54，青海省西宁市2024届高三上学期期末联考数学（文）试题

这是一份54，青海省西宁市2024届高三上学期期末联考数学（文）试题，共19页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 已知是奇函数，则， 已知向量，，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第Ⅰ卷的文字说明
一、单选题
1. 已知为虚数单位，复数满足，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算化简，最后根据复数的相关概念判断即可；
【详解】解：因为，，所以，所以，所以复数的虚部为；
故选：B
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集概念运算即可.
【详解】因为，所以．
故选:A.
3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是，则它的表面积是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三视图该几何体是球的部分，根据题意求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】由三视图该几何体是球的部分，由该几何体体积为，可得球的半径为的球的，
如图所示，所以该几何体的表面积为.
故选：D.
4. 已知的内角的对边分别是，面积为S，且，则角的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由三角形的面积公式结合余弦定理，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以，
则，所以，
又，则.
故选：A
5. 已知是奇函数，则（ ）
A. 2B. C. 1D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的定义，即可求解参数的值.
【详解】因为函数是奇函数，所以满足，
即，化简为，得，，
此时，函数的定义域为，成立.
故选：A
6. 已知向量，，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量运算的坐标表示求得正确答案.
【详解】.
故选：A
7. 八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形.若向图2随机投一点，则该点落在白色部分的概率是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算出白色部分对应的面积后根据几何概型的概率公式可求概率.
【详解】
设圆的半径为2，如图设与交于，设的中点为，连接.
则，设，则，故，
而题设中空白部分的面积为，
故点落在白色部分的概率是，
故选：D.
8. 已知函数有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造新函数并利用导数求得其极值，再利用函数的零点即函数与直线的图像的交点横坐标，进而求得实数m的取值范围.
【详解】令，则，
由得，或；由得，，
则当或时单调递增；
当时单调递减.
则时取得极大值；时取得极小值.
函数有三个零点，
即函数与直线的图像有3个不同的交点，
则实数m的取值范围是
故选：A
9. 江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用组合数求出所有可能情况数，应用古典概型的概率求法求概率即可.
【详解】从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有种情况，
只选一个苏州古镇的概率为．
故选：B
10. 已知函数是奇函数，且，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题设有，再结合求得，最后根据图象平移写出解析式.
【详解】由是奇函数，则，，又，可得，
当，，则，不合题设；
当，，则，故；
所以，
将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，故.
故选：A
11. 圆关于直线对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得，然后由，展开利用均值不等式可得答案.
【详解】由圆可得标准方程为，
因为圆关于直线对称，
该直线经过圆心，即，，
，
当且仅当，即时取等号，
故选：C.
12. 已知抛物线的焦点为 ，准线为，点在抛物线上，且点到准线的距离为6，的垂直平分线与准线交于点，点为坐标原点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解法一：先根据焦半径公式求出的坐标，再求出的垂直平分线的方程，从而可求的坐标，故可求的面积.
解法二：先根据焦半径公式求出的坐标，过点作的垂线，垂足为，利用抛物线的定义可得重合，从而可求的面积.
【详解】解法一：抛物线：的焦点为，准线为：，
设，由点到准线的距离为6，得，得，
代入抛物线的方程得，所以．
由抛物线的对称性，不妨设，则直线的斜率为，
又的中点坐标为，故的垂直平分线的方程为，
令，得，即．
所以的面积为．
故选：B.
解法二：抛物线：的焦点为，准线为：，
设，由到准线的距离为6，得，得，
代入抛物线的方程得，所以．
由抛物线的对称性，不妨设，则直线的斜率为，
所以．过点作的垂线，垂足为，则，连接，
则，而，所以是等边三角形，于是边的垂直平分线过点，即点与点重合，所以的面积为．
故选：B.
【点睛】方法点睛：与抛物线焦点有关的距离计算问题，可利用抛物线的定义将此距离转化为到准线的距离来处理.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
13. 已知抛物线：经过点，则抛物线的准线方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】先将点代入抛物线方程求出，然后即可得抛物线的准线方程.
【详解】解：由题意得：
抛物线：经过点
，解得
准线方程为
故答案为：
14. 已知是第三象限角，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件解出的值即可.
【详解】由可知，由在第三象限，可知，则，
代入解得，
则.
故答案为：
15. 已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为________．
【答案】12
【解析】
【分析】作出约束条件的可行域，作直线，平移直线即可求得的最大值.
【详解】解：作出实数满足不等式组的可行域，如图（阴影部分），
由，则，由解得点，
作出，平移直线，当直线经过点时，截距最大，
故，即z＝3x＋4y－4的最大值为.
故答案为：12.
16. 已知一个体积为球内切于直三棱柱（即与三棱柱的所有面均相切）,底面的中有,则该直三棱柱的外接球（即使所有顶点均落在球面上）的表面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据直三棱柱内切球与直三棱柱高和底面三角形内切圆之间的关系建立等式,可求出直三棱柱高和底面三角形内切圆半径,再根据题上条件,设边长,用余弦定理,建立边之间的关系,根据底面三角形内切圆半径跟面积和周长之间得关系,找到底面三角形三边长,进而找到直三棱柱的外接球半径,求出表面积即可.
【详解】解:由题知，记内切球半径为,外接球半径为,
内切圆、外接圆半径为r,R,
则,解得,
因为该球内切于一个直三棱柱,
当且仅当球半径与底面三角形内切圆半径相等,
同时棱柱的高恰为球半径的2倍,
所以;
由题意,设,
则在中由余弦定理得,
,
,
所以,
由内切圆半径公式,,
解得,所以,
由正弦定理,,得,
而直三棱柱内接于一个球,
当且仅当两全等的底面位于距球心距离相同且平行的两个小圆上,
显然该两个小圆距球心的距离d应为棱柱高h的一半,
所以平面与球心间的距离,
且其所在小圆的半径即为其本身外接圆的半径,为,
由球的垂径定理,,
所以球的表面积为．
三、问答题
17. 信阳市旅游部门为了促进信阳生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙，丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传.该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
a.甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：

