39，江苏省扬州市仪征市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份39，江苏省扬州市仪征市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡中相应的位置上）
1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、整理得到，故A错误；
B、是一元二次方程，故B正确；
C、不是一元二次方程，故C错误；
D、不是一元二次方程，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根，根据定义“一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值”，将代入，得到关于m的一元一次方程，解方程即可得到m的值．
【详解】解：将代入，
得：，
解得，
故选D．
3. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 求解即可；
【详解】解：二次函数的顶点式 的顶点坐标为
所以抛物线 的顶点坐标为
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的特点；熟知二次函数顶点式的顶点坐标是解题的关键．
4. 已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点P在内B. 点P在上C. 点P在外D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了对点与圆位置关系的判断．若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．判断圆的半径与的大小即可解答．
【详解】解：圆的半径，点P到O的距离，
∴，
∴点P在内，
故选：A．
5. 已知，相似比为，且的周长为18，则的周长（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．
【详解】解：∵，相似比为，

∵的周长为18，
∴的周长为
故选：C.
6. 如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=，则的值为（ ）
A. 135°B. 100°C. 110°D. 120°
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出优弧所对的圆心角为2，利用周角为360度求解即可
【详解】解：∵∠ACB=
∴优弧所对的圆心角为2
∴2+=360°
∴=120°．
故选D．
【点睛】题目主要考查圆周角定理，结合图形，熟练运用圆周角定理是解题关键．
7. 在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（ ）
A. EB. FC. GD. H
【答案】D
【解析】
【分析】连接并延长，根据位似变换性质判断即可．
【详解】解：如图，连接并延长，
以点为位似中心，点D是点C的对应点，
位似比为，
则点A的对应点是H，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．
8. 甲、乙、丙、丁四人在一次数学测验中的成绩分别为、、、，下面是他们四人的一段对话：
①甲对乙说：“我的成绩比你高．”
②丙说：“我的成绩恰好是我们四个人成绩的中位数．”
③丁说：“我的成绩恰好是我们四个人成绩的平均数．”
假设以上对话完全正确，则、、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平均数和中位数．根据平均数和中位数的意义即可求解．
【详解】解：甲、乙、丙、丁四人在一次数学测验中的成绩分别为、、、，
丙说：“我的成绩恰好是我们四个人成绩的中位数．”
丁说：“我的成绩恰好是我们四个人成绩的平均数．”
四个人成绩的中位数，
，
甲对乙说：“我的成绩比你高．”
，
，
故选：B．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
9. 一组数据6，2，–1，5的极差为__________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据极差的定义解题即可.
【详解】根据极差的定义,一组数据的最大值与最小值的差为极差,所以这组数据的最大值是6，最小值是-1，所以极差是6-（-1）=7,故答案为:7.
【点睛】本题考查极差的定义.找出这组数的最大值和最小值是解决本题的关键.
10. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为，则________．（填“>”“<”或“=”）
【答案】>
【解析】
【分析】分别求出平均数，再利用方差的计算公式计算甲、乙的方差，进行比较即可．
【详解】根据折线统计图中数据，
，，
∴，
，
∴，
故答案为：>．
【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式是解答本题的关键．
11 已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则该圆锥的侧面积为 ____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积的计算公式：进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
12. 连续两次抛掷一枚均匀的硬币，两次都正面朝上的概率是 _____．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是反面朝上的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中两次都是正面朝上的结果数为1，
∴两次都是正面朝上的概率=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
13. 如图，⊙O与四边形ABCD各边都相切．若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则AD长为___．
【答案】3
【解析】
【分析】根据切线长定理可得AD+BC=AB+CD，即可求AD的长度．
【详解】∵⊙O与四边形ABCD各边相切，
∴AD+BC=AB+CD，
∵AB=5，BC=6，CD=4，
∴AD=3，
故答案为3．
【点睛】此题考查切线的性质，熟练掌握切线长定理是解题关键．
14. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长及阔各几步．”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，它的长和宽共60步，问它的长和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为步，根据题意可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：若设这块矩形田地的长为步，则宽为步，依题意，得
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15. 已知线段AB＝2cm，点P是AB的黄金分割点，且AP＞PB，那么AP的长度是_______cm（结果保留根号）
【答案】（）##（）
【解析】
【分析】根据黄金分割的概念得到，把AB=2cm代入计算求出AP即可得出答案．
【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割值是解题的关键．
16. 已知，在二次函数的图像上，比较______．（填>、<或=）
【答案】>
【解析】
【分析】首先确定二次函数图像的对称轴为，根据二次项系数可知图像开口向上，根据点、点的横坐标和对称轴的位置即可判断y1、y2的大小．
【详解】解：∵二次函数，
∴其对称轴为直线，
又∵二次项系数，
∴二次函数开口向上，图像上的点的横坐标距离对称轴越远，点的纵坐标越大，
∵，，
∴．
故答案为：>．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，利用二次函数图像的性质确定y1、y2大小是解题的关键．
17. 若二次函数的图象如图所示，则关于x的方程的实数根是________．
【答案】，
【解析】
【分析】把二次函数化为顶点式得，从而得抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为，根据抛物线的对称性解题即可．
【详解】解：∵把二次函数化为顶点式得，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与x轴的一个交点为，设抛物线与x轴的另一个交点为(m，0)
∴−3+m=−1×2，
∴m=1，
∴关于x的方程的实数根是，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程关系以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性，能根据对称轴和一个交点的坐标求得另一交点的坐标是解题的关键．
18. 已知实数m、n，使得关于x的方程有两个相等的实数根，则代数式的最小值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程要根的判别式以及二次函数的性质．根据根的判别式求得，把整理得，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∴，
∵，
∴有最小值，最小值为1，
故答案为：1．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分）
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键．
（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【小问1详解】
解：，
移项得，
配方得，即，
开方得，
解得，；
【小问2详解】
解：．
移项得，
因式分解得，
∴或，
解得，．
20. 我校举办了预防春季传染病知识竞答活动，学校随机抽取了九年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理，得到如下不完整的统计表：
（1）________；________；________；
（2）此次竞答活动得分的中位数落在________组；
（3）已知该校九年级共有500名学生，请估计九年级学生中竞答成绩高于80分人数．
【答案】（1），，
（2）C （3）估计九年级学生中竞答成绩高于80分的人数为300人．
【解析】
分析】本题主要考查了频数与频率分布表，中位数，用样本估计整体．
（1）先用B组的学生人数除以其人数占比求出调查的学生总数，进而求出m、n、p即可；
（2）根据中位数的定义进行求解即可；
（3）用500乘以样本中成绩高于80分的人数占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：（人），
∴这次调查的学生人数为50人，
∴，，
∴，
故答案为：，，
【小问2详解】
解：∵一共调查了50名学生，
∴将这50名学生的成绩从低到高排列，处在第25名和第26名的成绩都在C组，
∴此次竞答活动得分的中位数落在C组，
故答案为：C；
【小问3详解】
解：（人），
∴估计九年级学生中竞答成绩高于80分的人数为300人．
21. 为了促进“足球进校园”活动的开展，某市举行了中学生足球比赛活动，打算从A、B、C三支获胜足球队中随机抽取球队到其他地区学校进行交流．
（1）如果随机抽取一支球队参与交流，则抽取A球队的概率为________；
（2）如果随机抽取两支球队参与交流，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽取A、B两支球队的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）用树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵共有A、B、C三支获胜足球队，
∴抽取A球队的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，恰好抽取A、B两支球队的有2种情况，
∴恰好抽取A、B两支球队的概率为．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率及概率公式的应用，解题的关键是了解概率的求法．
22. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若是此方程的一个根，求代数式的值．
【答案】（1）见解析 （2）2023
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解．
（1）求证这个方程都有两个不相等的实数根，只要证明，即可得出方程有两不相等的实数根；
（2）把代入方程得出，再整体代入求解即可．
【小问1详解】
证明：∵关于的一元二次方程．
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：∵是此方程的一个根，
∴把代入方程中得到，
∴，
∴，
∴．
23.
