吉林省普通高中联考2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份吉林省普通高中联考2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．数列-1,,,,···的一个通项公式为( )
A.B.C.D.
2．直线l的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则( )
A.B.
C.或D.l与的位置关系不能判断
3．已知圆过点作圆的切线,则该切线的一般式方程为( )
A.B.C.D.
4．如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥,该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米,拱形最高点与水面的距离为6米,为增加景区的夜晚景色,景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯,则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为( )
（结果精确到0.01）
5．函数在点处的切线方程为( )
A.B.C.D.
6．设直线l的方程为,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知公差的等差数列前n项和为,满足,则下列结论中正确的是( )
A.B.
C.是中的最大值D.是中的最小值
8．已知双曲线：,M和N分别为实轴的右端点和虚轴的上端点,过右焦点F的直线l交C的右支于A,B两点.若存在直线l使得点M为的重心,则C的离心率为( )
A.B.C.2D.
二、多项选择题
9．已知数列是公比为q的等比数列,且,,成等差数列,则( )
A.B.C.-1D.1
10．已知圆,直线,则( )
A.直线l恒过定点
B.当时,圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1
C.直线l与圆C有两个交点
D.圆C与圆恰有三条公切线
11．已知数列满足,,数列满足．记数列的前n项和为,则下列结论正确的是( )
A.B.数列是等差数列
C.D.
12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为,,点是椭圆C上异于左、右顶点的一点,则下列说法正确的是( )
A.的周长为B.的面积的最大值为2
C.若,则的最小值为D.的最小值为
三、填空题
13．若直线是圆的一条对称轴,则_____________．
14．已知函数,则的导数_____________.
15．抛物线的焦点为F,点,M为抛物线上一点,且M不在直线AF上,则周长的最小值为___________．
16．定义：各项均不为零的数列中,所有满足的正整数i的个数称为这个数列的变号数.已知数列的前n项和（,）,令,若数列的变号数为2,则实数a的取值范围是______________.
四、解答题
17．已知动点P与两个定点,的距离的比是2.
（1）求动点P的轨迹C的方程;
（2）直线l过点,且被曲线C截得的弦长为,求直线l的方程.
18．设数列的前n项和为,且.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列满足,求数列的前项和.
19．如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,侧棱底面ABCD,点E是PD的中点,,．
（1）求PC与AE所成角的大小;
（2）求PC与平面ACE所成角的正弦值．
20．己知双曲线的一条渐近线为,且双曲线C的虚轴长为．
（1）求双曲线C的方程;
（2）记O为坐标原点,过点的直线l与双曲线C相交于不同的两点M、N,若的面积为,求直线l的方程．
21．我国某西部地区要进行沙漠治理,已知某年（第1年）年底该地区有土地1万平方千米,其中是沙漠．从第2年起,该地区进行绿化改造,每年把原有沙漠的改造成绿洲,同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设第n年绿洲面积为万平方千米．
（1）求第n年绿洲面积（单位：万平方千米）与上一年绿洲面积（单位：万平方千米）之间的数量关系（）;
（2）求数列的通项公式;
（3）至少经过年,绿洲面积可超过,求n的值．（参考数据：）
22．已知,为的两个顶点,P为的重心,边AC,AB上的两条中线长度之和为．
（1）求点P的轨迹的方程;
（2）过C作不平行于坐标轴的直线交于D,E两点,若轴于点M,轴于点N,直线DN与EM交于点Q．求证：点Q在一条定直线上,并求此定直线方程．
参考答案
1．答案：A
解析：观察数列-1,,,,···
可知其分母为n,其分子是-1,1交替出现,故分子可为,
所以该数列的一个通项公式为.
故选：A.
2．答案：C
解析：由题意直线l的一个方向向量与平面的一个法向量的数量积为,
所以或.
故选：C.
3．答案：B
解析：因为圆的圆心坐标为,
且点的坐标满足,
这表了点在圆上面,所以直线CP的斜率为,
过点的切线的斜率为,
所以该切线方程为,化为一般式得.
故选：B.
4．答案：A
解析：如图,设抛物线方程为,抛物线经过点,
所以,解得,所以抛物线顶点到焦点的距离为,
故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为米.
故选：A.
5．答案：B
解析：因为,所以,故,
由导数的几何意义知,函数在点处的切线方程为,即.
故选：B.
6．答案：C
解析：当时,方程变为,其倾斜角为,
当时,由直线方程可得斜率,且,
,即,又,,
综上所述,倾斜角的范围是.
故选：C.
7．答案：B
解析：由题意,即,
所以,故B正确;
当时,可得,此时,是中的最小值,
当时,可得,此时,是中的最大值,故ACD错误.
