第35讲 平面向量的数量积及应用举例--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.平面向量的数量积
(1)概念
一般地,当a与b都是非零向量时,称 为向量a与b的数量积(也称为内积),记作 ,即 = .特别地,零向量与任一向量的数量积为 .
(2)几何意义
①投影向量:如图6-35-1所示,设非零向量AB=a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A',B',则称向量A'B'为向量a在直线l的 或 .
②两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在 与 的乘积.
图6-35-1
(3)向量的夹角
给定两个 向量a和b(如图6-35-2所示),在平面内任选一点O,作OA=a,OB=b,则称[0,π]内的∠AOB为向量a与向量b的 ,记作.
图6-35-2
2.平面向量数量积的运算律
已知向量a,b,c和实数λ.
①交换律: ;
②数乘结合律:(λa)·b= = (λ∈R);
③分配律:(a+b)·c= .
3.平面向量数量积的性质
设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.
①e·a=a·e= .
②a⊥b⇔ .
③当a与b同向时,a·b= ;当a与b反向时,a·b= .
特别地,a·a=a2= 或|a|= .
④cs= .
⑤|a·b| |a||b|.
4.平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a与b的夹角.
常用结论
1.(a+b)·(a-b)=a2-b2.
2.(a±b)2=a2±2a·b+b2.
3.S△ABC=12|AB||AC|sin A=12|AB|2·|AC|2-(AB·AC)2.
4.若两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b的夹角为0时不成立).
5.若两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b