第20讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕其 旋转到另一条射线所形成的图形.
(2)分类:按旋转方向分为 、 和零角;按终边位置分为 和轴线角.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S= .
(4)象限角
图4-20-1
(5)轴线角
图4-20-2
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:长度等于 的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1 rad.
(2)公式:
3.任意角的三角函数
(1)定义:对于任意角α,设P(x,y)是α终边上异于原点的任意一点,r=x2+y2,则sin α= ,cs α= ,tan α=yx(x≠0).
(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图4-20-3中的OM,MP,AT分别称为角α的 、 和 .正弦线的起点都在 上,余弦线的起点都是 ,正切线的起点都是 .
图4-20-3
(3)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图4-20-4).
图4-20-4
常用结论
(1)若α,β,γ,θ分别为第一、二、三、四象限角,则α2,β2,γ2,θ2的终边所在的象限如图4-20-5所示:
图4-20-5
(2)若x∈（0,π2）,则tan x>x>sin x.
分类探究
探究点一 象限角及终边相同的角
例1 (1)角-2020°是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)集合αkπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z中的角的终边所在的区域(阴影部分)是( )
图4-20-6
(3)已知α是第三象限角,且|cs α2|=-cs α2,则α2是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
[总结反思] (1)角α(0≤α<2π)与角2kπ+α(k∈Z)的终边相同;
(2)要求角β的终边所在的象限,只需将角β表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,则角α的终边所在的象限即为角β的终边所在的象限.
变式题 (1)若角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=-3x上,则角α的取值集合是( )
A.α|α=2kπ-π3,k∈Z
B.α|α=2kπ+2π3,k∈Z
C.α|α=kπ-2π3,k∈Z
D.α|α=kπ-π3,k∈Z
(2)已知角α的顶点为坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,终边在如图4-20-7所示的阴影部分内(不包括边界),则角α的所有取值的集合为 .
图4-20-7
探究点二 扇形的弧长、面积公式

例2 已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.
(1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;
(2)若扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?
[总结反思] (1)利用扇形的弧长和面积公式(l=|α|R,S=12lR)解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
(3)解决面积等最值问题时经常转化为二次函数在给定区间上的最值问题来解决.
当周长C为定值时可得面积S=12(C-2R)R=-R2+12CR,当面积S为定值时可得周长C=2SR+2R.
变式题 (1)(多选题)已知某扇形的面积为52 cm2,若该扇形的半径为r cm,弧长为l cm,且满足2r+l=7,则该扇形圆心角的大小可能是( )
A.45B.5C.12D.2
(2)希波克拉底是古希腊医学家,他被西方尊为“医学之父”,除了医学,他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题,如图4-20-8所示,阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧,两段圆弧分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分,若∠ACB=2π3 ,AC=BC=1,则该月牙形的面积为( )
图4-20-8
A.34+π24B.34-π24
C.14+π24D.334-π8
探究点三 三角函数的定义
角度1 三角函数定义的应用
例3 (1)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则cs2θ-sin2θ=( )
A.-45B.-35
C.35D.45
(2)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,且tan α=23.若角α的终边上有一点P,其纵坐标为-4,有下列三个结论:①点P的横坐标是6;②cs α=31313;③sin 2α>0.则上述结论中,正确的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
[总结反思] 三角函数的定义主要应用于两方面:
(1)已知角的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,然后用三角函数的定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.
(2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.
角度2 三角函数值的符号判定
例4 (1)已知点P(tan α,cs α)在第三象限,则角α为( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)若α为第四象限角,则( )
A.cs 2α>0B.cs 2α<0
C.sin 2α>0D.sin 2α<0
[总结反思] 1.判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.
2.相关知识总结如下:一全正,二余弦,三正切,四余弦.
角度3 三角函数线的应用
例5 已知α∈(-3π4,-π2),a=sin α,b=cs α,c=tan α,那么a,b,c的大小关系是 .
