第37讲 构造法在解决函数、导数问题中的应用--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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例1 已知函数y=f(x)的导函数为y=f'(x),对任意的实数x,都有f'(x)>f(x)且f(1)=e,则不等式f(ln x)f'(x)对于x∈R恒成立,e为自然对数的底数,则( )
A.e2019·f(2020)>e2020·f(2019)
B.e2019·f(2020)=e2020·f(2019)
C.e2019·f(2020)2bB.ab2D.am[x-ln(x+1)]对一切正数x都成立,则实数m的取值范围是( )
A.-∞,e3B.-∞,e2
C.(-∞,1]D.(-∞,e]
[总结反思] (1)在成立或恒成立问题中,有一部分题目是利用函数单调性构造出来的,如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数),那么无疑大大加快了解决问题的速度.找到这个函数模型的方法,我们称为同构法.例如:若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)],然后利用f(x)的单调性,如单调递增,再转化为g(x)≥h(x),这种方法我们就可以称为同构不等式法(等号成立时,称为同构方程法),简称同构法.
(2)同构法的三种基本模式:①乘积型,如aea≤bln b可以同构成aea≤(ln b)eln b,进而构造函数f(x)=xex;②比商型,如eaamx-3ex在(0,+∞)上恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.0≤m≤3B.m≥3
C.m≤3D.m≤0
3.已知定义在R上的可导函数f(x)满足(1-x)f(x)+xf'(x)>0,若y=f(x+2)-e3是奇函数,则不等式xf(x)-2ex+1