72，江苏省清河中学2022-2023学年高二下学期3月阶段测试数学试卷

这是一份72，江苏省清河中学2022-2023学年高二下学期3月阶段测试数学试卷，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题。(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))－eq \(D1C1,\s\up6(—→))等于( )
A.eq \(AD1,\s\up6(→)) B.eq \(AC1,\s\up6(→)) C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(AB,\s\up6(→))
2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(1,3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )
A．(1，－1,1) B．(2，－1,1) C．(－2,1,1) D．(－1,1,1)
4．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，M为BC中点，则△AMD的形状为( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
5．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A.eq \f(5\r(3),2) B.eq \f(3\r(5),2) C.eq \f(\r(37),2) D.eq \f(\r(21),2)
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )

A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2) C．(2，－2,1) D．(1,2，－2)
7.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为( )
A．1 B．2 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
8．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为( )
A．2eq \r(3) B.eq \r(2) C.eq \f(2\r(2)λ,3) D.eq \f(2\r(5),5)
二、多项选择题。(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．空间四个点O，A，B，C，eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))为空间的一个基底，则下列说法正确的是( )
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线
D．O，A，B，C四点不共面
10．如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到平面AED1的距离为d，直线DE与平面AED1所成的角为θ，二面角D1－AE－D的夹角为α，则( )

A．DF⊥平面AED1 B．d＝eq \f(4,3)
C．sin θ＝eq \f(4\r(5),15) D．cs α＝eq \f(2,3)
11.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE的值可能是( )
A．a B.eq \f(3,2)a C．2a D.eq \f(5,2)a
12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则( )
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．三棱锥P－A1C1D的体积为定值
C．异面直线AP与A1D所成的角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为eq \f(\r(6),3)
三、填空题。(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知点B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，若点E的坐标为(－2,1，m)，且点B，C′，D′，E四点共面，则实数m的值为________．
14．已知平面α经过点B(1,0,0)，且α的法向量n＝(1,1,1)，则P(2,2,0)到平面α的距离为________．
15．已知在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1的边长为1，下底面ABCD的边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成的角的余弦值为________．
16.如图，有一长方形的纸片ABCD，AB的长度为4 cm，BC的长度为3 cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成90°的二面角，则折叠后eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝________，线段BD的长是________cm.
四、解答题。(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a＝eq \(AB,\s\up6(→))，b＝eq \(AD,\s\up6(→))，c＝eq \(AM,\s\up6(→))，试以a，b，c为基向量表示出向量eq \(BN,\s\up6(→))，并求BN的长．
18．(12分)已知空间内三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a与向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))都垂直，且|a|＝eq \r(3)，求向量a的坐标．
19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
20．(12分)如图所示，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)求证：BE⊥DC；
(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
22．(12分)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD的中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置(P∉平面ABCE)．
(1)证明：平面POB⊥平面ABCE；
(2)若PB＝eq \r(6)，试判断线段PB上是否存在一点Q(不含端点)，使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为eq \f(\r(15),5)，若存在，求出eq \f(PQ,OB)的值；若不存在，说明理由．