29，江西省上饶市沙溪中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题

这是一份29，江西省上饶市沙溪中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A. 24B. 25C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把变为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.
【详解】因为x，y为正实数，且，所以
，
当且仅当即时，等号成立，所以最小值为25.
故选：B
2. 已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用赋值和排除法可得结果
【详解】取，则，
若 ，则，由，得，
解得，符合条件，排除选项A、C,
取，则，
若时，，由，得，
解得，或，都不符合条件，
若，即，由，
得，即，不符合条件，
若，即，由，
得，解得，或，都不符合条件，
综上，，排除B，选D
故选：D
3. 已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数平移得到是奇函数，再利用对称性和奇偶性得到的周期为8，且在上是增函数，从而利用的性质即可得解.
【详解】因为关于中心对称，
所以对称中心是，故，即是奇函数，
因为是偶函数，所以，则，
所以，因此的周期为8，
所以，，
因为在上是增函数且是奇函数，所以在上是增函数，
所以，则.
故选：C.
4. 关于函数，下列说法错误的是（ ）
A. 函数是奇函数
B.
C. 函数在上单调递增
D. 函数在R上单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的定义域，结合奇偶性、单词性逐项分析判断即得.
【详解】函数的定义域为，
对于A，，函数是奇函数，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，函数在上都单调递增，在上都单调递增，
因此函数在，上单调递增，而在上不单调，如，C错误；
对于D，R，，则，函数在R上单调递增，
函数在R上单调递减，函数在R上单调递增，因此函数在R上单调递增，D正确.
故选：C
5. 是定义在上的函数，那么下列函数：①；②；③中，满足性质“存在两个不等实数，使得”，的函数个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，使得．
【详解】对于①，，故①符合；
对于②，假设存在不相等，使得，
即，则，
得，这与矛盾，故②不符合；
对于③，，故③符合
故选：C.
【点睛】方法点睛：证明存在性命题，只需找到满足条件的特殊值即可，反之需要证明不存在，一般考虑反证法，先假设存在，推出矛盾即可.
6. 已知，则，且与，且的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数运算得到，再结合指数函数与对数函数的性质即可判断选项.
【详解】因为，
所以，，
若，则，排除C，
若，则，排除AB.
故选：D
7. 设、是两个事件，以下说法正确的是（ ）．
A. 若，则事件与事件对立
B. 若，则事件与事件互斥
C. 若，则事件与事件互斥且不对立
D. 若，则事件与事件相互独立
【答案】D
【解析】
【分析】由互斥事件，对立事件，相互独立事件的定义求解即可.
【详解】对于A和B，例如抛掷一枚质地均匀的骰子，
记事件为“出现偶数点”，事件为“出现1点或2点或3点”，
则，，，
但事件，既不互斥也不对立，故A和B错误；
对于C，在不同的试验下，即使，也不能说明事件与事件一定互斥， 故C错误；
对于D，根据相互独立事件的定义可知，若，
则事件与事件相互独立，故D正确；
故选：D
8. 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了制定居民节约用水相关政策，抽样调查了该市200户居民月均用水量（单位：），绘制成频率分布直方图如图1，则下列说法不正确的是（ ）

A. 图中小矩形的面积为0.24
B. 该市居民月均用水量众数约为
C. 该市大约有85%的居民月均用水量不超过
D. 这200户居民月均用水量的中位数大于平均数
【答案】D
【解析】
【分析】由概率和为1，求得，求出矩形的面积判断A；求出众数判断B；求出用水量不超过的概率判断C；求出中位数及平均数判断D.
【详解】解：由，可得，
所以，故A正确；
由题意可知该市居民月均用水量众数约为，故B正确；
由题意可得该市居民月均用水量不超过的频率为：，故C正确；
设200户居民月均用水量的中位数为，
因为第一个矩形的面积为0.04，第二个矩形的面积为0.3，第三个矩形的面积为0.24，
所以中位数,
则，
这200户居民月均用水量的平均数,
因为，
所以这200户居民月均用水量的中位数小于平均数，故D不正确．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的有（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】作差即可判断ABC；根据不等式的性质即可判断D.
【详解】对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，，
因为，，所以，
所以，所以，故B错误；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，若，则，所以，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数的定义域是，对都有，且当时，，且，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上单调递减
C.
D. 满足不等式的的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】令求的值可判断A；令可得，利用函数单调性的定义证明的单调性可判断B；由与计算判断C；通过计算可得，原不等式等价于，利用单调性求出的取值范围可判断D.
【详解】因为，
令，可得，解得，所以A正确；
令，可得，所以，
任取且，则，
因为，所以，所以，
可得函数在上单调递增函数，所以B不正确；
由
，
，
所以C正确；
因为，由，可得，
所以，
所以等价于，即，
因为函数在上单调递增函数，可得，解得，
即不等式的解集为，所以D正确.