故选：B.
8．答案：A
解析：依题意,,,,
设,,则AB的中点,
因为点M为的重心,则,,
所以AB中点,
因为,,
两式作差得：,化简得,即,
因为,又因为B,A,F,P四点共线,所以.
故,解得,故.
故选：A.
9．答案：AD
解析：由题意,,由等比数列通项公式可得,
由于等比数列每一项都不是0,故,
即,解得或.
故选：AD.
10．答案：ACD
解析：对于A,直线 ,所以,
令,解得,所以直线恒过定点,故A正确;
对于B,当时,直线l为：,
则圆心到直线l的距离为,,
所以圆上只有2个点到直线的距离为1,故B错误;
对于C,因为直线过定点,所以,
所以定点在圆内,则直线与圆有两个交点,故C正确;
对于D,由圆方程可得,,
所以圆心为,半径为,
此时两圆圆心距为,
所以两圆的位置关系为外切,则两圆恰有三条公切线,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BC
解析：由题意得,即,
所以数列是以为首项,为公差的等差数列,故B正确;
由以上可知,所以,从而,故A错误;
而,
所以,故C对D错.
故选：BC.
12．答案：ABD
解析：选项A,由椭圆方程可知,,,
所以的周长,故A正确;
选项B,因为点是椭圆C上异于左、右顶点的一点,
所以,
所以的面积,
当,即时,
即点P位于短轴端点时,的面积最大,最大为2,故B正确;
选项C,由,点,且,
因为,
当时,取最小值,且最小值为,故C错误;
选项D,的几何意义为与点两点连线的斜率,设为k,
由得,
,
解得,
如图,当直线与椭圆C相切时,,
所以的最小值为.故D正确.
故选：ABD.
13．答案：-1
解析：圆的圆心坐标为,
因为直线是圆的一条对称轴,所以圆心在此直线上,
所以,解得.
故答案为：-1.
14．答案：
解析：因为
.
故答案为：.
15．答案：3＋
解析：如图所示,
过M作MN垂直于抛物线的准线l,垂足为N．易知,
因为的周长为,
,,
所以当A、M、N三点共线时,的周长最小,
最小值为．
故答案为：.
16．答案：
解析：依题意当时,,
,
当时,
,
,,,,,且时,,
,
要使数列的变号数为2,则,解得或,即．
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设点,
动点P与两个定点,的距离的比是2,
,即,
则,
化简得,
所以动点P的轨迹C的方程为;
（2）由（1）可知点P的轨迹C是以为圆心,2为半径的圆,
直线被曲线C截得的弦长为,
圆心到直线l的距离,
①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,此时圆心到直线l的距离是3,不符合条件;
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,即,
所以圆心到直线l的距离,
化简得,解得或,
此时直线l的方程为或.
综上,直线l的方程是或.
18．答案：（1）
（2）
（2）根据分组求和法求得正确答案.
解析：（1）依题意,,
当时,,
当时,,
所以,
所以数列是首项为1,公比为2的等比数列,
所以,也符合.
所以.
（2）由（1）得,
所以
.
19．答案：（1）
（2）
（1）,又底面ABCD,AD、底面ABCD,,,
故以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
所以,,所以,
所以,即PC与AE所成角的大小为;
（2）由（1）知,,．
设平面ACE的一个法向量为,则,
取,则,,
所以是平面ACE的一个法向量,
设PC与平面ACE所成角为,
则,
所以PC与平面ACE所成角的正弦值为．
20．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意可得,可得,
因此,双曲线C的方程为.
（2）若直线l与y轴重合,则直线l与双曲线C没有交点,不合乎题意,
所以,直线l的斜率存在,设直线l的方程为,设点、,
联立可得,
由题意可得,解得,
由韦达定理可得,,
则,
,解得,合乎题意,
所以,直线l的方程为或.
21．答案：（1）
（2）
（3）6
解析：（1）由题意得,
（2）由（1）知,,可变形：,
又,
所以数列是以为首项,为公比的等比数列,
所以,故.
（3）由（2）知,,
令,即,所以,
因为,
则,所以,
因为,所以至少经过6年,绿洲面积可超过.
22．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为P为的重心,且边AC,AB上的两条中线长度之和为,
所以,
故由椭圆的定义可知P的轨迹是以,为焦点的椭圆（不包括长轴的端点）,
且,,所以,
所以P的轨迹的方程为.
（2）依题意,设直线DE方程为,
联立,得,
易知,
设,,则,,
因为轴,轴,所以,,
所以直线,直线,
联立解得
,
从而点Q在定直线上.