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．6
8．（2024上·北京东城·高三统考期末）一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
9．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．（2024上·北京丰台·高三统考期末）已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为（ ）
A．3.5B．4
C．4.5D．5
11．（2024上·北京石景山·高三统考期末）设函数，则是（ ）
A．偶函数，且在区间单调递增
B．奇函数，且在区间单调递减
C．偶函数，且在区间单调递增
D．奇函数，且在区间单调递减
12．（2024上·北京石景山·高三统考期末）设函数，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2024上·北京西城·高三统考期末）设，函数给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③当时，直线与曲线恰有3个交点；
④存在正数及点和，使.
其中所有正确结论的序号是 .
14．（2024上·北京房山·高三统考期末）函数的定义域是 .
15．（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知是奇函数，当时，，则 ．
16．（2024上·北京海淀·高三统考期末）已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是 .
17．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知函数，则 .
18．（2024上·北京东城·高三统考期末）设函数
①若，则的最小值为 .
②若有最小值，则实数的取值范围是 .
三、解答题
19．（2022上·北京东城·高三统考期末）曲线在点处的切线交轴于点.
(1)当时，求切线的方程；
(2)为坐标原点，记的面积为，求面积以为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.
20．（2022上·北京朝阳·高三对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期末）1.已知函数=
(1)判断在上的单调性并用定义证明；
(2)求在的最大值和最小值，及其对应的的取值
21．（2022上·北京·高三北京四中校考期中）某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值是这种新材料的含量x（单位：克）的函数，且性能指标值越大，该产品的性能越好.当时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①；②（且）；③（且）；其中k，a，b，c均为常数.当时，，其中m为常数.研究过程中部分数据如下表：
(1)指出模型①②③中最能反映y和x（）关系的一个，并说明理由；
(2)求出y与x的函数关系式；
(3)求该新合金材料的含量x为多少时，产品的性能达到最佳.
22．（2023上·北京海淀·高三统考期中）已知函数，且．
(1)求的值；
(2)求的单调区间；
(3)设实数满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，求的最大值．
x（单位：克）
0
2
6
10
……
y
8
8
……
参考答案：
1．C
【分析】由函数奇偶性以及单调性定义对选项逐个判断即可.
【详解】对于A，的定义域为，
，故为奇函数，故A错误；
对于B，的定义域为，不关于原点对称，
故是非奇非偶函数，故B错误；
对于C，的定义域为，
，故为偶函数，
当时，，在区间上单调递减，故C正确；
对于D，的图象如下图，
故D错.
故选：C.
2．B
【分析】利用函数的单调性及充分、必要条件的定义判定选项即可.
【详解】若，则，
作出函数图象，
，
由图象可知成立，但显然不为减函数；
若为减函数，又，则，
所以“”是“为减函数”的必要不充分条件.
故选：B
3．B
【分析】利用函数的单调性判断即可.
【详解】由得，，结合在上单调递减，
则必有，显然B正确，A错误，
而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误.
故选：B
4．C
【分析】根据给定条件，可得函数是R上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得.
【详解】由函数满足，得函数是R上的偶函数，而在上单调递减，
因此，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
5．C
【分析】利用正切型函数的图象与性质结合分段函数性质即可得到解集.
【详解】设，
令，且，解得，，
令，则，则在上单调递增，
，则，
则当时，，，则满足，即，
当时，，且单调递减，，且单调递增，
则时，，即；时，，即；
综上所述：的解集为，
故选；C.
6．D
【分析】AB可根据函数图象直接得到在上的单调性；C选项，求导得到单调性；D选项，根据复合函数单调性满足同增异减求出答案.
【详解】A选项，在上单调递增，不合要求，错误；
B选项，在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
C选项，在上恒成立，
故在上单调递增，C错误；
D选项，令得，，
在上单调递增，
而在上单调递减，
由复合函数单调性可知，在上单调递减，D正确.
故选：D
7．D
【分析】由分段函数的定义域对进行分类讨论可得的范围，即可得的最大值.
【详解】当时，有，
由随增大而增大，且，故，
当时，有，即，
即，
整理得，即，
故，又，故，
综上所述，，
则，当且仅当、时等号成立，
故的最大值为.
故选：D.
8．B
【分析】根据粒子的运动轨迹得到周期，进而得到和的周期，观察图象即可.
【详解】由题知，粒子从为一个周期，
对应由为一个周期，
对应由为两个周期，
函数的周期是函数的周期的倍.
对于A，的周期为，的周期为，故A错误；
对于B，的周期为，的周期为，故B正确；
对于C，的周期为，的周期为，故C错误；
对于D，的周期为，的周期为，故D错误.
故选：B.
9．A
【分析】求出时的范围，然后根据充分条件及必要条件的概念即可得出结论.
【详解】由题意，在中，对称轴，
∴当时，，解得：，
∴“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
10．C
【分析】先利用函数的额单调性，转化为求在上的最大值；再根据的取值范围的不同，讨论函数在上的单调性，求函数的最大值.
【详解】易判断函数为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数，上的最大值.
当时，，二次函数的对称轴为，函数在上单调递增，所以；
当时，，
因为，所以在上递增，在上也是递增，
所以；
当时，，
因为，所以在上递增，在上递减，在上递增，
所以或，
若，则；
若，则;
当时，，（因为），
所以函数在上递增，在上递减，所以.
综上可知：的最小值为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题，然后讨论函数在给定区间上的单调性，从而求最大值.认真分析函数的单调性是关键.