已知二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移 ▲ 个单位．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【详解】解：(1)由已知，得，即，解得
∴所求的二次函数的解析式为；
(2) ，
∵二次项系数1>0，
∴抛物线开口向上，
∴要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移4个单位．
故答案为：4．
24. 如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得，，，得出，根据，则，即可证明；
（2）先根据勾股定理求得的长，然后根据相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
25. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠BAC 的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心、OA长为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若OA = 2，∠B = 30°，求涂色部分的面积(结果保留和根号)．
【答案】(1)证明见解析；(2)S阴影=.
【解析】
【分析】（1）连接OD，证明OD⊥BC即可;
（2）阴影部分面积可用直角三角形OBD面积减去扇形ODF面积.
【详解】(1)证明：连接OD，如图所示：
∵AD平分∠BAC
∴∠OAD=∠CAD
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
∴∠CAD =∠ODA
∴OD∥AC
∴∠C=∠ODB
∵∠C= 90°
∴∠ODB= 90°
∴OD⊥BC
∴直线BC与⊙O相切
(2)解：∵OA= OD，OA = 2
∴ OD = 2
在Rt△ABC中，OD＝2，∠B = 30°
∴OB= 4，∠ODB=60°
由勾股定理得：BD＝
∴S△OBD==
S扇ODF=，
∴S阴影=.
【点睛】本题考查圆的切线证明和面积问题，证切线可用“连半径证垂直”，不规则图形面积一般用作差法.
26. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．
（1）请写出y与x之间的函数表达式；
（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
【答案】26. ；
27. 当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据题意列方程即可得到结论．
【小问1详解】
解：根据题意得，；
【小问2详解】
解：根据题意得，，
解得：，，
∵每件利润不能超过60元，
∴，
答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元．
27. 在平面直角坐标系中，设二次函数（m是实数）．
（1）当时，若点在该函数图象上，求n的值．
（2）小明说二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？
（3）已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
【答案】（1）-7 （2）对，理由见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）把m=2，点A（8，n）代入解析式即可求解；
（2）由抛物线解析式，得顶点是，把x＝2m代入，求出y值与3-m比较，若相等则即可判断小明说法正确，否则说法错误；
（3）由点P（a+1，c），Q（4m-5+a，c）的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线x==a+2m-2，即可得出a+2m-2=2m，求得a=2，得到P（3，c），代入解析式即可得到 ＝＝，根据二次函数的性质即可证得结论．
【小问1详解】
解：当m＝2时，
∵A（8，n）在函数图象上，
∴
【小问2详解】
解：由题意得，顶点是
当x＝2m时，
∴顶点直线上
【小问3详解】
证明：∵P（a+1,c），Q（4m-5+a，c）都在二次函数的图象上
∴对称轴是直线
∴a+2m-2＝2m ，
∴a＝2，
∴P（3，c），
把P（3，c）代入抛物线解析式，得
∴＝＝，
∵-2<0，
∴c有最大值为，
∴c≤．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
28. 【模型再现】
（1）如图1，四边形中，，为对角线，．
①求证：平分；
②若，，则________；
【模型应用】
（2）如图2．四边形中，，为对角线，，E为的中点，连接、，与交于点F．若，，求的值；
【模型拓展】
（3）如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上，用无刻度的直尺作图．在图3中上画出点F（点F不与点C重合），使．
【答案】（1）①见解析；②；（2）；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）①根据，，可得，从而证明结论；
②根据，得，代入计算即可；
（2）由直角三角形斜边上中线的性质得，再运用勾股定理得，由，得，再证明，从而解决问题．
（3）取格点，连接交圆于点F，点F即为所作．由可判断，得到，可得到，利用圆周角定理以及垂径定理可证明．
【详解】（1）①证明：∵，，
∴，
∴，
∴平分；
解：②∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，点E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图，点F即为所作．
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等等，运用前面探索的结论解决新问题是解题的关键．
组别
分数（分）
频数（人）
百分比
A
5
m
B
15
30%
C
20
40%
D
n
p