43，2024年新高考模拟卷数学试题（九省联考题型）

这是一份43，2024年新高考模拟卷数学试题（九省联考题型），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛,通过简单随机抽样,获得了个班的比赛得分如下:,,,,,,,,,,则这组数据的分位数为( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的离心率,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知向量,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知数列是等差数列,是它的前项和,,则( )
A. B. C. D.
5.已知是两条不同直线,是三个不同平面,则下列说法正确的是( )
A.,则 B.,则
C.,则 D.,则
6.中国是世界上最早发明雨伞的国家,伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞,其伞面被伞骨分成个区域,每个区域分别印有数字,,,,.现准备给该伞面的每个区域涂色,要求每个区域涂一种颜色,相邻两个区域所涂颜色不能相同,对称的两个区域(如区域与区域)所涂颜色相同.若有种不同颜色的颜料可供选择,则不同的涂色方案有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
7.已知,求( )
A. B. C. D.
8.设椭圆的左,右焦点分别为,直线过点,若点关于的对称点恰好在椭圆上,且,则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知表示集合的整数元素的个数,若集合,,则( )
A. B.
C. D.
10.已知直线与圆,则下列结论正确的是( )
A.直线恒过定点
B.直线与圆相交
C.若,直线被圆截得的弦长为
D.若直线与直线垂直,则
11.已知函数的定义域为,且,,则( )
A. B.有最小值
C. D.是奇函数
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数(为虚数单位),则的虚部为__________,__________.
13.已知直四棱柱的所有棱长均为,,以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为__________.
14.如图,在平面凸四边形中,,,,,为钝角,则对角线的最大值为__________.
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.设数列的前项和为,.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列满足,求的前项和.
16.如图,在直三棱柱中,,,,点是线段的中点,
(1)求证:
(2)求点到平面的距离;
17.俗话说:“人配衣服,马配鞍”.合理的穿搭会让人舒适感十足,给人以赏心悦目的感觉.张老师准备参加某大型活动,他选择服装搭配的颜色规则如下:将一枚骰子连续投掷两次,两次的点数之和为的倍数,则称为“完美投掷”,出现“完美投掷”,则记;若掷出的点数之和不是的倍数,则称为“不完美投掷”,出现“不完美投掷”,则记;若,则当天穿深色,否则穿浅色.每种颜色的衣物包括西装和休闲装,若张老师选择了深色,再选西装的可能性为,而选择了浅色后,再选西装的可能性为.
(1)求出随机变量的分布列,并求出期望及方差;
(2)求张老师当天穿西装的概率.
18.在直角坐标系中,点为抛物线()上一点,点、为轴正半轴(不含原点)上的两个动点,满足,直线、与抛物线的另一个交点分别为点、.
(1)求直线的斜率;
(2)求面积的取值范围.
19.若函数在上有定义,且对于任意不同的,都有,则称为上的“类函数”.
(1)若,判断是否为上的“类函数”;
(2)若为上的“类函数”,求实数的取值范围;
(3)若为上的“类函数”,且,证明:,,.
答案和解析
第1题：
【答案】B
【解析】将比赛得分从小到大重新排列:,,,,,,,,,,
因为,
所以这组数据的分位数第个数与第个数的平均值,即.
故选:B.
第2题：
【答案】A
【解析】由已知可得双曲线的焦点在轴上,,,
所以
,由,解得.
故选:A.
第3题：
【答案】C
【解析】若,等价于,等价于,所以“”是“”的充要条件.故选:C.
第4题：
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为,则,即有,
由,得,解得,因此,所以.故选:B.
第5题：
【答案】C
【解析】对于A:因为,所以或或与相交,故A错误;
对于B:因为,所以或,故B错误;
对于C:两个平面平行,一个平面中的任意一条直线平行于另外一个平面,故C正确;
对于D:因为,所以或,故D错误;
故选:C.
第6题：
【答案】B
【解析】由题意可得,只需确定区域,,,的颜色,即可确定整个伞面的涂色.
先涂区域,有种选择,再涂区域,有种选择,
当区域与区域涂的颜色不同时,区域有种选择,剩下的区域有种选择;
当区域与区域涂的颜色相同时,剩下的区域有种选择,
故不同的涂色方案有种.