b.丙家民宿“综合满意度”评分：
2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1
c.甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中值是______，的值是______；
（2）设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别为、、，试比较其大小.
（3）根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）.
【答案】（1），
（2）
（3）答案不唯一，合理即可
【解析】
【分析】（1）利用平均数和中位数的定义计算出和；
（2）根据折线统计图和丙的数据，分析出数据波动的情况，从而比较出方差得大小；
（3）从平均数，中位数，方差等方面分析得到结论，答案不唯一.
【小问1详解】
甲家民宿“综合满意度”评分：3.2，4.2，5.0，4.5，5.0，4.8，4.5，4.3，5.0，4.5，
∴，
丙家民宿“综合满意度”评分：2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1，
从小到大排列为：2.6，3.1，3.8，4.5，4.5，4.5，4.5，4.7，4.8，5.
∴中位数，
【小问2详解】
根据折线统计图可知，
乙的评分数据在4分与5分之间波动，甲的数据在3.2分和5分之间波动，
根据丙的数据可以在2.6至5分之间波动，
∴；
【小问3详解】
推荐乙，理由：乙的方差最小，数据稳定，平均分比丙高，
答案不唯一，合理即可.
18. 已知各项为正数的等差数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本量法，将已知条件转化为，列方程组求得，从而得解；
（2）先利用等差数列的求和公式求得，再利用裂项求和法即可得解.
【小问1详解】
依题意，设的公差为，，
因为，，
所以，解得或，
当时，，矛盾，舍去；
当时，，满足题意；
的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）得，
，
故.
19. 正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．
（1）求证：平面；
（2）求四面体的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，，则与交于点，由正四棱锥的性质得到，平面，则，即可得证；
（2）首先求出，再由为上靠近的三等分点，得到，所以.
【小问1详解】
在正四棱锥中为底面中心，连接，，
则与交于点，且，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面.
【小问2详解】
因为，，所以，
又为上靠近的三等分点，所以，
则.
20. 已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据切线的斜率可求出,得，求导后解不等式即可求出单调区间.
（2）原不等式可化为恒成立，令，求导后可得函数的最小值，即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，，
又曲线在点处的切线与直线平行
所以，即
，
由且，得，即的单调递减区间是
由得，即的单调递增区间是.
（2）由（1）知不等式恒成立可化恒成立
即恒成立
令
当时，，在上单调递减.
当时，，在上单调递增.
所以时，函数有最小值
由恒成立
得，即实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，最值，恒成立问题，属于中档题.
21. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率依次为，满足，试问：当变化时， 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）是定值；为定值
【解析】
【分析】（1）根据离心率，点的坐标及，列出方程组，求出，得到椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，利用题干条件得到，代入后最终求得为定值.
【小问1详解】
根据题意可得： ，
解方程组可得，故椭圆方程
【小问2详解】
当变化时， 为定值，证明如下：由，把代入椭圆方程得： ；
设，由二次函数根与系数关系得：
因为直线斜率依次是，且满足，所以，
该式化为，代入根与系数关系得： ，
经检验满足：即为定值
22. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程是．
（1）在直角坐标系中，若直线经过点且与圆和圆的公共弦所在直线平行，求直线的极坐标方程；
（2）若射线与圆的交点为，与圆的交点为，线段的中点为，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆的参数方程以及极坐标方程的转化，可得直角坐标系下的方程，求得两圆公共弦所在直线方程，结合点斜式方程，可得答案.
（2）利用直线的极坐标方程与直角坐标系下的方程互化，联立直线与圆的方程，求得点坐标，进而取得中点坐标，结合两点之间距离公式，可得答案.
【小问1详解】
由圆的参数方程，则，由，则，即①，
由圆的极坐标方程，两边同乘可得，
由，则②，
可得，故圆与圆的公共弦所在直线的方程为，其斜率为，
由直线与两圆公共弦所在直线平行，且直线过，则，
化简可得，由，则.
【小问2详解】
由射线，由，则射线，
由圆，可得，
代入，则，化简可得，解得，可得；
由圆，可得，
代入，则，化简可得，解得，可得.
由为线段的中点，则，
故的周长.
23. 已知.
（1）求不等式的解集；
（2）在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积.
【答案】（1）；
（2）8.
【解析】
【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.
（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.
【小问1详解】
依题意，，
不等式化为：或或，
解，得无解；解，得，解，得，因此，
所以原不等式的解集为：
【小问2详解】
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，

由，解得，由, 解得，又，
所以的面积.
甲
乙
丙
平均数
4.5
4.2
中位数
4.5
4.7