第06讲 函数的概念及其表示-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.函数的基本概念
(1)函数的定义
一般地,给定两个 A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的 ,在集合B中都有 的实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作 ,x∈A.
(2)函数的三要素
函数由 、 和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中, 范围(即数集A)称为这个函数的 , 组成的集合{y∈B|y=f(x),x∈A}称为函数的值域.
2.函数的表示法
函数的常用表示方法: 、 、 .
3.分段函数
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的 ,则称其为分段函数.
1.(1)非空实数集 每一个实数x 唯一确定 y=f(x)
(2)定义域 值域 自变量取值的 定义域 所有函数值
2.解析法 图象法 列表法
3.对应关系
常用结论
1.常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)零次幂的底数不能为0.
(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cs x的定义域均为R.
(6)y=lgax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}.
(7)y=tan x的定义域为xx≠kπ+π2,k∈Z.
2.基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为4ac-b24a,
+∞;当a0且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=lgax(a>0且a≠1)的值域是R.
分类训练
探究点一 函数的定义域
角度1 求给定解析式的函数的定义域
例1 (1) 函数y=-x2+3x+4lnx的定义域是( )
A.(0,1)∪(1,4]
B.(0,4]
C.(0,1)
D.(0,1)∪[4,+∞)
(2)函数f(x)=x+1+(2-x)0的定义域为 .
[总结反思] (1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成的,则定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.
例1 [思路点拨] (1)根据偶次根式下被开方数非负、分母不为零、对数的真数大于零列不等式组求解,即得结果;(2)根据偶次根式下的代数式不小于0、零次幂的底数不为0列不等式组求解即可.
(1)A (2){x|x≥-1且x≠2} [解析] (1)由题意得-x2+3x+4≥0,lnx≠0,x>0,∴-1≤x≤4,x≠1,x>0,∴x∈(0,1)∪(1,4],故选A.
(2)由x+1≥0,2−x≠0,解得x≥-1且x≠2,∴函数f(x)=x+1+(2-x)0的定义域是{x|x≥-1且x≠2}.
变式题 我们知道一天的温度y(℃)随时间t(h)的变化而变化,图2-6-1是某地一天4:00~12:00的温度变化情况,则温度y与时间t的函数中定义域为 .
图2-6-1
变式题 [4,12] [解析] 由题知t∈[4,12],则定义域为[4,12].
角度2 求抽象函数的定义域
例2 (1) 已知函数f(x)的定义域为(-∞,0),则函数y=f(x-1)x+1的定义域为( )
A.(-∞,1)
B.(-∞,-1)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)
D.(-∞,-1)∪(-1,1)
(2)已知函数y=f(2x)的定义域是[-1,1],则函数y=f(lg3x)的定义域是 .
[总结反思] (1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域,均是指其中的x的取值集合;(2)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式组a≤g(x)≤b求出;(3)若复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.
例2 [思路点拨] (1)根据f(x)的定义域以及分母不为零列不等式组,即得定义域;(2)由题意可得出12≤lg3x≤2,进而可求得函数y=f(lg3x)的定义域.
(1)D (2)[3,9] [解析] (1)由函数f(x)的定义域为(-∞,0)可知,若y=f(x-1)x+1有意义,则x-1