故选:B.
第7题：
【答案】D
【解析】由题意知,
即,
故,
即,
故,
即
,
故选:D.
第8题：
【答案】D
【解析】设,
由已知可得,,
根据椭圆的定义有,
又,
所以,
在中,由余弦定理可得,
,
即,
即,
化简得,则,
所以,
解得或(舍去),
所以.
故选:D.
第9题：
【答案】B,C
【解析】因为,,
所以,,,,
故选:BC.
第10题：
【答案】B,C
【解析】直线,即,则直线恒过定点,故A错误;
因为,所以定点在圆内部,∴直线与圆相交,故B正确:
当时,直线,即圆心到直线的距离,
直线被圆截得的弦长为,故C正确
若与直线垂直,故,则或,故D不正确;
故选:BC.
第11题：
【答案】A,C,D
【解析】对于A中,令,可得,所以A正确;
对于B中,令,且,则,
可得,
若时,时,,此时函数为单调递增函数;
若时,时,,此时函数为单调递减函数,
所以函数不一定有最小值,所以B错误;
对于C中,令,可得,
即,
所以,,,,
各式相加得,所以,所以C正确;
对于D中,令,可得,可得,
即,所以函数是奇函数,所以D正确;
故选:ACD.
第12题：
【答案】,
【解析】因为,所以的虚部为,,
故填:;.
第13题：
【答案】
【解析】如图:取的中点,连接,
结合题意:易得为等边三角形,
因为为的中点,所以
因为在直四棱柱中有面,且面,
所以,又因为,且面
所以面,结合球的性质可知为该截面圆的圆心,
因为直四棱柱的所有棱长均为,,
所以,,,,
故以为球心,为半径的球面与侧面的交线为:以为圆心,为半径的圆所成的圆弧.
所以.
故答案为:.
第14题：
【答案】
【解析】设,中
,,
又,
,
中,
,当且仅当时等号成立,.
第15题：
【答案】见解析
【解析】(1)由,得(),
两式相减得:(),即(),
当时,,得,所以(),
故是首项为,公比为的等比数列.从而.
(2)由(1)得.
所以
第16题：
【答案】见解析
【解析】(1)中,,,,所以,
在直三棱柱中,平面,平面,所以,
又因为,平面,平面,
所以平面,平面,所以.
(2)由(1)知,平面,平面,平面,
所以,,又,如图建立空间直角坐标系,
则,,,,
,,,
设平面的一个法向量为,
则,解得,令,则,
设到平面的距离为,得.
第17题：
【答案】见解析
【解析】(1)将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件种,
掷出的点数之和是的倍数有:
,种;
则掷出的点数之和不是的倍数有种,
随机变量的取值为,,
,
所以的分布列为:
.
;
(2)设表示深色,则表示穿浅色,表示穿西装,则表示穿休闲装.
根据题意,穿深色衣物的概率为,则穿浅色衣物的概率为,
穿深色西装的概率为,穿浅色西装的概率为,
则当天穿西装的概率为.
所以张老师当天穿西装的概率为.
第18题：
【答案】见解析
【解析】(1)设,因为在抛物线上,所以,所以,所以,不妨设在的左边,过作垂直于轴交于点,如下图,
因为,所以,因为,
所以,所以直线的倾斜角互补,所以,
显然不与关于轴的对称点重合,所以,又因为,,
所以,所以,所以,
所以,即直线的斜率为;
(2)设,联立可得,
所以,且,所以,
若与重合,此时,由上可知,
又,
且到直线的距离,所以,
令,所以,
所以在上单调递增,且,所以的面积取值范围是,即为.
第19题：
【答案】见解析
【解析】（1）对于任意不同的,
有,,所以,
,
所以是上的“类函数”.
（2）因为,
由题意知,对于任意不同的,都有,
可转化为对于任意,都有,
由可转化为,令,只需
,令,在单调递减,
所以,,故在单调递减,
,
由可转化,令,只需
,令,在单调递减,
且,,所以使,即,
即,
当时,,,故在单调递增,
当时,,,故在单调递减,
,
故.
（3）因为为上的“类函数”,所以,
不妨设,
当时,;
当时,因为,，
,
综上所述,,,.