云南省保山市腾冲市第八中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试卷(含答案)

这是一份云南省保山市腾冲市第八中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数,是方程的两个虚数根,则( )
A.0B.C.2D.4
3．已知数列中,,则( )
A.B.C.-2D.
4．已知m,n表示两条不同的直线,表示平面,则下列说法正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
5．将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合,则的最小值为( )
A.1B.2C.4D.5
6．已知向量,满足,,则( )
A.B.C.D.
7．已知抛物线的焦点为F,直线l过点F与抛物线C相交于A,B两点,且,则直线l的斜率为( )
A.B.C.D.
8．已知四面体中,,,,若该四面体的外接球的球心为O,则的面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图,正四棱锥中,O为正方形ABCD的中心,,点E,F分别为侧棱PA,PB的中点,则( )
A.
B.
C.四棱锥的体积为
D.平面PBD
10．已知点P是双曲线上第一象限的点,点,为双曲线的左右顶点,过点P向x轴作垂线,垂足为点Q,记,则( )
A.
B.双曲线的离心率为
C.当时,双曲线的渐近线互相垂直
D.t的值与P点在双曲线上的位置无关
11．已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互素的正整数的个数.例如：,,设数列中：,则( )
A.数列是单调递增数列
B.的前8项中最大项为
C.当n为素数时,
D.当n为偶数时,
12．已知正方体中,棱长为2,点E是棱的中点,点F在正方体表面上运动,以下命题正确的有( )
A.平面截正方体所得的截面面积为
B.三棱锥内切球的半径为
C.当点F在棱运动时,平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值可以取到
D.当点F在底面ABCD上时,直线与所成角为,则动点F的轨迹长度为
三、填空题
13．已知圆锥底面半径为1,高为,则该圆锥的侧面积为_____________.
14．已知数列满足下列条件：①数列是等比数列;②数列是单调递增数列;③数列的公比q满足.请写出一个符合条件的数列的通项公式__________________.
15．已知数列满足,则_____________.
16．若双曲线的左､右焦点为,,直线与双曲线交于M,N两点,且,O为坐标原点,又,则该双曲线的离心率为______________.
四、解答题
17．已知公差不为0的等差数列,前n项和为,首项为,且,,成等比数列.
(1)求和;
(2)设,记,求.
18．已知数列的前n项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
19．已知抛物线的焦点F,点在抛物线C上.
(1)求;
(2)过点M向x轴作垂线,垂足为N,过点N的直线l与抛物线C交于A,B两点,证明：为直角三角形（O为坐标原点）.
20．三棱锥中,,,,直线PC与平面ABC所成的角为,点D在线段PA上.
(1)求证：;
(2)若点E在PC上,满足,点D满足,求实数使得二面角的余弦值为.
21．已知的内角A,B,C所对的边为a,b,c,且.
(1)证明：;
(2)求的取值范围.
22．已知椭圆过点,且离心率.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P在椭圆上,且在第一象限内,点,分别为椭圆C的左､右顶点,直线,分别与椭圆C交于点M,N,过作直线的平行线与椭圆C交于点D,问直线DN是否过定点,若经过定点,求出该定点的坐标;若不经过定点,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：,,
.
故选：C.
2．答案：C
解析：复数,是方程的两个虚数根,,为,.
故选：C.
3．答案：D
解析：由,
可得,,
,
故选：D.
4．答案：D
解析：若,,也可以有,A错;
若,,也可以有,B错;
若,,则或,C错;
若,,则,这是线面垂直的判定定理之一,D正确
故选：D.
5．答案：D
解析：由题意可得
,
,,解得,,
又,当时,取得最小值为5.
故选：D.
6．答案：A
解析：结合题意：,,
,,
.
故选：A.
7．答案：B
解析：设直线倾斜角为,由,所以,由,
,所以,
当点A在x轴上方,又,所以,
所以由对称性知,直线l的斜率.
故选：B.
8．答案：C
解析：由图设点D为AB中点,连接PD,CD,由,
所以
,,,PD,面PCD,
则面PCD,且,
所以球心面PCD,所以平面PCD与球面的截面为大圆,CD延长线与此大圆交
于E点.在三角形ABC中,由,
所以

,,
由正弦定理知：三角形ABC
的外接圆半径为,设三角形ABC的外接圆圆心为点M,
则面ABC,有,则,设的外接圆圆心为点N,
则面PAB,由正弦定理知：三角形PAB的外接圆半径为,
所以,又三角形PDC中,,
所以OD为的角平分线,则,
在直角三角形OMD中,,
在直角三角形OED中,,
在三角形OAC中,取中点S,由
,
所以,
故选：C.

