08数列-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）

这是一份08数列-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·北京通州·高三统考期末）现有12个圆，圆心在同一条直线上，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，从左到右它们的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列，前3个圆如图所示.若点分别为第3个圆和第10个圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·北京房山·高三统考期末）数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于，取3为弱率，4为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，则（ ）
A．8B．7C．6D．5
3．（2024上·北京顺义·高三统考期末）设为等差数列的前项和．若，公差，，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
4．（2024上·北京海淀·高三统考期末）已知是公比为的等比数列，为其前项和.若对任意的，恒成立，则（ ）
A．是递增数列B．是递减数列
C．是递增数列D．是递减数列
5．（2024上·北京丰台·高三统考期末）在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积（单位：L）依次成等差数列，若，，则（ ）
A．5.4B．6.3
C．7.2D．13.5
6．（2024上·北京东城·高三统考期末）设等比数列的各项均为正数，为其前项和，若，则（ ）
A．6B．8C．12D．14
7．（2024上·北京西城·高三统考期末）设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024上·北京大兴·高三统考期末）设无穷等差数列的公差为，集合.则（ ）
A．不可能有无数个元素
B．当且仅当时，只有1个元素
C．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为
D．当时，最多有个元素，且这个元素的和为0
9．（2022上·北京大兴·高三统考期末）设为等差数列的前n项和．已知，，则（ ）
A．为递减数列B．
C．有最大值D．
10．（2023上·北京通州·高三统考期末）等差数列中，，，则的通项为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023上·北京朝阳·高三统考期末）在数列中，，若存在常数c，对任意的，都有成立，则正数k的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023上·北京东城·高三统考期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．8B．16C．32D．64
二、填空题
13．（2024上·北京房山·高三统考期末）记为等差数列的前项和，已知，，则 .
14．（2024上·北京东城·高三统考期末）一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期.给出下列四个判断：
①对于数列，若，则为周期数列；
②若满足：，则为周期数列；
③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；
④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列.
其中所有正确判断的序号是 .
15．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知数列的前项和为，且，数列是公差不为0的等差数列，且满足是和的等比中项.给出下列四个结论：
①数列的通项公式为；
②数列前21项的和为；
③数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新数列，则新数列的前100项和为236；
④设数列的通项公式，则数列的前100项和为2178.
其中所有正确结论的序号是 .
16．（2024上·北京昌平·高三统考期末）已知数列的前项和满足，且成等差数列，则 ； ．
17．（2024上·北京石景山·高三统考期末）在数列中，，给出下列四个结论：
①若，则一定是递减数列；
②若，则一定是递增数列；
③若，，则对任意，都存在，使得；
④ 若，，且对任意，都有，则的最大值是．
其中所有正确结论的序号是 ．
18．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数，取一正数作为的第一个近似值，定义，则是的一列近似值.当时，给出下列四个结论：① ；② ；③，；④ ，.其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
19．（2024上·北京房山·高三统考期末）若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.
(1)若具有性质“”，且，，，求；
(2)若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；
(3)设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，，求证：具有性质“”.
20．（2024上·北京海淀·高三统考期末）对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且中所有数不全相同，中第行第列的数，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，其中.记.设集合或，记为集合所含元素的个数.
(1)对以下两个数表，，写出，，，的值；
(2)若中恰有个正数，中恰有个正数.求证：；
(3)当时，求的最小值.
21．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：
①；
②对于，使得的正整数对有k个.
(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明：；
(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.
22．（2024上·北京东城·高三统考期末）若有穷数列满足：，则称此数列具有性质.
(1)若数列具有性质，求的值；
(2)设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；
(3)把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.
参考答案：
1．B
【分析】由题意可知，的最大值为这8个圆的直径之和，然后利用等比数列求和公式可求得结果
【详解】由题意可知，这12个圆的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列，
所以，
的最大值为这8个圆的直径之和，
由等比数列前项和公式可得，的最大值为.
故选：B.