[总结反思] 利用三角函数线比较大小时,通常采用数形结合的方法.三角函数线为有向线段,既要注意它的长度,又要注意它的方向.当三角函数线的方向与x轴、y轴的正方向相同时,所对应的三角函数值为正,反之为负.
同步作业
1.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边过点P(23,-2),则cs θ=( )
A.32B.12C.-12D.-32
2.若α是第二象限角,则点P(sin α,cs α)在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3.给出下列四种说法:①-3π4是第二象限角;②4π3是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的说法有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.在(0,2π)内,使sin x>cs x成立的x的取值范围为( )
A.(π4,π)B.(π4,5π4)
C.(π4,π2)∪(π,5π4)D.(π4,π)∪(3π4,5π4)
5.已知扇形的弧长是8,其所在圆的直径是4,则扇形的面积是 .
6.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(4,m),且sin θ=35,则m等于 .
7.达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名,画中女子神秘的微笑,数百年来让无数观赏者入迷,现将画中女子的下嘴唇近似看作一段圆弧,如图K20-1,设嘴角A,B间的圆弧长为l,嘴角间的距离为d,圆弧所对的圆心角为θ(θ为弧度角),则l,d和θ所满足的恒等关系为( )
图K20-1
A.sin θ2θ=dlB.2sin θ2θ=dl
C.cs θ2θ=dlD.2cs θ2θ=dl
8.我国古代数学家一行应用“九服晷(guǐ)影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表,这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知,晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ的正切值的乘积,即l=htan θ.已知太阳天顶距θ=1°时,晷影长l≈0.14.现测得晷影长l≈0.42,则太阳天顶距约为(参考数据:tan 1°≈0.0175,tan 2°≈0.0349,tan 3°≈0.0524,tan 22.8°≈0.4204)( )
A.2°B.3°C.11°D.22.8°
9.如图K20-2,中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成的,设剪下的扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为5-12时,扇面看上去形状较为美观,那么此时剪下的扇形的圆心角的弧度数为( )
图K20-2
A.(3-5)πB.(5-1)π
C.(5+1)πD.(5-2)π
10.已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从A点出发,P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针方向以相同大小的速度运动,当Q再次运动到点A时,点P,Q停止运动.在运动过程中,连接OQ,OP(如图K20-3),则阴影部分的面积S1,S2的大小关系是( )
图K20-3
A.S1=S2B.S1≤S2
C.S1≥S2D.先S1S2
11.(多选题)若sin α>0且tan α<0,则α2可能为( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
12.(多选题)下列结论中正确的是( )
A.若弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是2sin1
B.若α是第三象限角,则cs α<0
C.若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0),则sin α=45
D.若tan α>0且sin α>0,则α为第一象限角
13.若α是第三象限角,则y=|sin α2|sin α2+|cs α2|cs α2的值为 .
14.将一条闭合曲线放在两条平行线之间,无论这条闭合曲线如何运动,只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点,就必与另一条直线也只有一个交点,则称此闭合曲线为等宽曲线,这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比,如圆就是等宽曲线,其宽比就是圆的直径.图K20-4中实线是分别以A,B,C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ(又称莱洛三角形),下列关于曲线Γ的描述中,正确的有( )
图K20-4
(1)曲线Γ不是等宽曲线;
(2)曲线Γ是等宽曲线且宽比为线段AB的长;
(3)曲线Γ是等宽曲线且宽比为弧AB的长;
(4)若曲线Γ和圆的宽比相等,则它们的周长相等;
(5)若曲线Γ和圆的宽比相等,则曲线Γ围成区域的面积和圆的面积相等.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
15.如图K20-5所示,已知长为3 dm,宽为1 dm的长方形在桌面上无滑动翻滚,翻滚到第四次时被小木块挡住,此时长方形的底边与桌面所成的角为π6,则点A走过的路程为 ,走过的弧所在扇形的总面积为 .
图K20-5
角α的弧度数的绝对值
|α|=lr(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°=π180 rad,②1 rad=180π°
弧长公式
弧长l=
扇形面积公式
S=12lr=