第19讲 利用导数研究函数的零点--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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两类零点问题的不同处理方法:利用函数零点存在定理的条件为函数图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0.①直接法:判断一个零点时,若函数为单调函数,则只需取值证明f(a)·f(b)<0即可;②分类讨论法:判断几个零点时,需要先结合单调性,确定分类讨论的标准,再利用函数零点存在定理,在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.
提示一:已知函数有零点求参数范围常用的方法,(1)分离参数法,一般命题情境为给出区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为从f(x)中分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分类讨论法,一般命题情境为没有固定区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围.
提示二:可化为函数零点的函数问题(与函数零点性质研究)包括两个方向,一是与函数零点性质有关的问题(更多涉及构造函数法);二是可以转化为函数零点的函数问题(更多涉及整体转化、数形结合等方法技巧).能够利用等价转换、构造函数法求解的问题常涉及参数的最值、曲线交点、零点的大小关系等.求解时一般先通过等价转换,将已知转化为函数零点问题,再构造函数,然后利用导数研究函数的单调性、极值、最值等,并结合分类讨论,通过确定函数的零点达到解决问题的目的.
分类训练
探究点一 判断、证明或讨论函数零点的个数
例1 已知函数f(x)=12ax2-(a+2)x+2ln x(a∈R).
(1)若a=0,求f(x)的最大值;
(2)当a≥0时,讨论函数f(x)零点的个数.
[总结反思] 根据参数确定函数的零点个数有两种解决方法:一种是利用单调性与零点存在定理求解,另一种是化原函数为两个函数,利用两个函数图象的交点来求解.
变式题 已知函数f(x)=ex-kx-m(k,m为实数).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当k=2,m=1时,判断函数f(x)零点的个数.
探究点二 根据零点个数确定参数
例2 设函数f(x)=ln x-ax-1,a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,若函数f(x)没有零点,求a的取值范围.
[总结反思] 根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”,即通过函数的单调性确定函数图象与x轴的交点个数,或者通过两个相关函数图象的交点个数确定参数需满足的条件,进而求得参数的取值范围,解决问题的步骤是“先形后数”.
变式题 设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同的零点,求c的取值范围.
探究点三 可化为函数零点的函数问题
例3 已知函数f(x)=ex-a-xln x-(a-1)x-1,a∈R.
(1)若a=1,证明:(x-1)f(x)≥0;
(2)讨论f(x)的极值点个数.
[总结反思] 若f'(x)为可导函数f(x)的导函数,x0为f(x)的极值点,则必有f'(x0)=0.曲线的切线条数、两曲线的交点个数、方程根的个数等问题解决的关键是转化为对应函数的零点个数问题,通过数形结合的方式,研究函数的零点个数确定相应的数量关系.
变式题 已知函数f(x)=13x3-32x2+2x+a.
(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在点(3,f(3))处的切线方程;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=2x-5有三个不同的交点,求实数a的取值范围.
同步作业
1.设函数f(x)=x+cs x,则f(x)是( )
A.有一个零点的增函数
B.有一个零点的减函数
C.有两个零点的增函数
D.没有零点的减函数
2.(多选题)已知函数f(x)=xex,下列说法正确的有( )
A.f32=1e
B.f(x)只有一个零点
C.f(x)有两个零点
D.f(x)有一个极大值点
3.已知函数f(x)=x3-4x,过点A(-2,0)的直线l与f(x)的图象有三个不同的交点,则直线l斜率的取值范围为( )
A.(-1,8)
B.(-1,8)∪(8,+∞)
C.(-2,8)∪(8,+∞)
D.(-1,+∞)
4.已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,a>0,若f(x)有两个零点,则a的取值范围为( )
A.(0,1)
B.(0,1]
C.1e,e
D.1e,e
5.已知函数f(x)=x3+sin x,g(x)=12x+1,x<0,ln(x+1),x≥0,若关于x的方程f[g(x)]+m=0有两个不等实根x1,x2,且x1A.2
B.3-ln 2
C.4-2ln 2
D.3-2ln 2
6.若函数f(x)=13x3+x2-3x+a的图象与直线y=2有3个不同的交点,则实数a的取值范围为 .
7.已知函数f(x)=(x+2)ln x+12x2-4x+72,则函数f(x)的所有零点之和为 .
8.已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R).
(1)当a=e时,求f(x)的单调区间;
(2)讨论f(x)在区间[0,1]上零点的个数.
9.设函数f(x)=aln x+x2-(a+2)x,其中a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π4,求a的值;
(2)已知f(x)的导函数f'(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,f(x)>-e2.
10.设函数f(x)=xx-klnxx(k>0).
(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若g(x)=32x2-(k+1)x,求证:方程f(x)=g(x)有唯一解.
11.已知函数f(x)=ln ex2-ax,g(x)=x-4ax.
(1)求函数f(x)的极值点;
(2)当a>0时,函数h(x)=f(x)-g(x)恰有三个不同的零点,求实数a的取值范围.
12.已知函数f(x)=ex-x-a.
(1)求f(x)的单调递增区间和极值;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1