2．B
【分析】根据题意不断计算即可解出．
【详解】因为为强率，由可得，，即为强率；
由可得，，即为强率；
由可得，，即为强率；
由可得，，即为强率；
由可得，，即为弱率，所以，
故选：B.
3．C
【分析】先由等差数列的前项和公式求得，将转化为关于的方程求解.
【详解】根据题意：，公差，可知，
所以，
所以即为：，解得：.
故选：C
4．B
【分析】先根据等比数列前项和,结合恒成立，得出的取值范围，得到 是递减数列.
【详解】是公比为的等比数列，为其前项和,
恒成立,恒成立,
若，则可能为正也可能为负，不成立
所以,
当是递减数列,
当是递减数列,
故选:B.
5．B
【分析】利用等差数列的性质及求和公式求解.
【详解】∵依次成等差数列，，
∴，即，又，
则.
故选：B.
6．D
【分析】结合等比数列的性质可计算出公比，由等比数列前项和的定义即可得.
【详解】设公比为，则，则，
又的各项均为正数，故，
则.
故选：D.
7．B
【分析】对进行分类讨论，结合等比数列前项和公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
若，则，，此时不存在符合题意的，所以.
若，则，
当为正偶数时，，所以存在无穷多个正整数，使.
当时，，
其中，，所以，此时不存在符合题意的.
当时，，
其中，当是正奇数时，，所以，此时不存在符合题意的；
当是正偶数时，，，所以存在无穷多个正整数，使.
综上所述，的取值范围是.
故选：B
8．D
【分析】对于，选项，可取特殊数列验证即可；对于可假设成立，结合图象推出与已知矛盾；对于，结合正弦函数的周期，即可判断.
【详解】选项，取，则，由，因为是无穷等差数列，正弦函数是周期为的函数，所以在每个周期上的值不相同，故错误；
选项，取，即，则，只有一个元素，故错误；
选项，假设只有2个元素，，这2个元素的乘积为，如图可知当等于或时，显然不是等差数列，与已知矛盾，故错误；
选项，当时,
，
，
，
，
，
，，所以最多有个元素，
又因为正弦函数的周期为，数列的公差为，
所以把周期平均分成份，所以个元素的和为0，故正确.
故选:.
【点睛】方法点睛：本题考查等差数列与正弦函数性质相结合，采用特例法，数形结合的方法判断.
9．B
【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式求得其首项和公差，再依次判断各选项.
【详解】∵数列为等差数列，，，
，，∴，
对于A，∵，∴数列为递增数列，故A错误；
对于B，∵，故B正确；
对于C，∵数列为递增数列，∴无最大值，故C错误；
对于D，∵，故D错误.
故选：B．
10．A
【分析】根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得.
【详解】设等差数列的公差为，
依题意，解得，
所以.
故选：A
11．B
【分析】由可得，可得用极限思想和数学归纳法的思想分析计算即可得到正数k的最大值.
【详解】因为，
所以，
所以，
由于满足上式，故
当时，有趋近于时，趋近于
此时没有最大值，故不满足题意，舍去；
所以，
当时，可证对任意的，都有，
由题知，若存在常数c，对任意的，都有成立，则，
以下进行证明：存在常数，对任意的，都有成立.
当时，，结论成立
假设时结论成立，即
则，
则存在常数，对任意的，都有成立
故正数k的最大值为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系和数列中参数最大值的求解，属于难题，解题的关键是要把递推关系进行转化求解，结合数列中的极限思想和数学归纳法的思想进而求解问题.
12．D
【分析】根据及等比数列的通项公式求出公比，再利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】设等比数列的公比为,
因为，，所以，解得.
所以.
故选:D.
13．
【分析】由等差数列及其前项和的性质计算即可得.
【详解】设，则，
即，故.
故答案为：.
14．②③
【分析】根据题设条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于①，因为，取数列：，
显然满足，但数列不是周期函数，所以①错误；
对于②，因为数列满足：，
不妨令，
则数列为，故，所以②正确；
对于③，为周期数列，不妨设周期为，
所以数列中项的值有个，即数列中的项是个数重复出现，
故存在正整数，使得恒成立，所以③正确；
对于④，取数列为首项2， 当时，，
则当为奇数时，，当为偶数时，，取，
则恒成立，但不为周期数列.