9．答案：ABD
解析：由点O为正方形ABCD的中心,则平面ABCD,直角三角形POA中,
,所以,当E为中点时,,故选项A正确;
在三角形PBD中,O,F为中点,所以,故选项B正确;
,故选项C错误;
由面ABCD,,,,OP,平面PBD,
所以平面PBD,故选项D正确.
故选：ABD.
10．答案：BCD
解析：因为点,为双曲线的左右顶点,所以,
设点,,
则,
又点P在该双曲线上,满足,
所以,
所以选项A错,选项D对;又,故选项B对,
对选项C,,则,双曲线的渐近线方程为,故C对.
故选：BCD.
11．答案：BC
解析：由题知数列前8项为：1,1,2,2,4,2,6,4,不是单调递增数列,故选项A错误;
由选项A可知,的前8项中最大项为,故选项B正确;
当n为素数时,n与前个数互素,故,所以C对正确;
因为,故选项D错误.
故选：BC.
12．答案：ACD
解析：选项A,设CD中点为N,连接BN,EN,则,
所以平面截正方体所得的截面为梯形,
由对称性知,梯形为等腰梯形,

过点E作,
在直角三角形中,,
所以,
所以,所以A正确;
选项B,在三棱锥中,,,
设点M为AC中点,
所以,,则面,
,所以
又三棱锥表面积为
又,则,故B错误;
选项C,以点B为坐标原点,BC,BA,为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设点,,则,
设平面的法向量为,所以,取,则,
所以平面的法向量为,又平面ABCD法向量为
平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值
又,所以选项C正确;
选项D,,所以直线与所成角,即,
所以,
所以点F的轨迹为以点B为圆心,半径为的圆上,
又点F在底面ABCD上,如下图所示：
所以动点F的轨迹长度为,故D正确;
故选：ACD.
13．答案：
解析：由已知可得,,则圆锥的母线长,
圆锥的侧面积.
故答案为.
14．答案：（答案不唯一）
解析：因为数列是等比数列,数列是单调递增数列,数列的公比q满足,
所以等比数列公比,且各项均为负数,
符合题意的一个数列的通项公式为.
故答案为：（答案不唯一）
15．答案：
解析：由题,所以累乘法求通项公式：
,,所以,经验证时,符合.
所以,则.
故答案为：.
16．答案：
解析：由直线与双曲线的对称性可知,点M与点N关于原点对称,
在三角形中,,所以,M,N是以为直径的圆与双曲线的交点,不妨设在第一象限,
,因为圆是以为直径,所以圆的半径为c,
因为点在圆上,也在双曲线上,所以有,
联立化简可得,整理得,,
所以,由
所以,又因为,联立可得,,因为为圆的直径,所以,
即,,,,所以离心率.
故答案为：.
17．答案：(1),
(2)
解析：（1）设等差数列公差为d,由题有,
即,解之得或0,又,所以,
所以.
（2）,
当n为正奇数,,
当n为正偶数,,
所以.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）当时,由,得;
当时,因为,所以,
则,可得.
故是以4为首项,2为公比的等比数列,所以.
（2）,则,
两边都乘以,得,
以上两个式子相减,
可得：,
故.
19．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）点在抛物线上.
,则,所以,.
（2）证明：由题,设直线AB的方程为：,点,
联立方程,消x得：,由韦达定理有,
由,所以,所以,
所以,所以为直角三角形.
20．答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：（1）证明：因为,,则且,
,平面PBC,
所以为直线PC与平面ABC所成的线面角,即,
,故,,
,平面PAB,
平面PAB,因此,.
（2）设,由（1）可知且,,
因为平面ABC,,以点A为坐标原点,AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、、,
设平面ABE的法向量为,,,
则,取,可得,
设平面BDE的法向量为,,,
由,取,则,
由已知可得,解得.
当点D为线段AP的中点时,二面角的平面角为锐角,合乎题意.
综上所述,.
21．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：由余弦定理可得,
化简可得,
由正弦定理可得.
又,
,
或,即或（舍去）.
（2）,,
由正弦定理可得
.
又,,,
解得,.
令,则,
函数在上单调递增,
,即.
22．答案：(1)
(2)过定点,
解析：（1）由,,有,
又,
所以,
椭圆C的标准方程为.
（2）设点,,,设直线DN的方程为.
如图,
联立,消x有：,
韦达定理有：,
由,
所以,
又,
所以
又,
所以.
又
所以有,
把代入有：,
解得或2,又直线DN不过右端点,所以,则,
所以直线DN过定点.