11．D
【分析】根据函数的奇偶性和单调性求得正确答案.
【详解】的定义域为，
，
所以是奇函数，AC选项错误.
当时，
，
在上单调递增，在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递增，B选项错误.
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递减，D选项正确.
故选：D
12．C
【分析】根据分段函数解析、对数运算、指数运算求得正确答案.
【详解】，
由于，
所以，
所以.
故选：C
13．①②④
【分析】对于①，分成，两种情况讨论在区间上单调性；对于②，结合函数的单调性求函数的最值；对于③，当时，结合函数与的单调性得出此时无交点，当时，设，利用特殊值，得出交点个数进行判断；对于④，令，，进行验证.
【详解】对于①，当时，在上单调递减，此时.
当时，在区间上单调递减显然成立；
当时，当时，在单调递减，此时，所以在区间上单调递减，故①成立；
对于②，如图，当时，
当时，在单调递减，在单调递增，此时的最大值为；
当时，在上单调递减，此时的最大值为，
所以存在最大值，最大值为，故②正确；

对于③，当时，在R上单调递减，当时，，
当时，在单调递增，此时的最大值为，
所以直线与曲线没有交点；
当时，，设，
由，解得，
当时，，如图，此时直线与曲线恰有2个交点，故③错误；
对于④，当时，当时，，
当时，；
当时，，，
如图，取，时，
，
所以存在正数及点和使成立，故④正确.

故答案为：①②④.
【点睛】求分段函数的最值方法：根据每一段函数的单调性求出各自的最值或者范围，再进行对比求出最终的最值.
14．
【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.
【详解】由题意可得、，故且，
故该函数定义域为.
故答案为：.
15．/0.5
【分析】利用奇函数的定义补充分段函数，后求值即可.
【详解】由题意得是奇函数，故当时，，显然.
故答案为：
16．②④
【分析】取可判断①，取化简后可判断②，先化简，取可判断③，取可判断④.
【详解】对于①，当时，其最大值为1，最小值为0，的最大值与最小值的差为1，故①错误；
对于②，当时，，，因此对任意，，故②正确；
对于③，，，当时，故③错误；
对于④，当时，取，，使得对任意，都有，故正确.
故答案为：②④
17．/
【分析】利用函数表达式即可求出的值.
【详解】由题意，
在中，
，
故答案为：.
18．
【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在段，结合二次函数的性质即可得.
【详解】①当时，，
则当时，，
当时，，
故的最小值为；
②由，则当时，，
由有最小值，故当时，的最小值小于等于，
则当且时，有，符合要求；
当时，，故不符合要求，故舍去.
综上所述，.
故答案为：；.
19．(1)
(2)，定义域，增区间为和和
【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线方程.
（2）利用导数的几何意义求出切线方程，求得坐标，利用面积公式，写成分段函数，进而求得函数的定义域，再利用导数结合换元法研究函数的单增区间.
【详解】（1）由，求导，当时，切点为，
切线的斜率，则切线方程为：，即
所以切线的方程为：
（2）由，求导，切点
切线斜率，则切线方程为
令，则，所以切线与轴的交点
，
所以的面积为
当时，；
当或时，
所以面积以为自变量的函数解析式为
由表示面积，，
即或或
解得：或或
所以函数的定义域为
令，令，则
则，求导
令，即，解得
所以在区间上单调递增，其余部分单调递减；
所以在区间上单调递增，其余部分单调递减，
又，且，，由翻折变换可知，
的单调递增区间为和和
20．(1)在上单调递增，证明见详解
(2)的最大值为5，对应的值为1或4，的最小值为4，对应的.
【分析】（1）利用定义法证明函数单调性，取值，作差，判号，下结论；（2）结合第一问的结论，可以用同样的方法来证明在上单调递减，故得到在的单调性，从而得到在的最大值和最小值，及其对应的的取值.
【详解】（1）在上单调递增，理由如下：任取，，且，
，因为，，且，故，且，所以，故在上的单调递增.
（2）由（1）知，在单调递增，同理可证，在上单调递减，故在上单调递减，在上单调递增，故的最小值在处取到，，又，，综上：的最大值为5，对应的值为1或4，的最小值为4，对应的.
21．(1)模型①；
(2)；
(3)当克时产品的性能达到最佳．
【分析】（1）根据题中数据结合条件即得；
（2）结合待定系数法，代入数据运算即得；
（3）按，分类，结合指数函数、二次函数的性质分别求最值，进而即得.
【详解】（1）模型①最能反映y和x（）的关系，
由题可知时，，显然模型③不合题意，
若为模型②，则，不合题意，
故模型①最能反映y和x（）的关系；
（2）当时，，
由可得，
由得，
由得，
解得，
所以；
当时，y＝，
由，可得，
解得，即有y＝.
综上，可得 ；
（3）当时，，
即有时，性能指标值取得最大值12；
当时， 单调递减，
所以当x＝7时，性能指标值取得最大值3；
综上可得，当x＝4克时产品的性能达到最佳．
22．(1)
(2)增区间，减区间
(3)
【分析】（1）根据已知条件列方程组，从而求得.
（2）利用导数求得的单调区间.
（3）结合的图象、切线以及不等式恒成立求得的最大值.
【详解】（1）依题意，，解得.
（2）由（1）得，，
当时，，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
（3）由（2）得，
所以的图象在处的切线方程为，此时.
同时，，因此在时恒成立，
直线是曲线的切线，则，
结合图象可知，当时，不恒成立.
当时，，恒成立.
当时，，因此，所以的最大值为.
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.