故答案为：②③.
【点睛】关键点晴：本题的关键在于对新概念的理解，然后再结合各个选项中的条件，通过取特殊数列可得出①和④的正误；再利用周期数列的定义可得出②和③的正误.
15．①④
【分析】利用求出可判断①；设数列的构成为，根据是和的等比中项求出可得，再利用裂项相消求和可判断②；求出构成的新数列，再求和可判断③；求出数列的前100项再求的前100项和可判断④.
【详解】时，，得，
时，，
可得，所以是以首项为公比为的等比数列，
所以，故①正确；
设数列的构成为，，
因为是和的等比中项，所以，
可得，解得，
所以，
，
所以数列前21项的和
，故②错误；
数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个2，
使它们和原数列的项构成一个新数列，则
时，即在与之间插入个2，为，
时，即在与之间插入个2，为，
时，即在与之间插入个2，为，
时，即在与之间插入个2，为，
时，即在与之间插入个2，为，
时，即在与之间插入个2，为，
所以新数列的前100项和为
，故③错误；
因为，
即数列的前100项为，
所以的前100项和
，故④正确.
故选：①④.
【点睛】关键点睛：③④解题的关键点是求出构成的新数列，再求和可判断.
16．
【分析】根据题意，得到，得到为等比数列，列出方程组，求得，再由等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】由数列的前项和满足，
当时，，两式相减可得，
又由成等差数列，所以，即，
解得，所以数列是以2为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
故答案为：；.
17．②③④
【分析】根据数列的单调性、最值、不等式、差比较法、导数等知识对结论进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
①若，则，
如，则是摆动数列，所以①错误.
②若，则，
，构造函数，
在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，
所以，所以，
所以一定是递增数列，②正确.
③若，，则，
，，，
当时，，
所以是单调递增数列，且每次递增都超过，
所以对任意，都存在，使得，③正确.
④ 若，，则，
对任意，都有，
，
，恒成立，
所以，所以的最大值是，④正确.
故答案为：②③④
【点睛】要判断数列的单调性，可以考虑利用差比较法，由的符号来进行判断，当时，可以利用与的关系来判断.利用导数来求最值，求导之后关键是求得函数的单调区间，再根据单调区间来求最值.
18．①④
【分析】对于①②直接迭代计算判断即可；对于③④，先证明引理 “数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于”，进一步根据不等式或者基本不等式的性质进行判断.
【详解】对于①，，，故①正确；
对于②，，故②错误；
为了说明选项③④，引理：我们先来讨论与的关系；
由于是偶数，所以，对于而言，由于为奇数，所以，
所以有，
由于数列每一项均为正，所以利用均值不等式，有，取不到等号，即，
同时有，因此数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于；
对于③，当时，由于是偶数，所以
，
由于数列从第3项起，奇次项均大于，以及每一项均为正，
所以，
于是，时，相邻奇次项之差同号，又由于，
所以，即，
从而时，恒有，故③错误；
对于④，当时，根据上述引理可知，
所以有，
从而有，
利用均值不等式有代入上式得，
即，故④正确.
故答案为：①④.
【点睛】关键点睛：对于③④的判断，关键是先证明引理 “数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于”，由此即可顺利得解.
19．(1)
(2)不具有性质“”，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由具有性质“”，可得当时，，结合题意计算即可得；
（2）由题意计算出通项公式后，检验是否恒等于即可得；
（3）借助既具有性质“”，又具有性质“”，则当时，有，，则有，，通过运算得到，从而可验证对任意的时，是否有即可得.
【详解】（1）由具有性质“”，则当时，，
故，，，又，，
故，
即；
（2）不具有性质“”，理由如下：
设，，由，，
即有，解得，故，，
则，有，
则，不恒等于，故不具有性质“”；
（3）由既具有性质“”，又具有性质“”，
即当时，有，，
则有，，
由，故，
故，即，由，，则，
当，即时，有，
即对任意的时，有，即具有性质“”.