故选：ACD.
11. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 若事件A与事件B是互斥事件，则
B. 若事件A与事件B满足条件，则事件A与事件B是对立事件
C. 一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D. 从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，则事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件
【答案】ABC
【解析】
【分析】由互斥事件概念可判断A，D；由对立事件的概念可判断B，C.
【详解】对于A，事件A与事件B是互斥事件，但不一定是对立事件，故A不正确；
对于B，若是在同一试验下，由，说明事件A与事件B一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有，但事件A与事件B不一定对立，故B不正确；
对于C，一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”有可能同时发生，不是对立事件，故C不正确；
对于D，事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件，故D正确．
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.
【详解】因为q的一个充分不必要条件是p，
所以是的一个真子集，
则，即实数a的取值范围是.
故答案为：.
13. 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据增函数的定义求参数的取值范围.
【详解】因为在递增，
则，解得：，
故答案为：
14. 在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有______个.
【答案】
【解析】
【分析】利用频率结合古典概型的计算公式代入即可得出答案.
【详解】因为摸到红球的频率稳定在0.8附近，
估计袋中红球个数是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合，
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入，利用并集、补集的定义求解即得.
（2）利用给定交集的结果，借助集合的包含关系，列式求解即得.
【小问1详解】
当时，，而，因此，
所以或.
小问2详解】
由，得，
当时，则，解得，满足，因此；
当时，由，得，解得，
所以实数的取值范围是.
16. 已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若，的解集为，求最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法计算即可；
（2）由已知可得方程的解为，且，利用韦达定理求出，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解.
【小问1详解】
当时，，
则，即，
解得或，
所以不等式的解集为；
【小问2详解】
因为的解集为，
所以方程的解为，且，
则，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以最小值为.
17. 已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）在上是增函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义及判定方法，即可求解；
（2）令，结合换元法结合单调性求函数的值域.
【小问1详解】
解：函数在上是增函数.
证明如下：
任取，且，
则
因为，且，所以，，
所以，即，
所以函数在上是增函数．
【小问2详解】
解：令，则，
则的值域即为求的值域，
由（1）知函数在是单调递增，
所以当时，即，即时，取最小值，
所以，所以函数的值域为.
18. 设函数.
（1）证明函数在上是增函数；
（2）若，是否存在常数，，，使函数在上的值域为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）详见解析；
（2）不存在，理由详见解析.
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性定义证明；
（2）由（1）结合复合函数的单调性得到在上是增函数，从而有，转化为m，n是方程的两个不同的正根求解.
【小问1详解】
证明：任取，且，
则，
因为，则，因为，则，
所以，即，
所以函数在上是增函数；
【小问2详解】
由（1）知：在上是增函数，又，
由复合函数的单调性知在上是增函数，
假设存在常数，，，使函数在上的值域为，
所以，即，
则m，n是方程的两个不同的正根，
则m，n是方程的两个不同的正根，
设，则有两个大于1的不等根，
设，
因为，，
所以方程有一个大于0，一个小于0的根，
所以不存在两个大于1的不等根，
则不存在常数，，满足条件.
19. 为弘扬中华民族优秀传统文化，树立正确的价值导向，落实立德树人根本任务，珠海市组织3000名高中学生进行古典诗词知识测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取100名学生，记录他们的分数，整理所得频率分布直方图如图：
（1）规定成绩不低于60分为及格，不低于85分为优秀，试估计此次测试的及格率及优秀率；
（2）试估计此次测试学生成绩的中位数；
（3）已知样本中分数不低于80分的男女生人数相等，且样本中有的男生分数不低于80分，试估计参加本次测试3000名高中生中男生和女生的人数.
【答案】（1）0.8，0.25；
（2）76； （3）男生1800人，女生1200人.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图，求得各组数据对应的频率，进而求得及格率与优秀率；
（2）利用频率分布直方图求中位数的方法列式计算即可；
（3）先求得不低于80分的总人数，即可得出样本中男生和女生的人数，根据分层抽样的特征，即可求得参与测试的男生和女生人数.
【小问1详解】
观察频率分布直方图，在
的频率分别为：，
所以此次测试的及格率的估计值为：，
此次测试的优秀率的估计值为：.
【小问2详解】
由频率分布直方图知，在的频率为：，在的频率为0.6，
此次测试学生成绩的中位数在，它是.
【小问3详解】
样本中分数不低于80分的学生共有人，
而样本中分数不低于80分的男女生人数相等，因此分数不低于80分的男生有20人，
依题意，样本中男生有60人，女生有40人，
由分层抽样可得该市高中男生人,女生人.