第39讲 函数与方程--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.函数的零点
(1)函数零点的定义
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于 ,即 ,则称α为函数y=f(x)的零点.
(2)等价关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与 有交点⇔函数y=f(x)有 .
(3)函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 的,并且 (即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即 .
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
常用结论
1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.
2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.
分类训练
探究点一 函数零点所在区间的判断
例1 (1)函数f(x)=ln x- 2x的零点所在的区间是( )
A.(1,2)B.(2,3)
C.(3,4)D.(4,+∞)
(2)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,设g(x)=[x],x0是函数f(x)=ln x+x-4的零点,则g(x0)=( )
A.4B.5
C.2D.3
[总结反思] 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2) 函数零点存在定理;(3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与x轴的交点来判断,或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断.
变式题 已知函数f(x)=x2-2x,则在下列区间中,y=f(x)一定有零点的是( )
A.(-3,-2)B.(-1,0)
C.(2,3) D.(4,5)
探究点二 函数零点个数的讨论
例2 (1)已知图象连续不断的函数f(x)的定义域为R,f(x)是周期为2的奇函数,y=|f(x)|在区间[-1,1]上恰有5个零点,则f(x)在区间[0,2020]上的零点个数为( )
A.5050B.4041
C.4040D.2020
(2)已知函数f(x)=33x,x≥0,-2x,x<0,则( )
A.对任意实数t,方程f[f(x)]-t=0无根
B.存在实数t,方程f[f(x)]-t=0有2个不同的根
C.存在实数t,方程f[f(x)]-t=0有3个不同的根
D.对任意实数t,方程f[f(x)]-t=0只有1个根
[总结反思] 求解函数零点个数的基本方法有:(1)直接法,令f(x)=0,方程有多少个解则f(x)有多少个零点;(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图象法,一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
变式题 (1)函数f(x)=lg3|x|-|sin πx|在区间[-2,0)∪(0,3]上零点的个数为( )
A.5B.6
C.7D.8
(2)已知函数f(x)=ex,x<0,4x3-6x2+1,x≥0,则方程2[f(x)]2-3f(x)-2=0的实根个数为( )
A.2B.3
C.4D.5
探究点三 函数零点的应用
角度1 根据零点个数求参数值或范围
例3 (1)已知函数f(x)=x2+4x+m,x≤−1,lg2(x+1),x>−1,若函数g(x)=f(x)+1有三个零点,则实数m的取值范围是( )
A.(2,+∞)B.(2,3]
C.[2,3)D.(1,3)
(2)若对任意的m∈[0,1],总存在唯一的x∈[-1,1],使得m+x2ex-a=0成立,则实数a的取值范围是( )
A.[1,e]B.(1+1e,e]
C.(0,e]D.[1+1e,e]
[总结反思] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.
变式题 (1)(多选题)已知定义在R上的函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-3,且当x≥-3时,f(x)=2x-3.若函数f(x)在区间(k-1,k)(k∈Z)上有零点,则k的值可能为( )
A.2B.-2
C.-7D.-8
(2)已知函数f(x)=2-x-1,x≤0,f(x-1),x>0,若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)B.(-∞,1]
C.(0,1)D.[0,+∞)
(3)若函数f(x)=|x-3|+ex-3+e3-x+m有唯一零点,则实数m的值为( )
A.0B.-2
C.2D.-1
角度2 函数零点的范围问题
例4 (1)已知x0是函数f(x)=2x+11−x的一个零点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )
A.f(x1)<0,f(x2)<0
B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0
D.f(x1)>0,f(x2)>0
(2)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,h(x)=2x+x2-10,若正数a,b,c满足f(a)=g(b)=h(c)=0,则( )
A.aC.c[总结反思] 函数零点的应用主要体现在三类问题中:一是函数中不含参数,零点又不易直接求出,考查各零点的和或范围问题;二是函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;三是函数中有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合或分离参数求解.
变式题 (1)设a是函数f(x)=2x-lg13x的零点,若x0>a,则( )
A.f(x0)=0 B.f(x0)>0
C.f(x0)<0 D.以上都有可能
(2)已知函数f(x)=4ax-cs 2x-πa(a∈R)有且仅有3个不同的零点x1,x2,x3,且x1同步作业
1.函数f(x)=3x-8的零点是( )
A.lg38B.lg83
C.(lg38,0)D.(lg83,0)
2.函数f(x)=x2-2, x≤0,2x−6+lgx, x>0的零点个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
3.已知函数f(x)=ex+a ,x≤0,2x−1, x>0(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)B.(-∞,0)
C.(-1,0)D.[-1,0)
4.已知函数f(x)=|x2-4x+3|-mx,若m∈(0,12),则f(x)的零点个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
5.函数y=ln(x-3)的零点是 .
6.函数f(x)=cs x-x在[0,+∞)内的零点个数为 .
7.定义在R上的函数f(x)=x2-[x]-2的零点个数为(其中[x]表示不大于实数x的最大整数)( )
A.0B.1
C.2D.3
8.已知函数f(x)=2x,x≥a,-x,xA.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(-∞,1)
D.(1,+∞)
9.已知函数f(x)=ax2+1,x≤0,lnx,x>0,下列关于函数y=f[f(x)]+m的零点个数的判断正确的是( )
A.当a=0,m∈R时,有且只有1个零点
B.当a>0,m≤-1时,有3个零点
C.当a<0,m<-1时,有4个零点
D.当a<0,-110.已知函数f(x)=|2x-12|,x<1,lg2(x+12),x≥1,若函数g(x)=-x+m(m>0)与y=f(x)的图象相交于A,B两点,且A,B两点的横坐标分别记为x1,x2,则x1+x2的取值范围是( )
A.1,32B.lg23,52
C.1,52D.[lg23,3]
11.(多选题)已知f(x)=lnx-2,x>0,2x-12,x≤0,若存在实数m满足2f[f(m)]+1=2f(m)+1,则( )
A.f(m)≤0
B.f(m)可能大于0
C.m∈(-∞,-1]
D.m∈(-∞,-1]∪(0,e2]
12.函数f(x)=x2-2x-1-|x-1|的所有零点之和为 .
13.已知函数f(x)=x,x≤1,lg2(x-1),x>1,则函数y=f[f(x)]的所有零点所构成的集合为 .
14.函数f(x)=lg(ex+9x)+ln110x-9x的零点个数为 .
15.已知函数f(x)=1−|x+1|,x∈[-2,0],2f(x-2),x∈(0,+∞),若方程f(x)=x+a在区间[-2,4]内有3个不相等的实根,则实数a的取值范围是( )
A.{a|-2B.{a|-2C.{a|-2D.{a|-216.已知f(x)=|lg2(x-1)|,13,若f(x)=m有四个不同的实根x1,x2,x3,x4,且x1A.(0,10)B.[0,10]
C.(0,4) D.[0,4]
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
与x轴的交点



无交点
零点个数