【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过对数列新定义的分析，从而得到，，并由此得到，，从而得出.
20．(1)，；，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）按定义求出，，，，进行求解即可.
（2）分两种情况进行证明，即①或，②且分别证明即可.
（3）因为，分情况讨论①若或时；②若或；③若，进行求解.
【详解】（1），；，.
由定义可知：将数表中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），，的值不变.因为为奇数，，所以，均不为0.
（2）当或时，不妨设，即，.
若，结论显然成立；
若，不妨设，，则，，.
所以，结论成立.
当且时，不妨设，，，，
则当时，；当时，.
因为当，时，，，
所以.
所以.
同理可得：，，.
所以.
（3）当时，的最小值为.对于如下的数表，.
下面证明：.
设中恰有个正数，中恰有个正数，.
①若或，不妨设，即，.
所以当时，.
由中所有数不全相同，记数表中1的个数为，则，且
，.
所以.
②由①设且.若或，不妨设，则由（2）中结论知：.
因为，
所以.
③由①②设且.
若，则由（2）中结论知：.
因为，
所以.
若，，不妨设，，，且，由（2）中结论知：.所以.
若数表中存在为1，将其替换为后得到数表.
因为，，
所以.
所以将数表中第行第列为1的数替换为后值变小.
所以不妨设.
因为，，
所以，故的最小值为.
21．(1)数列和数列3，1
(2)证明见解析
(3)的最大值为512072
【分析】（1）根据k减数列的定义，即可写出答案；
（2）根据存在的6减数列，可得，即，继而分类讨论n的取值，说明每种情况下都有，即可证明结论；
（3）分类讨论数列中的项的情况，结合题意确定数列为的形式，从而结合设其中有项为2，有项为1，进行求解，即可得答案.
【详解】（1）由题意得，则或，
故所有4的1减数列有数列和数列3，1.
（2）因为对于，使得的正整数对有个，
且存在的6减数列，所以，得.
①当时，因为存在的6减数列，
所以数列中各项均不相同，所以.
②当时，因为存在的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以.
若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，
所以，不符合题意，所以.
③当时，因为存在的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以.
综上所述，若存在的6减数列，则.
（3）若数列中的每一项都相等，则，
若，所以数列存在大于1的项，
若末项，将拆分成个1后变大，
所以此时不是最大值，所以.
当时，若，交换的顺序后变为，
所以此时不是最大值，所以.
若，所以，
所以将改为，并在数列末尾添加一项1，所以变大，
所以此时不是最大值，所以.
若数列A中存在相邻的两项，设此时中有项为2，
将改为2，并在数列末尾添加项1后，的值至少变为，
所以此时不是最大值，
所以数列的各项只能为2或1，所以数列为的形式.
设其中有项为2，有项为1，
因为存在2024的减数列，所以，
所以，
所以，当且仅当时，取最大值为512072.
所以，若存在2024的减数列，的最大值为512072.
【点睛】难点点睛：本题考查数列新定义问题，解答时要理解新定义的含义，并由此依据定义去解答问题，难点在于第3问中求参数的最大值问题，要分类讨论，确定数列为的形式，从而结合设其中有项为2，有项为1，进行求解.
22．(1)2；2；4
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）由数列具有性质的定义可得；
（2）由数列具有性质的定义和等差数列的定义可得.
（3）分、和三种情况讨论即得.
【详解】（1）由已知可得数列共有5项，所以，
当时，有，
当时，有，所以，
当时，有，所以，
（2）数列A具有性质，且为奇数，令，
可得，
设，
由于当时，存在正整数，使得，
所以这项均为数列A中的项，
且，
因此一定有
即，
这说明：为公差为的等差数列，再数列A具有性质，
以及可得，数列A为等差数列；
（3）当时，
设A：，，， ，，
由于数列具有性质，且满足，
由和，得，
当时，不妨设，此时：，，此时结论成立，
当时，同理可证，所以结论成立.
当时，不妨设，反例如下：
当时，不妨设，反例如下：
综上所述，符合题意.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
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